潘省初計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)-第七章

第七章時(shí)間序列分析(TimeSeriesAnalysis)第一節(jié)時(shí)間序列分析的基本概念

經(jīng)濟(jì)分析通常假定所研究的經(jīng)濟(jì)理論中涉及的變量之間存在著長(zhǎng)期均衡關(guān)系。按照這一假定，在估計(jì)這些長(zhǎng)期關(guān)系時(shí)，計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析假定所涉及的變量的均值和方差是常數(shù)，不隨時(shí)間而變。然而，經(jīng)驗(yàn)研究表明，在大多數(shù)情況下，時(shí)間序列變量并不滿足這一假設(shè)，從而產(chǎn)生所謂的“偽回歸”問(wèn)題(‘spurious’regressionproblem)。為解決這類(lèi)問(wèn)題，研究人員提出了不少對(duì)傳統(tǒng)估計(jì)方法的改進(jìn)建議，其中最重要的兩項(xiàng)是對(duì)變量的非平穩(wěn)性(non-stationarity)的系統(tǒng)性檢驗(yàn)和協(xié)整(cointegration)。協(xié)整

協(xié)整分析被認(rèn)為是上世紀(jì)八十年代中期以來(lái)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域最具革命性的進(jìn)展。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，協(xié)整分析涉及的是一組變量，它們各自都是不平穩(wěn)的（含義是隨時(shí)間的推移而上行或下行），但它們一起漂移。這種變量的共同漂移使得這些變量之間存在長(zhǎng)期的線性關(guān)系，因而使人們能夠研究經(jīng)濟(jì)變量間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系。如果這些長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的線性關(guān)系不成立，則對(duì)應(yīng)的變量被稱(chēng)為是“非協(xié)整的”。誤差修正模型一般說(shuō)來(lái)，協(xié)整分析是用于非平穩(wěn)變量組成的關(guān)系式中長(zhǎng)期均衡參數(shù)估計(jì)的技術(shù)。它是用于動(dòng)態(tài)模型的設(shè)定、估計(jì)和檢驗(yàn)的一種新技術(shù)。此外，協(xié)整分析亦可用于短期或非均衡參數(shù)的估計(jì)，這是因?yàn)槎唐趨?shù)的估計(jì)可以通過(guò)協(xié)整方法使用長(zhǎng)期參數(shù)估計(jì)值，采用的模型是誤差修正模型(errorcorrectionmodel)。

在介紹上述方法之前，下面先介紹所涉及的一些術(shù)語(yǔ)和定義。一．平穩(wěn)性（Stationarity）嚴(yán)格平穩(wěn)性(strictstationarity)

如果一個(gè)時(shí)間序列Xt的聯(lián)合概率分布不隨時(shí)間而變，即對(duì)于任何n和k，X1,X2,…Xn的聯(lián)合概率分布與X1+k,X2+k,…Xn+k

的聯(lián)合分布相同，則稱(chēng)該時(shí)間序列是嚴(yán)格平穩(wěn)的。由于在實(shí)踐中上述聯(lián)合概率分布很難確定，我們用隨機(jī)變量Xt（t=1,2,…）的均值、方差和協(xié)方差代替之，即所謂的“弱平穩(wěn)性”。2.弱平穩(wěn)性(weakstationarity)一個(gè)時(shí)間序列是“弱平穩(wěn)的”，如果：（1）均值E(Xt)=μ，t=1,2,…（7.1）（2）方差Var(Xt)=E(Xt-μ)2=σ2，t=1,2,…（7.2）（3）協(xié)方差

Cov(Xt,Xt+k）=E[(Xt-μ)(Xt+k-μ)]＝rk，

t=1,2,…，k≠0（7.3）3.平穩(wěn)性和非平穩(wěn)性通常情況下，我們所說(shuō)的平穩(wěn)性指的就是弱平穩(wěn)性。一般來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)時(shí)間序列的均值和方差在任何時(shí)間保持恒定，并且兩個(gè)時(shí)期t和t+k之間的協(xié)方差僅依賴于兩時(shí)期之間的距離（間隔或滯后）k，而與計(jì)算這些協(xié)方差的實(shí)際時(shí)期t無(wú)關(guān)，則該時(shí)間序列是平穩(wěn)的。只要這三個(gè)條件不全滿足，則該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。事實(shí)上，大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。例如，在圖7.1中，某國(guó)的私人消費(fèi)（CP）和個(gè)人可支配收入（PDI）這兩個(gè)時(shí)間序列都有一種向上的趨勢(shì)，幾乎可以斷定它們不滿足平穩(wěn)性條件（7.1），因而是非平穩(wěn)的。二．幾種有用的時(shí)間序列模型1、白噪聲（Whitenoise）白噪聲通常用εt表示，是一個(gè)純粹的隨機(jī)過(guò)程，滿足:（1） E(εt)=0,對(duì)所有t成立；（2） Var(εt)=σ2，對(duì)所有t成立；（3） Cov(εt,εt+k)=0，對(duì)所有t和k≠0成立。白噪聲可用符號(hào)表示為：

εt～I(xiàn)ID(0,σ2)（7.4）注：這里IID為IndependentlyIdenticallyDistributed（獨(dú)立同分布)的縮寫(xiě)。2、隨機(jī)漫步（Randomwalk）隨機(jī)漫步是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)過(guò)程，由下式確定：

Xt=Xt－1+εt

（7.5）其中εt為白噪聲。

Xt的均值：

E(Xt）=E(Xt-1+εt）=E(Xt－1)+E(εt)=E(Xt－1)

這表明Xt的均值不隨時(shí)間而變。

為求Xt的方差，對(duì)（7.5）式進(jìn)行一系列置換：

Xt=Xt－1+εt=Xt－2+εt-1+εt=Xt－3+εt-2+εt-1+εt=……=X0+ε1+ε2+……+εt=X0+∑εt

其中X0是Xt的初始值，可假定為任何常數(shù)或取初值為0，則

這表明Xt的方差隨時(shí)間而增大，平穩(wěn)性的第二個(gè)條件（7.2）不滿足，因此，隨機(jī)漫步時(shí)間序列是非平穩(wěn)時(shí)間序列。可是，若將（7.5）式Xt=Xt－1+εt寫(xiě)成一階差分形式：

ΔXt=εt

（7.6)

這個(gè)一階差分新變量ΔXt是平穩(wěn)的，因?yàn)樗偷扔诎自锫暒舤，而后者是平穩(wěn)時(shí)間序列。3、帶漂移項(xiàng)的隨機(jī)漫步(Randomwalkwithdrift)Xt=μ+Xt－1+εt

（7.7）其中μ是一非0常數(shù)，εt為白燥聲。

μ之所以被稱(chēng)為“漂移項(xiàng)”，是因?yàn)椋?.7）式的一階差分為

ΔXt=Xt－Xt-1=μ+εt

這表明時(shí)間序列Xt向上或向下漂移，取決于μ的符號(hào)是正還是負(fù)。顯然，帶漂移項(xiàng)的隨機(jī)漫步時(shí)間序列也是非平穩(wěn)時(shí)間序列。4、自回歸過(guò)程隨機(jī)漫步過(guò)程（7.5）（Xt=Xt－1+εt）是最簡(jiǎn)單的非平穩(wěn)過(guò)程。它是

Xt=φXt－1+εt

（7.8）的特例，（7.8）稱(chēng)為一階自回歸過(guò)程(AR(1))，該過(guò)程在－1＜φ＜1時(shí)是平穩(wěn)的，其他情況下，則為非平穩(wěn)過(guò)程。

更一般地，（7.8）式又是

Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+……+φqXt-q+εt

（7.9）的特例，（7.9）稱(chēng)為q階自回歸過(guò)程(AR(q))?？梢宰C明，如果特征方程

1－φ1L－φ2L2－φ3L3－……－φqLq

=0（7.10）的所有根的絕對(duì)值均大于1，則此過(guò)程（7.9）是平穩(wěn)的，否則為非平穩(wěn)過(guò)程。三．單整的時(shí)間序列（Integratedseries）

從（7.6）可知，隨機(jī)漫步序列的一階差分序列ΔXt=Xt－Xt-1是平穩(wěn)序列。在這種情況下，我們說(shuō)原非平穩(wěn)序列Xt是“一階單整的”，表示為I(1)。與此類(lèi)似，若非平穩(wěn)序列必須取二階差分(Δ2Xt=ΔXt－ΔXt-1)才變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則原序列是“二階單整的”，表示為I(2)。一般地，若一個(gè)非平穩(wěn)序列必須取d階差分才變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則原序列是“d階單整的”(Integratedoforderd)，表示為I(d)。由定義不難看出，I(0)表示的是平穩(wěn)序列，意味著該序列無(wú)需差分即是平穩(wěn)的。另一方面，如果一個(gè)序列不管差分多少次，也不能變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則稱(chēng)為“非單整的”。

第二節(jié)平穩(wěn)性的檢驗(yàn)平穩(wěn)性檢驗(yàn)的方法可分為兩類(lèi)：傳統(tǒng)方法和現(xiàn)代方法。前者使用自相關(guān)函數(shù)(Autocorrelationfunction)，后者使用單位根(Unitroots)。單位根方法是目前最常用的方法，因此本節(jié)中，我們僅介紹單位根方法。一．單位根考察（7.8）式的一階自回歸過(guò)程，即

Xt=φXt－1+εt

（7.11）其中εt為白噪聲，此過(guò)程可寫(xiě)成

Xt－φXt－1=εt或（1－φL）Xt=εt

（7.12）其中L為滯后運(yùn)算符，其作用是取時(shí)間序列的滯后，如Xt

的一期滯后可表示為L(zhǎng)(Xt），即

L(Xt）=Xt－1

由上節(jié)所知，自回歸過(guò)程Xt平穩(wěn)的條件是其特征方程的所有根的絕對(duì)值大于1。由于這里特征方程為1－ΦL=0，該方程僅有一個(gè)根L=1/φ，因而平穩(wěn)性要求－1＜φ＜1。因此，檢驗(yàn)Xt的平穩(wěn)性的原假設(shè)和備擇假設(shè)為：

H0：∣φ∣≥1Ha：∣φ∣＜1

接受原假設(shè)H0表明Xt是非平穩(wěn)序列，而拒絕原假設(shè)（即接受備擇假設(shè)Ha）則表明Xt是平穩(wěn)序列。實(shí)踐中，上述原假設(shè)和備擇假設(shè)采用如下形式：這是因?yàn)?，首先，可以假設(shè)，因?yàn)榻^大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列確實(shí)如此；其次，意味著是爆炸性的，通常不予考慮，這意味著備擇假設(shè)實(shí)際上是。單位根檢驗(yàn)方法的由來(lái)

在Φ=1的情況下，即若原假設(shè)為真，則（7.11）就是隨機(jī)漫步過(guò)程（7.5），從上節(jié)得知，它是非平穩(wěn)的。因此，檢驗(yàn)非平穩(wěn)性就是檢驗(yàn)Φ=1是否成立，或者說(shuō)，就是檢驗(yàn)單位根是否存在。換句話說(shuō)，單位根是表示非平穩(wěn)性的另一方式。這樣一來(lái)，就將對(duì)非平穩(wěn)性的檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化為對(duì)單位根的檢驗(yàn)，這就是單位根檢驗(yàn)方法的由來(lái)。（7.11）式Xt=φXt－1+εt兩端各減去Xt-1，我們得到

Xt－Xt－1=ΦXt－1－Xt－1+εt即ΔXt=δXt－1+εt

（7.13）其中Δ是差分運(yùn)算符，δ=Φ－1。前面的假設(shè)

H0：φ=1Ha：φ＜1

可寫(xiě)成如下等價(jià)形式：

H0：δ=0Ha：δ＜0

在δ=0的情況下，即若原假設(shè)為真，則相應(yīng)的過(guò)程是非平穩(wěn)的。換句話說(shuō)，非平穩(wěn)性或單位根問(wèn)題，可表示為Φ=1或δ=0。從而我們可以將檢驗(yàn)時(shí)間序列Xt的非平穩(wěn)性的問(wèn)題簡(jiǎn)化成在方程（7.11）的回歸中，檢驗(yàn)參數(shù)Φ=1是否成立或者在方程（7.13）的回歸中，檢驗(yàn)參數(shù)δ=0是否成立。這類(lèi)檢驗(yàn)可用t檢驗(yàn)進(jìn)行，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

或（7.14）其中，和分別為參數(shù)估計(jì)值和的標(biāo)準(zhǔn)誤差，即這里的問(wèn)題是，（7.14）式計(jì)算的t值不服從t分布，而是服從一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)的甚至是非對(duì)稱(chēng)的分布。因而不能使用t分布表，需要用另外的分布表。二．Dickey-Fuller檢驗(yàn)（DF檢驗(yàn)）迪奇（Dickey）和福勒（Fuller）以蒙特卡羅模擬為基礎(chǔ)，編制了（7.14）中tδ統(tǒng)計(jì)量的臨界值表，表中所列已非傳統(tǒng)的t統(tǒng)計(jì)值，他們稱(chēng)之為τ統(tǒng)計(jì)值。這些臨界值如表7.1所示。后來(lái)該表由麥金農(nóng)（Mackinnon）通過(guò)蒙特卡羅模擬法加以擴(kuò)充。

有了τ表，我們就可以進(jìn)行DF檢驗(yàn)了，DF檢驗(yàn)按以下兩步進(jìn)行：第一步：對(duì)（7.13）式執(zhí)行OLS回歸，即估計(jì)△Xt=δXt-1+εt

（7.15）得到常規(guī)tδ值。第二步：檢驗(yàn)假設(shè)

H0：δ=0Ha：δ＜0

用上一步得到的tδ值與表7.1中查到的τ臨界值比較，判別準(zhǔn)則是：若tδ>τ，則接受原假設(shè)H0，即Xt非平穩(wěn)。若tδ＜τ，則拒絕原假設(shè)H0，Xt為平穩(wěn)序列。Dickey和Fuller注意到τ臨界值依賴于回歸方程的類(lèi)型。因此他們同時(shí)還編制了與另外兩種類(lèi)型方程中相對(duì)應(yīng)的τ統(tǒng)計(jì)表，這兩類(lèi)方程是：△Xt=α+δXt-1+εt

（7.16）和△Xt=α+βt+δXt-1+εt（7.17）二者的τ臨界值分別記為τμ和τT。這些臨界值亦列在表7.1中。盡管三種方程的τ臨界值有所不同，但有關(guān)時(shí)間序列平穩(wěn)性的檢驗(yàn)依賴的是Xt-1的系數(shù)δ，而與α、β無(wú)關(guān)。(7.17)式通常用于有明確時(shí)間趨勢(shì)的序列的單位根檢驗(yàn).

在實(shí)踐中，經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)一般不用（7.15）式那樣的無(wú)常數(shù)項(xiàng)的形式。帶漂移項(xiàng)的時(shí)間序列通常采用（7.17）式，而不帶漂移項(xiàng)的時(shí)間序列采用（7.16）式。例7.1檢驗(yàn)?zāi)硣?guó)私人消費(fèi)時(shí)間序列的平穩(wěn)性。

用表7.2中的私人消費(fèi)（Ct）時(shí)間序列數(shù)據(jù)，估計(jì)與（7.16）和（7.17）相對(duì)應(yīng)的方程，分別得到如下估計(jì)結(jié)果：(1)△=12330.48-0.01091Ct-1R2=0.052(t:)(5.138)(-1.339)DW=1.765(2)△=15630.83+346.4522t-0.04536Ct-1R2=0.057(t:)(1.966)(0.436)(-0.5717)DW=1.716

兩種情況下，tδ值分別為-1.339和-0.571，二者分別大于表7.1中從0.01到0.10的各種顯著性水平下的τμ值和τT值。因此，兩種情況下都不能拒絕原假設(shè)，即私人消費(fèi)時(shí)間序列有一個(gè)單位根，或換句話說(shuō)，它是非平穩(wěn)序列。

下面看一下該序列的一階差分（△Ct）的平穩(wěn)性。做類(lèi)似于上面的回歸，得到如下結(jié)果：(3)△2=7972.671-0.85112△Ct-1R2=0.425(t:)(4.301)(-4.862)DW=1.967(4)△2=10524.35-114.461t-0.89738△Ct-1R2=0.454(t:)(3.908)(-1.294)(-5.073)DW=1.988其中△2Ct=△Ct-△Ct-1。

兩種情況下，tδ值分別為-4.862和-5.073，二者分別小于表7.1中從0.01到0.10的各種顯著性水平下的τμ值和τT值。因此，都拒絕原假設(shè)，即私人消費(fèi)一階差分時(shí)間序列沒(méi)有單位根，或者說(shuō)該序列是平穩(wěn)序列。綜合以上結(jié)果，我們的結(jié)論是：△Ct是平穩(wěn)序列，△Ct～I(xiàn)(0）。而Ct是非平穩(wěn)序列，由于△Ct～I(xiàn)(0），因而

Ct～I(xiàn)(1）。ADF檢驗(yàn)

ADF檢驗(yàn)的全稱(chēng)是擴(kuò)展的迪奇－福勒檢驗(yàn)（AugmentedDickey-Fullertest）,它是DF檢驗(yàn)的擴(kuò)展，適用于擾動(dòng)項(xiàng)服從平穩(wěn)的AR(P)過(guò)程的情形。ADF與DF檢驗(yàn)的區(qū)別是在（7.13）式中增加若干個(gè)的滯后項(xiàng)作為解釋變量，即要回歸的方程變?yōu)?/p>

要檢驗(yàn)的當(dāng)然還是的系數(shù)是否為0，檢驗(yàn)的臨界值和拒絕法則與DF檢驗(yàn)相同。

在方程（7.18）中應(yīng)當(dāng)包括多少個(gè)滯后變動(dòng)項(xiàng)，并無(wú)硬性的標(biāo)準(zhǔn)。一般做法是包括盡可能多的的滯后項(xiàng)，當(dāng)然也不能太多，因?yàn)闀?huì)影響自由度。實(shí)踐中可根據(jù)數(shù)據(jù)的頻率和樣本的規(guī)模來(lái)選擇p。對(duì)于年度數(shù)據(jù)，一、兩個(gè)滯后即可，月度數(shù)據(jù)，可考慮取p＝12。第三節(jié)協(xié)整按照弗里德曼的持久收入假設(shè)，私人總消費(fèi)（Ct）是持久私人消費(fèi)和暫時(shí)性私人消費(fèi)（εt）之和，持久私人消費(fèi)與持久個(gè)人可支配收入（Yt）成正比。則消費(fèi)函數(shù)為：

其中0＜β1≤1。用表7.2中數(shù)據(jù)對(duì)此消費(fèi)函數(shù)進(jìn)行OLS估計(jì)，假定持久個(gè)人收入等于個(gè)人可支配收入，我們得到：

=0.80969YtR2=0.9924(t:)(75.5662)DW=0.8667

除DW值低以外，估計(jì)結(jié)果很好。t值很高表明回歸系數(shù)顯著，R2也很高，表明擬合很好。可是，由于方程中的兩個(gè)時(shí)間序列是趨勢(shì)時(shí)間序列或非平穩(wěn)時(shí)間序列，因此這一估計(jì)結(jié)果有可能形成誤導(dǎo)。結(jié)果是，OLS估計(jì)量不是一致估計(jì)量，相應(yīng)的常規(guī)推斷程序不正確。格蘭杰（Granger）和鈕博爾德（Newbold）在1974年發(fā)表的論文“SpuriousRegressioninEconometrics”中對(duì)此進(jìn)行了深入研究。

文中指出，如果和是相互獨(dú)立的隨機(jī)漫步時(shí)間序列，那么由于和相互獨(dú)立，在的回歸中的估計(jì)值應(yīng)當(dāng)接近于0，相應(yīng)的t統(tǒng)計(jì)值應(yīng)當(dāng)不顯著。但事實(shí)上Granger和Newbold發(fā)現(xiàn)，在100次回歸試驗(yàn)中（樣本大小為50），的有23次的有24次的有53次本應(yīng)不顯著的t統(tǒng)計(jì)值在大多數(shù)回歸中卻是顯著的！Granger和Newbold把這種現(xiàn)象稱(chēng)為偽回歸（SpuriousRegression），因?yàn)檫@類(lèi)回歸發(fā)現(xiàn)兩個(gè)時(shí)間序列顯著相關(guān)而實(shí)際它們根本不相關(guān)。

他們進(jìn)一步指出，如果在時(shí)間序列的回歸中DW值低于R2，則應(yīng)懷疑有偽回歸的可能。我們上面的結(jié)果正是如此（R2=0.9924>DW=0.8667）。

考慮到經(jīng)濟(jì)學(xué)中大多數(shù)時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列，則我們得到偽回歸結(jié)果是常見(jiàn)的事。避免非平穩(wěn)性問(wèn)題的常用方法是在回歸中使用時(shí)間序列的一階差分?？墒?，使用變量為差分形式的關(guān)系式更適合描述所研究的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的短期狀態(tài)或非均衡狀態(tài)，而不是其長(zhǎng)期或均衡狀態(tài)，描述所研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的長(zhǎng)期或均衡狀態(tài)應(yīng)采用變量本身。

由上面的討論，自然引出了一個(gè)明顯的問(wèn)題：我們使用非均衡時(shí)間序列時(shí)是否必定會(huì)造成偽回歸？對(duì)此問(wèn)題的回答是，如果在一個(gè)回歸中涉及的趨勢(shì)時(shí)間序列“一起漂移”，或者說(shuō)“同步”，則可能沒(méi)有偽回歸的問(wèn)題，因而取決于t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)的推斷也沒(méi)有問(wèn)題。這種非均衡時(shí)間序列的“同步”，引出了我們下面要介紹的“協(xié)整”概念。一．協(xié)整的概念

在方程（7.19）中，持久收入假設(shè)要求兩時(shí)間序列Ct和Yt的線性組合，即時(shí)間序列Ct－β1Yt必須是平穩(wěn)的，這是因?yàn)榇诵蛄械扔讦舤，而暫時(shí)性私人消費(fèi)（εt）按定義是平穩(wěn)時(shí)間序列?？墒牵珻t和Yt都是非平穩(wěn)時(shí)間序列，事實(shí)上，不難驗(yàn)證：Ct～I(xiàn)(1），Yt～I(xiàn)(1）。也就是說(shuō)，盡管Ct～I(xiàn)(1），Yt～I(xiàn)(1），但持久收入假設(shè)要求它們的線性組合εt=Ct－β1Yt是平穩(wěn)的，即εt=Ct－β1Yt～I(xiàn)(0）。在這種情況下，我們說(shuō)時(shí)間序列Ct和Yt是協(xié)整的(Cointegrated)。下面給出協(xié)整(Cointegration)的正式定義。協(xié)整的定義

如果兩時(shí)間序列Yt～I(xiàn)(d)，Xt～I(xiàn)(d)，并且這兩個(gè)時(shí)間序列的線性組合a1Yt+a2Xt

是(d-b)階單整的，即a1Yt+a2Xt～I(xiàn)(d-b)（d≥b≥0），則Yt

和Xt被稱(chēng)為是（d,b）階協(xié)整的。記為

Yt,Xt～CI(d,b)這里CI是協(xié)整的符號(hào)。構(gòu)成兩變量線性組合的系數(shù)向量（a1，a2）稱(chēng)為“協(xié)整向量”。

下面給出本節(jié)中要研究的兩個(gè)特例。

1、 Yt,Xt～CI(d,d）在這種情況下，d=b，使得a1Yt+a2Xt～I(xiàn)(0），即兩時(shí)間序列的線性組合是平穩(wěn)的，因而Yt,Xt～CI(d,d）。

2、 Yt,Xt～CI(1,1)

在這種情況下，d=b=1，同樣有a1Yt+a2Xt～I(xiàn)(0)，即兩時(shí)間序列的線性組合是平穩(wěn)的，因而

Yt,Xt～CI(1,1）。

讓我們考慮下面的關(guān)系

Yt=β0+β1Xt

（7.19）

其中，Yt～I(xiàn)(1），Xt～I(xiàn)(1）。當(dāng)0=Yt－β0－β1Xt時(shí)，該關(guān)系處于長(zhǎng)期均衡狀態(tài)。對(duì)長(zhǎng)期均衡的偏離，稱(chēng)為“均衡誤差”，記為εt：

εt=Yt－β0－β1Xt

若長(zhǎng)期均衡存在，則均衡誤差應(yīng)當(dāng)圍繞均衡值0波動(dòng)。也就是說(shuō)，均衡誤差εt應(yīng)當(dāng)是一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列，即應(yīng)有

εt～I(xiàn)(0），E(εt）=0。按照協(xié)整的定義，由于

Yt～I(xiàn)(1），Xt～I(xiàn)(1），且線性組合

εt=Yt－β0－β1Xt～I(xiàn)(0）因此，Yt

和Xt是（1，1）階協(xié)整的，即

Yt，Xt～CI(1,1）協(xié)整向量是（1,－β0,－β1）

綜合以上結(jié)果，我們可以說(shuō)，兩時(shí)間序列之間的協(xié)整是表示它們之間存在長(zhǎng)期均衡關(guān)系的另一種方式。因此，若Yt

和Xt是協(xié)整的,并且均衡誤差是平穩(wěn)的且具有零均值，我們就可以確信，方程

Yt=β0+β1Xt+εt

（7.20）將不會(huì)產(chǎn)生偽回歸結(jié)果。由上可知，如果我們想避免偽回歸問(wèn)題，就應(yīng)該在進(jìn)行回歸之前檢驗(yàn)一下所涉及的變量是否協(xié)整。二．協(xié)整的檢驗(yàn)

我們下面介紹用于檢驗(yàn)兩變量之間協(xié)整最常用的恩格爾-格蘭杰（Engle-Granger）方法。Engle-Granger法（EG）或增廣Engle-Granger法（AEG）的檢驗(yàn)步驟如下。步驟1.用上一節(jié)介紹的單位根方法求出兩變量的單整的階，然后分情況處理,共有三種情況：（1） 若兩變量的單整的階相同，進(jìn)入下一步；（2） 若兩變量的單整的階不同，則兩變量不是協(xié)整的；（3） 若兩變量是平穩(wěn)的，則整個(gè)檢驗(yàn)過(guò)程停止，因?yàn)槟憧梢圆捎脴?biāo)準(zhǔn)回歸技術(shù)處理。

步驟2.

若兩變量是同階單整的，如I(1），則用OLS法估計(jì)長(zhǎng)期均衡方程（稱(chēng)為協(xié)整回歸）：

Yt=β0+β1Xt+εt并保存殘差et，作為均衡誤差εt的估計(jì)值。

應(yīng)注意的是，雖然估計(jì)出的協(xié)整向量（1，－，－）是真實(shí)協(xié)整向量（1，－β0，－β1）的一致估計(jì)值，這些系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)值則不是一致估計(jì)值。由于這一原因，標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)值通常不在協(xié)整回歸的結(jié)果中提供。步驟3.

對(duì)于兩個(gè)協(xié)整變量來(lái)說(shuō)，均衡誤差必須是平穩(wěn)的。為檢驗(yàn)其平穩(wěn)性，對(duì)上一步保存的均衡誤差估計(jì)值（即協(xié)整回歸的殘差et）應(yīng)用單位根方法。具體作法是將Dickey—Fuller檢驗(yàn)法用于時(shí)間序列et，也就是用OLS法估計(jì)形如下式的方程：△et=δet-1+νt

（7.21）

有兩點(diǎn)須提請(qǐng)注意：（1）（7.21）式不包含常數(shù)項(xiàng)，這是因?yàn)镺LS殘差et應(yīng)以0為中心波動(dòng)。（2）Dickey—Fullerτ統(tǒng)計(jì)量不適于此檢驗(yàn)，表7.3提供了用于協(xié)整檢驗(yàn)的臨界值表。

由表7-3中可見(jiàn)，Ct和Yt都是非平穩(wěn)的，而ΔCt和ΔYt都是平穩(wěn)的。這就是說(shuō)，

Ct～I(xiàn)(1），Yt～I(xiàn)(1）因而我們可以進(jìn)入下一步。

第四步，得出有關(guān)兩變量是否協(xié)整的結(jié)論。用tδ＝－3.150與表7－3中的臨界值相比較（m=2），采用顯著性水平α=0.05，tδ大于臨界值τ，因而接受et非平穩(wěn)的原假設(shè)，意味著兩變量不是協(xié)整的，我們不能說(shuō)在私人消費(fèi)和個(gè)人可支配收入之間存在著長(zhǎng)期均衡關(guān)系?？墒?，如果采用顯著性水平α=0.10，則－3.150與表7－3中的臨界值大致相當(dāng)，因而可以預(yù)期，若α=0.11，tδ將小于臨界值τ，我們接受et為平穩(wěn)的備擇假設(shè)，即兩變量是協(xié)整的，或者說(shuō)兩變量之間存在著長(zhǎng)期均衡關(guān)系。第四節(jié)誤差修正模型（ECM）

協(xié)整分析中最重要的結(jié)果可能是所謂的“格蘭杰代表定理”（Grangerrepresentationtheorem）。按照此定理，如果兩變量Yt和Xt是協(xié)整的，則它們之間存在長(zhǎng)期均衡關(guān)系。當(dāng)然，在短期內(nèi)，這些變量可以是不均衡的，擾動(dòng)項(xiàng)是均衡誤差εt。兩