第7章自由曲線與曲面-2

第四章自由曲線與曲面（二）2Bezier曲線1962年，法國雷諾汽車公司P.E.Bezier工程師以“逼近”為基礎(chǔ)UNISURF系統(tǒng)1972年雷諾汽車公司正式使用3Bezier曲線（1/19）Bezier基函數(shù)--Bernstein多項(xiàng)式的定義三次Bézier曲線的四個混合函數(shù)

4Bezier曲線（2/19）Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)正性權(quán)性對稱性降階公式升階公式5Bezier曲線（3/19）導(dǎo)數(shù)積分最大值在t=i/n處取得最大值線性無關(guān)性是n次多項(xiàng)式空間的一組基6Bezier曲線（4/19）Bezier曲線的定義n次多項(xiàng)式曲線P(t)稱為n次Bezier曲線控制頂點(diǎn)控制多邊形P0P1P2P37Bezier曲線（5/19）Bezier曲線的性質(zhì)端點(diǎn)位置這說明,Bezier曲線通過特征多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn).P0P1P2P3端點(diǎn)切矢量將伯恩斯坦式對t求導(dǎo).8在對曲線參數(shù)方程求導(dǎo)910Bezier曲線（6/19）導(dǎo)數(shù)曲線P0P1P2P3一階導(dǎo)矢:對于三次Bezier曲線，n=3，有P’(0)=3(P1-P0)P’(1)=3(P3-P2)它說明Bezier在始點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向與特征多邊形的第一條邊和最后一條邊的走向一致。二階導(dǎo)矢:當(dāng)t=0時當(dāng)t=1時11二階導(dǎo)失只與相鄰的3個頂點(diǎn)有關(guān)。事實(shí)上，r階導(dǎo)失只與r+1個相鄰點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)點(diǎn)無關(guān)。1213Bezier曲線（7/19）對稱性不是形狀對稱保持貝塞爾曲線全部控制點(diǎn)Pi的坐標(biāo)位置不變，只是將控制點(diǎn)Pi的排序顛倒，曲線形狀保持不變假如保持n次Bézier曲線諸頂點(diǎn)的位置不變，而把次序顛倒過來，即下標(biāo)為i的點(diǎn)改為下標(biāo)為n-i的點(diǎn)，則此時曲線仍不變，只不過曲線的走向相反而已。這一性質(zhì)可證明如下：由伯恩斯坦多項(xiàng)式可以導(dǎo)出：記次序顛倒以后的頂點(diǎn)為，則有此時，設(shè)新的Bézier曲線為,則14令n-i=k,則i=n-k,且i=0時，k=n及i=n,k=0，所以

再將k換成i,則又因?yàn)樗?/p>

16Bezier曲線（8/19）凸包性點(diǎn)集的凸包包含這些點(diǎn)的最小凸集Bezier曲線位于其控制頂點(diǎn)的凸包之內(nèi)17Bezier曲線（10/19）幾何不變性曲線的形狀僅與特征多邊形各頂點(diǎn)的相鄰位置有關(guān)，而與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。平面曲線的變差縮減性若Bezier曲線的特征多邊形是一個平面圖形，則平面內(nèi)任意直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點(diǎn)個數(shù)。此性質(zhì)反映了曲線比其特征多邊形的波動要小，也就是說比特征多邊形的折線更光順。18Bezier曲線（11/19）二次Bezier曲線n=2，有3個控制點(diǎn)拋物線P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)19說明二次曲線為拋物線，其矩陣形式為20Bezier曲線（12/19）三次Bezier曲線n=3P0P1P2P3P(0)P(1)21Bezier曲線（13/19）三次Bezier曲線的矩陣表示22Bezier曲線（14/19）遞推公式--DeCasteljau算法計算過程幾何解釋例。利用Bezier的定比分割方法繪制三次Bezier曲線。令u=0.5,并驗(yàn)證你的分割方法是正確的。設(shè)由P0,P1,P2,P3控制生成的一條三次Bezier曲線可在u=1/2處分段，分成的兩端均為三次Bezier曲線，它們由各自的控制點(diǎn)控制。取P0P1的中點(diǎn)P4，P1P2的中點(diǎn)P5，P2P3的中點(diǎn)P6，P4P5的中點(diǎn)P7，P5P6的中點(diǎn)P8，P7P8的中點(diǎn)P9。則P4=（P0+P1）/2;P5=(P1+P2)/223P6=(P2+P3)/2;P7=(P4+P5)/2=P0/4+P1/2+P2/4;P8=(P5+P6)/2=P1/4+P2/2+P3/2;P9=(P7+P8)/2=P0/8+3P1/8+3P2/8+P3/8下面來說明P9在由P0、P1、P2、P3確定的三次Bezier曲線上，且為u=1/2時的P（1/2），這只需將u=1/2代入P(t).24接著我們還需證明，P(u)(0≤u≤1/2)即為點(diǎn)P0、P4、P7、P9控制生成的Bezier曲線，而P(u)(1/2≤u≤1)即為點(diǎn)P9、P8、P6、P3控制生成的Bezier曲線.設(shè)由P0、P4、P7、P9控制生成的Bezier曲線為：將P0、P4、P7、P9代入在曲線P(u)(0≤u≤1/2)中，令u=t/2,則得同理可證通過上述的分割，我們獲得折線P0P4P7P9P8P6P3它比折線P0P1P2P3更接近曲線，且P9在曲線上，繼續(xù)對由P9分成的兩段曲線作分割，除獲得更接近曲線的折線外，另外還獲得曲線上的兩個點(diǎn)，分割次數(shù)越多，新的折線越逼近曲線。當(dāng)達(dá)到某種精度時，我們可獲得的折線近似地表達(dá)Bezier曲線。例：試根據(jù)下列給定的條件，分割作圖畫出有關(guān)曲線的形狀示意圖。已知：圖(a)所示三次Bezier曲線的控制多邊形，共有4個控制點(diǎn)P0P1P2P3;t=1/2P1P0P3P2例：計算以（30,0），（60,10）,(80,30),(90,60),(90,90)為控制頂點(diǎn)的4次Bezier曲線在t=1/2處的值，并畫出decasteljau三角形。由Bezier曲線函數(shù)表達(dá)式可得：decasteljau三角形：35Bezier曲線（15/19）曲線的拼接為了表達(dá)復(fù)雜的曲線，通常采用分段設(shè)計，然后將各段曲線相互連接起來，并在結(jié)合處保持一定的連續(xù)條件，下面討論兩段曲線達(dá)到不同階級和連續(xù)的條件。給定兩條曲線P(t)和Q(t)，相應(yīng)控制點(diǎn)為Pi(i=0,1,…,n)和Qj(j=0,1,…,n)，且令ai=Pi-Pi-1,bj=Qj-Qj-1,如圖，現(xiàn)在討論如何把兩條曲線光滑地連接起來。根據(jù)前節(jié)內(nèi)容可以知道：（1）使它們達(dá)到G0連續(xù)的充要條件是Pn=Q0（2）使它們達(dá)到G1連續(xù)的充要條件是Pn-1,Pn=Q0,Q1三點(diǎn)共線，即b1=an(>0)(3)使它們達(dá)到G2連續(xù)的充要條件是在G1連續(xù)的條件下，滿足方程將

代入并整理，可以得到選擇α和β的值，可以利用該式確定曲線段Q(t)的特征多邊形頂點(diǎn)Q2，而頂點(diǎn)Q0、Q1已被G1連續(xù)條件所確定；要達(dá)到G2連續(xù)的話，只剩下頂點(diǎn)Q2可以自由選取。

如果上式的兩邊都減去Pn，則等式右邊可以表示為（Pn-Pn-1）和（Pn-1-Pn-2）的線性組合這表明Pn-2、Pn-1、Pn=Q0、Q1和Q2這5點(diǎn)共面。事實(shí)上，在接合點(diǎn)兩條曲線段的曲率相等，主法線方向一致，還可以斷定Pn-2和Q2位于Pn-1Q1直線的同一側(cè)。38Bezier曲線（16/19）零階幾何連續(xù)條件一階幾何連續(xù)條件二階幾何連續(xù)條件？三點(diǎn)共線，且Q1,Pm-1在連接點(diǎn)的異側(cè)39反求控制頂點(diǎn)給定n+1個型值點(diǎn)，要求構(gòu)造一條Bezier曲線通過這些點(diǎn)Bezier曲線（17/19）例：已知Bezier曲線上的四個點(diǎn)分別是(6,0)，(3,0)，(0,3)，(0,6)，它們對應(yīng)的參數(shù)分別是0,1/3,2/3,1，反求Bezier曲線的控制頂點(diǎn)。貝塞爾曲線的函數(shù)式為：Bezier曲線的升階與降階Bézier曲線的升階升階是指保持Bézier曲線的形狀與定向不變，增加定義它的控制頂點(diǎn)數(shù)，也即提高該Bézier曲線的次數(shù)。增加了控制頂點(diǎn)數(shù)，不僅增加了對曲線進(jìn)行形狀控制的靈活性，還在構(gòu)造曲面方面有著重要的應(yīng)用。對于一些由曲線生成曲面的算法，要求那些曲線必須是同次的，應(yīng)用升階的方法可以把低于高次數(shù)的曲線提升到最高次數(shù)，使所有曲線具有相同的次數(shù)。曲線升階后，原控制頂點(diǎn)會發(fā)生變化。下面來計算曲線提升一階后的新的控制點(diǎn)。設(shè)給定原始控制頂點(diǎn)，，…，，定義了一條n次Bézier曲線t∈[0,1]增加一個頂點(diǎn)后，仍定義同一條曲線的新控制頂點(diǎn)為，則有對上式左邊乘以，得到比較等式兩邊項(xiàng)的系數(shù)，得到化簡即得其中此式說明：新的控制頂點(diǎn)，是以參數(shù)值按分段線性插值從原始特征多邊形得到的。（1）升階后的新特征多邊形在原始特征多邊形的凸包內(nèi)。（2）特征多邊形更靠近曲線三次Bézier曲線的升階實(shí)例如圖7-8所示。2）Bézier曲線的降階降階是升階的逆過程。給定一條有原始控制頂點(diǎn)定義的n次Bézier曲線，要求找到一條由新控制頂點(diǎn)定義的n-1次Bézier曲線來逼近原始曲線。假定是由升階得到的，則由公式有：從這個方程可以導(dǎo)出兩個遞推公式：和其中第一個遞推公式在靠近處趨向生成較好的逼近，而第二個遞推公式在靠近處趨向生成較好的逼近。例：構(gòu)造一條三次Bezier曲線，讓它來逼近橢圓在第一象限中的部分，設(shè)定橢圓的長短軸分別為a和b(a>b>0)。已知P0(0,b),P1(a,b),P2(a,0).解：因?yàn)闃?gòu)造的是三次曲線，它由四個控制點(diǎn)對應(yīng)，設(shè)為Q0,Q1,Q2,Q3，對原控制點(diǎn)進(jìn)行升階，根據(jù)升階公式：所以可以得到：Q0(0,b),Q1(2a/3,b),Q2(a,2b/3),Q3(a,0)令Qi(i=0,1,2,3)為控制點(diǎn)，生成三次Bezier曲線：例：給定四次Bezier曲線的控制頂點(diǎn)P0（0,0），P1(0,75)，P2(50,50)，P3(100,25)，P4(100,100)，計算降階一次后的控制頂點(diǎn)。解：由降階公式：所以降階以后的控制點(diǎn)為P0（0,0），P1（0,100），P2（100,0），P3（100,100）49優(yōu)點(diǎn)：形狀控制直觀設(shè)計靈活Bezier曲線（18/19）50缺點(diǎn)：所生成的曲線與特征多邊形的外形相距較遠(yuǎn)局部控制能力弱，因?yàn)榍€上任意一點(diǎn)都是所有給定頂點(diǎn)值的加權(quán)平均控制頂點(diǎn)數(shù)增多時，生成曲線的階數(shù)也增高控制頂點(diǎn)數(shù)較多時，多邊形對曲線的控制能力減弱曲線拼接需要附加條件，不太靈活Bezier曲線（19/19）51B樣條曲線（1/17）產(chǎn)生：1946年，Schoenberg發(fā)表關(guān)于B樣條函數(shù)的第1篇論文1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的啟發(fā)，將B樣條函數(shù)拓廣成參數(shù)形式的B樣條曲線優(yōu)于Bezier曲線之處：與控制多邊形的外形更接近局部修改能力任意形狀，包括尖點(diǎn)、直線的曲線易于拼接階次低，與型值點(diǎn)數(shù)目無關(guān)，計算簡便B樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式首先給出n次B樣條函數(shù)的表達(dá)式為：式中函數(shù)稱為截尾冪函數(shù)，即：下面討論n=1、2、3時，B樣條函數(shù)的表達(dá)式及圖像。當(dāng)n=1時該函數(shù)在各區(qū)間的表達(dá)式為：M1(x)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間(-1,1)被分為兩段，每段都是x的一次式，在此區(qū)間之外函數(shù)值均為0.-111xM1(x)0當(dāng)n=2時，該函數(shù)在各區(qū)間的表達(dá)式為：M2(x)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間(-3/2,3/2)被分為三段，每段都是x的二次式，在此區(qū)間之外，函數(shù)值均為0.-3/2-1/21/23/20M2(x)3/4當(dāng)n=3時該函數(shù)在各區(qū)間的表達(dá)式為：M3(x)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間(-2,2)被分為四段，每段都是x的三次式，在此區(qū)間之外，函數(shù)值均為0.-2-1120M3(x)2/3歸納起來，可知n次B樣條函數(shù)在區(qū)間(-(n+1)/2,(n+1)/2)中被分為n+1段，每段都是x的n次式，在此區(qū)間之外函數(shù)值均為0.在參數(shù)表示中，通常將參數(shù)t的變化范圍取為(0--1)，為此作參數(shù)變換t=x-(L-(n+1)/2)，則第L段（L=0,1,2,,，n）的表達(dá)式為或用L=n-k代替，則順序顛倒，得到以t為參數(shù)的均勻節(jié)點(diǎn)B樣條基函數(shù)為通常給定m+n+1個頂點(diǎn)，Pi（i0,1,，m+n）以上式為基底定義的n次參數(shù)曲線為：稱為n次均勻節(jié)點(diǎn)B樣條第i段曲線，而以i=0,1,,,m所構(gòu)造的m+1段曲線的全體就稱為n次均勻節(jié)點(diǎn)B樣條曲線依次以線段Pi+l(l=0,1,2,,,n)所組成的多邊形稱為樣條在第i段的B特征多邊形。它的全體稱為n次B樣條曲線，它具有Cn-1連續(xù)性由于n次B樣條函數(shù)是n-1階連續(xù)。因此整條B樣條曲線也是n-1階連續(xù)。在實(shí)際應(yīng)用中，使用最多的是三次B樣條曲線，其次是二次B樣條曲線，這里我們僅討論三次B樣條曲線代入函數(shù)式整理得：上式可以寫成矩陣形式三次B樣條曲線的性質(zhì)（1）當(dāng)t=0時當(dāng)t=1時，對t求一階導(dǎo)數(shù)對t求二階導(dǎo)數(shù)從上面三組式子可以看出，起點(diǎn)P(0)落在△P0P1P2的中線P1P1*上，離P1三分之一處，終點(diǎn)落在△P1P2P3的中線P2P2*上離P2三分之一處，而兩點(diǎn)的切線矢量分別平行于P0P2和P1P3，且長度為其一半，兩點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)向量等于中線矢量的兩倍。P0P2P1P3P4P（0）P（1）P’(0)P’(1)P’’(0)P1*P2*P’’(1)如果在特征多邊形中增加一個頂點(diǎn)P4，則P1P2P3P4決定下一段三次B樣條曲線段，而新曲線段在起點(diǎn)的信息與前一段終點(diǎn)的信息完全相同，從而說明曲線是二階連續(xù)的。（2）直觀性B樣條曲線從形狀上更逼近特征多邊形，所以其形狀更為直觀。(3)曲線的次數(shù)不隨頂點(diǎn)數(shù)的增減而增減B樣條曲線的次數(shù)由特征多邊形的點(diǎn)數(shù)加1而定，但曲線次數(shù)的高低取決于對整條曲線的光滑要求，一旦次數(shù)確定，每增加一個頂點(diǎn)，只不過是增加一段曲線而已。（4）局部可控性改動曲線上某一點(diǎn)，僅影響曲線的局部形狀，通常是該點(diǎn)相鄰兩側(cè)的曲線形狀，不會改變曲線的整體形狀。（5）凸包性如果特征多邊形是凸的，曲線也一定是凸的。（6）對稱性將特征多邊形各頂點(diǎn)順序顛倒過來，曲線仍保持不變，但走向相反。67B樣條曲線（4/17）二次B樣條n=2拋物線B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)68B樣條曲線（5/17）三次B樣條n=3P(t)B0B1B2B369B樣條曲線（6/17）三次B樣條的C2連續(xù)性如果增加一個控制頂點(diǎn)P4，則前一段曲線是否會受影響？P(t)P470B樣條曲線（7/17）特殊外形設(shè)計三頂點(diǎn)共線位于控制多邊形邊上的一個點(diǎn)P0P2P1MP(0)P’(0)P0P2MP1P(0)71B樣條曲線（8/17）特殊外形設(shè)計四頂點(diǎn)共線含有直線段的曲線P0P3P1P2P(0)M1P(1)M272B樣條曲線（9/17）特