第五章異方差問(wèn)題

第五章異方差第一節(jié)異方差問(wèn)題及其影響第二節(jié)

異方差的檢驗(yàn)第三節(jié)

異方差問(wèn)題的補(bǔ)救措施經(jīng)典線性回歸模型的一個(gè)很重要的假定是隨機(jī)項(xiàng)的同方差性，這是保證OLSE有效性的重要假定，也是顯著性檢驗(yàn)和置信區(qū)間構(gòu)造的前提條件。本章中，我們分析如果此假定不成立將會(huì)出現(xiàn)什么后果，以及如何對(duì)此進(jìn)行檢驗(yàn)與補(bǔ)救等問(wèn)題。2/6/20231山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室學(xué)習(xí)目標(biāo)4.了解修正異方差性的主要方法，掌握加權(quán)最小二乘法，理解懷特異方差--穩(wěn)健估計(jì)量及其應(yīng)用。3.了解異方差檢驗(yàn)基本思路及各檢驗(yàn)方法的假設(shè)條件；熟練掌握戈德菲爾德－匡特檢驗(yàn)、懷特檢驗(yàn)以及布殊-帕甘檢驗(yàn)；2.理解出現(xiàn)異方差性時(shí)使用OLS的后果；1.了解異方差性的含義及產(chǎn)生的原因；學(xué)習(xí)本章后,您應(yīng)該做到：2/6/20232山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室1、異方差概念與異方差性時(shí)對(duì)OLS的影響；異方差性的修正及其EViews軟件操作方法。難點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：2、異方差檢驗(yàn)基本思路及各檢驗(yàn)方法的假設(shè)條件與檢驗(yàn)步驟；4、懷特異方差--穩(wěn)健估計(jì)量及其應(yīng)用；3、異方差問(wèn)題的處理----加權(quán)最小二乘法2/6/20233山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室第一節(jié)異方差問(wèn)題及其影響、異方差及其產(chǎn)生的原因

經(jīng)典線性模型中高斯－馬爾科夫假定中重要的一個(gè)假定是同方差假定（假定SLR.4和MLR.5），即對(duì)于給定自變量的取值（一元回歸是一個(gè)值，多元回歸是一組值），的條件方差都是同一個(gè)常數(shù)：（假定SLR.4或假定MLR.5）若對(duì)于給定解釋變量的值為條件的隨機(jī)項(xiàng)的方差不再是一個(gè)常數(shù)，而是取得不同的數(shù)值，即：(5.1)2/6/20234山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室圖5.1異方差示意圖

xyf(y)則稱隨機(jī)誤差項(xiàng)u具有異方差性(Heteroscedasticity)。如果被解釋變量觀測(cè)值的分散程度是隨解釋變量的變化而變化的，如圖5.1所示，可以把異方差看成是由于某個(gè)解釋變量的變化而引起的，則2/6/20235山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室

由于經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是錯(cuò)綜復(fù)雜的,所以同方差性的假定往往不符合實(shí)際情況，而異方差是大量存在的。例如，考慮家庭的可支配收入和儲(chǔ)蓄的關(guān)系，如建立如下家庭收入－儲(chǔ)蓄模型

yi

=0+1

xi+ui其中：yi：第i個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄額xi：第i個(gè)家庭的收入

從二者的關(guān)系不難看出，當(dāng)收入增加時(shí)，平均儲(chǔ)蓄也會(huì)隨之增加。如果我們對(duì)不同收入水平家庭的儲(chǔ)蓄進(jìn)行觀察，同樣也會(huì)發(fā)現(xiàn)，低收入的家庭儲(chǔ)蓄差異性較小，而高收入的家庭儲(chǔ)蓄的差異性較大。這是因?yàn)榈褪杖氲募彝?，其收入中?/6/20236山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室除必要的生活支出以外，用于其他支出和儲(chǔ)蓄的部分也較少，因此隨機(jī)項(xiàng)波動(dòng)的程度小，即差小；而高收入家庭，其收入中扣除必要的生支出以外，剩余的就較多，就有更大的使用選余地，因而隨機(jī)項(xiàng)波動(dòng)的程度就大，這樣儲(chǔ)蓄差異就較大，即方差大。因此，對(duì)于家庭收入－儲(chǔ)蓄模型，

隨機(jī)項(xiàng)方差性。可用圖5-2表示。具有異2/6/20237山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室yx圖5.2收入-儲(chǔ)蓄模型中的異方差可以看出，儲(chǔ)蓄y的離散程度隨收入x的增加而增大，具有明顯的異方差性。2/6/20238山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例:以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型

Q=AKαLeu其中，Q為產(chǎn)出量，K為資本，L為勞動(dòng)力，u為隨機(jī)項(xiàng)。

u在該問(wèn)題中表示了包括不同企業(yè)在設(shè)計(jì)上、生產(chǎn)工藝上的區(qū)別，技術(shù)熟練程度和管理上的差別以及其它因素。這些因素在小企業(yè)之間差別不大，而在大企業(yè)之間，這些因素都相差甚遠(yuǎn)，即隨機(jī)項(xiàng)的方差隨著解釋變量的增大而增大。

2/6/20239山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室一般而言，產(chǎn)生異方差的原因主要來(lái)自以下幾個(gè)方面：1．模型中省略的解釋變量。

例如，模型本來(lái)應(yīng)當(dāng)為假如被略去了，而采用了模型當(dāng)被略去的有呈同方向或反方向變化的趨勢(shì)

的有規(guī)律變化會(huì)體現(xiàn)在上式的時(shí)，如果將某些未在模型中出現(xiàn)的重要影響因素歸入隨機(jī)誤差項(xiàng)，而且這些影響因素的變化具有差異性，則會(huì)對(duì)被解釋變量產(chǎn)生不同的影響，從而導(dǎo)致誤差項(xiàng)的方差隨之變化，即產(chǎn)生異方差性。注意模型設(shè)定偏誤2/6/202310山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（以后將介紹）往往從表象看像是異方差問(wèn)題，其實(shí)是由于模型中的一些重要變量被忽略了。例如，在一個(gè)對(duì)商品的需求函數(shù)中，如果沒(méi)有把有關(guān)的互補(bǔ)品和（或）替代品價(jià)格包括進(jìn)來(lái)（遺漏變量偏誤），則回歸殘差可能給人以異方差的表面印象；而當(dāng)模型把所忽略的變量包括進(jìn)來(lái)時(shí)，這種現(xiàn)象也許會(huì)消失。2.測(cè)量誤差。一方面，由于解釋變量取值越大，測(cè)量誤差就會(huì)趨于增大；另一方面，測(cè)量誤差又有可能隨時(shí)間而變化，比如測(cè)量技術(shù)、抽樣技術(shù)和數(shù)據(jù)采集技術(shù)等的不斷改進(jìn)，測(cè)量誤差有可能減少。例如，有成熟的數(shù)據(jù)處理設(shè)備的銀行，在為客戶提供的月度或季度報(bào)表中，相對(duì)于沒(méi)有這種設(shè)備的銀行，會(huì)出現(xiàn)更2/6/202311山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室少的差錯(cuò)。3.模型中一個(gè)或多個(gè)回歸元的分布偏態(tài)（Skewness)，即截面數(shù)據(jù)中總體各單位的差異。諸如收入、財(cái)富和教育等經(jīng)濟(jì)變量都是很好的例子。例如前面所舉的家庭收入－儲(chǔ)蓄模型，如果采用不同家庭收入組的數(shù)據(jù)，低收入組的家庭儲(chǔ)蓄的差異較小，高收入的家庭儲(chǔ)蓄差異較大，最終反映為隨機(jī)項(xiàng)偏離其均值的程度有變化而出現(xiàn)異方差。異方差性在截面數(shù)據(jù)中比在時(shí)間數(shù)列中可能更常出現(xiàn)，這是因?yàn)橥粫r(shí)點(diǎn)不同對(duì)象的差異，一般說(shuō)來(lái)會(huì)大于同一對(duì)象不同時(shí)間的差異。2/6/202312山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室4.模型函數(shù)形式設(shè)定錯(cuò)誤。如把變量間本來(lái)為非線性的關(guān)系設(shè)定為線性，也可能導(dǎo)致異方差。5.異方差性還會(huì)因?yàn)楫惓Ｓ^測(cè)（outliers）的出現(xiàn)而產(chǎn)生。一個(gè)超越正常范圍的觀測(cè)值稱為異常觀測(cè)，是指和其他觀測(cè)值相比相差很多（非常小或非常大）的觀測(cè)值。包括這樣一個(gè)觀測(cè)值，尤其是小樣本時(shí)，會(huì)在很大程度上改變回歸分析的結(jié)果。2/6/202313山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室二、異方差產(chǎn)生的后果如果模型中存在異方差，將產(chǎn)生以下的后果：最小二乘估計(jì)量仍然是線性無(wú)偏的與一致的，但不再具有最小方差性。事實(shí)上OLS本身對(duì)條件方差沒(méi)有任何要求，所以它們適用于異方差的一般情況，也適用于同方差的特殊情況。因此，不管誤差是同方差還是異方差，OLSE估計(jì)量都是無(wú)偏的、一致的和漸進(jìn)正態(tài)的。但在異方差下能夠找到比OLSE的方差更小的估計(jì)量，也就是說(shuō)，OLSE不再是最優(yōu)的，即使對(duì)大樣本也是如此。2.隨機(jī)項(xiàng)的方差的估計(jì)是有偏的。

當(dāng)ui是同方差時(shí)，未知的條件方差是一個(gè)常數(shù)，其2/6/202314山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室無(wú)偏估計(jì)量是而當(dāng)ui是異方差時(shí)，是變化的，如果這時(shí)仍用一個(gè)不變的值估計(jì)可以取不同數(shù)值的顯然是不合適的：，

有些觀有些觀測(cè)點(diǎn)可能測(cè)點(diǎn)可能所以是的有偏估計(jì)，而且在異方差條件下，也不存在的無(wú)偏估計(jì)量。是的有偏估計(jì)，3.由于所以這些參數(shù)方差的估計(jì)量是有偏的，參數(shù)的估2/6/202315山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差也是有偏的，不能用來(lái)構(gòu)造置信區(qū)間和t統(tǒng)計(jì)量。所以，當(dāng)出現(xiàn)異方差時(shí)，通方差時(shí)，我們?cè)诟咚埂R爾科夫假定下用來(lái)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量都不再成立。如果我們忽視異方差性而執(zhí)意使用慣常的檢驗(yàn)程序，則無(wú)論我們得出什么結(jié)論或作出什么推斷，都可能產(chǎn)生嚴(yán)重的誤導(dǎo)。常OLS的t統(tǒng)計(jì)量就不再具有t分布，使用大樣本容量也不能解決這個(gè)問(wèn)題。類似的，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量也不再服從F分布，LM統(tǒng)計(jì)量也不服從漸近分布?？傊?，在出現(xiàn)異4.預(yù)測(cè)的精確度降低。盡管參數(shù)的OLSE仍然無(wú)偏，并且基于此的點(diǎn)預(yù)測(cè)也是無(wú)偏的，但是由于參數(shù)估計(jì)量2/6/202316山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室不是有效的，從而對(duì)y的預(yù)測(cè)也將不是有效的。因此，預(yù)測(cè)值的精確度降低，區(qū)間預(yù)測(cè)中因?yàn)橛玫剿越㈩A(yù)測(cè)區(qū)間也會(huì)發(fā)生困難。2/6/202317山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室異方差是一個(gè)潛在的嚴(yán)重問(wèn)題，因?yàn)樗赡芷茐某Ｓ玫腛LS估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程。因此，在實(shí)際研究中，尤其是針對(duì)截面數(shù)據(jù)時(shí)，在參數(shù)估計(jì)之前首先要判斷第二節(jié)異方差的檢驗(yàn)是否存在異方差的問(wèn)題。多年來(lái)，人們已經(jīng)提出過(guò)許多種檢驗(yàn)異方差的方法。其中有些方法盡管有能力偵查異方差性，但并不直接檢驗(yàn)誤差方差與自變量無(wú)關(guān)的假定。這里我們不僅介紹幾種傳統(tǒng)的檢驗(yàn)方法，同時(shí)介紹幾種現(xiàn)代的檢驗(yàn)。這些現(xiàn)代檢驗(yàn)不僅能偵查出使通常的OLS統(tǒng)計(jì)量無(wú)效的異方差類型，同時(shí)還具備將所有檢驗(yàn)都放在同一框架之中的好處。2/6/202318山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室一、圖示法

隨機(jī)項(xiàng)u的異方差與解釋變量的變化有關(guān)。因此，可利用因變量y與解釋變量x的散點(diǎn)圖或殘差e2i與x的散點(diǎn)圖，對(duì)隨機(jī)項(xiàng)u的異方差作近似的直觀判斷。見(jiàn)圖5-3

異方差檢驗(yàn)的基本思路：由于異方差性就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差。那么：

檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。2/6/202319山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室yxyxyxyxA同方差B遞增異方差C遞減異方差D復(fù)雜異方差圖5-32/6/202320山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室若散點(diǎn)圖中y分布的區(qū)域隨著x的增大，而逐漸變寬(如圖5-3B)或逐漸變窄(如圖5-3C)，或是更加復(fù)雜的變化(如圖5-3D)，則可認(rèn)為隨機(jī)項(xiàng)可能出現(xiàn)了異方差。另一種等價(jià)的方法是，先建立y對(duì)于x的樣本回歸方程，計(jì)算出殘差再利用殘差平方的散點(diǎn)圖，觀察是否存在異方差.多元回歸模型存在多個(gè)解釋變量，作

的散點(diǎn)圖。

2/6/202321山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室如圖5-4A所示，則表明ui不存在異如圖5-4B、C、D所示，則表明方差；ui存在異方差。A

同方差B遞增異方差

002/6/202322山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室C遞減異方差D復(fù)雜異方差00圖形法的特點(diǎn)是簡(jiǎn)單易操作，不足是對(duì)異方差性的判斷比較粗糙，由于引起異方差性的原因錯(cuò)綜復(fù)雜，僅靠圖形法有時(shí)很難準(zhǔn)確對(duì)是否存在異方差下結(jié)論，還需要采用其他統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法。2/6/202323山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室斯皮爾曼等級(jí)（秩）相關(guān)檢驗(yàn)是由英國(guó)心理學(xué)家查爾斯.斯皮爾曼(Charles

EdwardSpearman1863～1945）在1904年提出的一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法。計(jì)算的相關(guān)系數(shù)又稱等級(jí)（秩）相關(guān)系數(shù)。1953年被應(yīng)用到異方差檢驗(yàn)領(lǐng)域。二、斯皮爾曼等級(jí)（秩）相關(guān)檢驗(yàn)假設(shè)懷疑的方差與某個(gè)自變量有關(guān)，即存在異方差，用等級(jí)（秩）相關(guān)系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)方法為：利用最小二乘法對(duì)模型進(jìn)行回歸，計(jì)算殘差ei及其絕對(duì)值|ei|；2/6/202324山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室

3.計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)xji的位次和|ei|的位次之差di

2.給出xj的每個(gè)觀測(cè)值xji的位次和|ei|的位次；4.計(jì)算Spearman等級(jí)（秩）相關(guān)系數(shù)：5.對(duì)Spearman等級(jí)（秩）相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：2/6/202325山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室在原假設(shè)“總體的Spearman等級(jí)（秩）相關(guān)系數(shù)為0”下，上述統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（n－2）的t分布。對(duì)應(yīng)給定顯著性水平的臨界值tα/2(n-2)，若t≤tα/2(n-2)

，則認(rèn)為不存在異方差，若t＞tα/2(n-2)

，則認(rèn)為存在異方差。2/6/202326山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室三、戈德菲爾德－匡特檢驗(yàn)該檢驗(yàn)方法是戈德菲爾德和匡特（Goldfeld&Quandt）于1965年提出的，用于檢驗(yàn)是否存在遞增或遞減異方差，要求觀測(cè)值為大樣本?；舅枷胧菍颖痉譃閮刹糠郑缓蠓謩e對(duì)兩個(gè)樣本進(jìn)行回歸，并計(jì)算、比較兩個(gè)回歸的剩余平方和是否有明顯差異，以此判斷是否存在異方差。原假設(shè)為：（即同方差）備擇假設(shè)為：是遞增異（或遞減）方差，即遞增（或遞減）

2/6/202327山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室G-Q檢驗(yàn)的步驟：1.將n對(duì)樣本觀察值(xi,

yi)按觀察值xi的大小排隊(duì)。2.將序列中間的c個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣樣本容量均為(n-c)/2。注意：對(duì)于n≥30時(shí)，c=n/4最合適。3.對(duì)每個(gè)子樣分別進(jìn)行OLS回歸，并計(jì)算各自的殘差平方和。分別用RSS1與RSS2表示較小與較大的殘差平方和，它們的自由度均為(n-c)/2–k–1，k為模型中自變量個(gè)數(shù)。 4.選擇統(tǒng)計(jì)量2/6/202328山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室如果檢驗(yàn)遞增方差：如果檢驗(yàn)遞增方差：5.進(jìn)行檢驗(yàn)可以證明，在原假設(shè)下，如果具有等方差性，兩個(gè)方差估計(jì)量應(yīng)該相差不大，F(xiàn)值就應(yīng)接近于1。如果存在異方差，那么F值就應(yīng)該比1大出許多。在給定的顯著性水平下，利用F分布的臨界值Fα進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。當(dāng)F＞Fα?xí)r，應(yīng)拒絕H0，認(rèn)為存在異方差性，當(dāng)F不大于Fα?xí)r，應(yīng)接受H0，認(rèn)為存在同方差性。2/6/202329山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例5-1根據(jù)隨機(jī)抽取的32個(gè)農(nóng)村家庭年底儲(chǔ)蓄余額與年內(nèi)家庭純貨幣收入的資料（其中一個(gè)無(wú)效數(shù)據(jù)），按收入排序后的數(shù)據(jù)見(jiàn)下表。其中，

x為年內(nèi)家庭純貨幣收入（元），

y為年底家庭儲(chǔ)蓄余額（元）。序號(hào)yx序號(hào)yx1264877717157824127210592101816542560439099541914002650041311050820182927670512210979212200283006107119122220172743074061274723210529560850313499241600281509431142692522503210010588155222624203250011898167302725703525012950176632817203350013779185752919003600014819196353021003620015122221163312300382001617022288032-254102/6/202330山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室經(jīng)分析，儲(chǔ)蓄受收入的線性影響，可建立一元線性回歸模型進(jìn)行分析。運(yùn)行EViews軟件，并輸入數(shù)據(jù)，首先，作x,y的散點(diǎn)圖，如圖5-5,。由散點(diǎn)圖可看出：隨機(jī)項(xiàng)可能存在遞增型異方差。從而，可以進(jìn)行異方差的戈德菲爾德－匡特檢驗(yàn)。圖5-5散點(diǎn)圖2/6/202331山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室首先，將原始數(shù)據(jù)x按排成升序，去掉中間的9個(gè)觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，得兩個(gè)容量為11的子樣本。對(duì)兩個(gè)子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-744.6351195.4108-3.8106140.0041X0.0882580.0157055.6196190.0003R-squared0.778216

Meandependentvar331.3636AdjustedR-squared0.753574

S.D.dependentvar260.8157S.E.ofregression129.4724

Akaikeinfocriterion12.72778Sumsquaredresid150867.9

Schwarzcriterion12.80012Loglikelihood-68.00278

F-statistic31.58011Durbin-Watsonstat1.142088

Prob(F-statistic)0.0003262/6/202332山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室即有第一個(gè)子樣本的回歸方程：RSS1＝150867.9VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C1050.790817.35111.2856040.2307X0.0319930.0250091.2792890.2328R-squared0.153863

Meandependentvar2090.364AdjustedR-squared0.059848

S.D.dependentvar300.4404S.E.ofregression291.3113

Akaikeinfocriterion14.34963Sumsquaredresid763760.5

Schwarzcriterion14.42197Loglikelihood-76.92295

F-statistic1.636581Durbin-Watsonstat2.834577

Prob(F-statistic)0.2327912/6/202333山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室即有第二個(gè)子樣本的回歸方程：RSS2＝763760.5給定顯著性水平查F分布表，得臨界值因?yàn)楣示芙^原假設(shè)，

表明隨機(jī)誤差項(xiàng)存在顯著的異方差。2/6/202334山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室四、帕克檢驗(yàn)[1]帕克（P.E.Park，1966）將σ2i看成是解釋變量xi的某個(gè)函數(shù)。他所建議的函數(shù)形式是：或由于σ2i通常是未知的，Park建議用e2i作為替代變量并作如下回歸：（5.7）（5.8）如果γ在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，就表明存在異方差。如果它不顯著，則可接受同方差假設(shè)。此時(shí)，原假設(shè)（等價(jià)原假設(shè)[1]本部分為選學(xué)內(nèi)容2/6/202335山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室可見(jiàn)，Park檢驗(yàn)是一個(gè)兩階段程序。在第一階段中，我們做OLS回歸而不考慮異方差性問(wèn)題，我們從這一回歸中得到，然后做第二階段回歸（5.8）。雖然帕克檢驗(yàn)從經(jīng)驗(yàn)上看頗有魅力，卻遇到一些問(wèn)題，戈德菲爾德和匡特曾指出，進(jìn)入方程（5.8）的誤差項(xiàng)可能不滿足OLS假設(shè)，而且本身還可能是異方差[1]StephenM.GoldfeldandRichardE.Quandt,Nonlinear

MethodsinEconometrics,NorthHollandPublishingCompany,Amsterdam,1972,pp.93-94.的[1]。然而平心而論，作為一種純粹探索性方法帕克檢驗(yàn)還是有其應(yīng)用價(jià)值的。2/6/202336山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室〔例5-2〕利用帕克檢驗(yàn)例5-1數(shù)據(jù)的異方差性。第一階段：對(duì)模型（5.6）進(jìn)行OLS回歸：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-648.1236118.1625-5.4850180.0000X0.0846650.00488217.341640.0000R-squared0.912050

Meandependentvar1250.323AdjustedR-squared0.909017

S.D.dependentvar820.9407S.E.ofregression247.6234

Akaikeinfocriterion13.92404Sumsquaredresid1778203.

Schwarzcriterion14.01655Loglikelihood-213.8226

F-statistic300.7324Durbin-Watsonstat1.734682

Prob(F-statistic)0.0000002/6/202337山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室第二階段：對(duì)模型（5.7）進(jìn)行回歸：DependentVariable:LOG(E^2)VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-13.159695.746282-2.2901220.0295LOG(X)2.3398430.5784804.0448140.0004R-squared0.360678

Meandependentvar10.05885AdjustedR-squared0.338632

S.D.dependentvar1.791164S.E.ofregression1.456656

Akaikeinfocriterion3.652505Sumsquaredresid61.53355

Schwarzcriterion3.745020Loglikelihood-54.61382

F-statistic16.36052Durbin-Watsonstat1.953801

Prob(F-statistic)0.000354因?yàn)椋?-5中斜率系數(shù)的t檢驗(yàn)高度顯著，故拒絕同方差假設(shè)，認(rèn)為存在異方差。2/6/202338山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室五、戈里瑟檢驗(yàn)具體步驟如下：1.利用最小二乘法對(duì)模型進(jìn)行回歸，計(jì)算殘差ei。2.對(duì)|ei|關(guān)于xi的各種冪次關(guān)系進(jìn)行回歸，再利用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。例如可以取以下形式產(chǎn)生于1969年的戈里瑟檢驗(yàn)（GlejserTest）思路類似于帕克檢驗(yàn)，只是異方差的數(shù)學(xué)形式不同。Glejeser檢驗(yàn)的基本思路是：在殘差|ei|關(guān)于解釋變量的各種冪次影響關(guān)系中，確定出一個(gè)最顯著的函數(shù)形式.

（5.9）2/6/202339山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室對(duì)各個(gè)回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，如果某種回歸形式的擬合優(yōu)度高，系數(shù)的t檢驗(yàn)顯著，就說(shuō)明|ei|與xi存在該種影響關(guān)系，從而異方差存在。注意:Glejeser檢驗(yàn)的計(jì)算工作量較大.戈里瑟檢驗(yàn)從經(jīng)驗(yàn)上看也頗有魅力，卻遇到一些問(wèn)題，戈德菲爾德和匡特曾指出，進(jìn)入方程（5.9）的誤差項(xiàng)可能不滿足OLS假設(shè)，如期望值非零、序列相關(guān)以及異方差性。然而，戈里瑟檢驗(yàn)對(duì)大樣本來(lái)說(shuō)，一般都能給出令人滿意的結(jié)果，因此，從實(shí)用角度考慮，戈里瑟檢驗(yàn)可用于大樣本，而在小樣本中，則僅可作為摸索異方差性的一種定性方法。2/6/202340山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室〔例5-3〕利用戈里瑟檢驗(yàn)例5-1的異方差性。DependentVariable:EVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C71.6639032.271152.2206800.0343X^1.81.72E-063.55E-074.8375800.0000R-squared0.446588

Meandependentvar201.8733AdjustedR-squared0.427505

S.D.dependentvar131.0044S.E.ofregression99.12244

Akaikeinfocriterion12.09293Sumsquaredresid284932.5

Schwarzcriterion12.18544Loglikelihood-185.4404

F-statistic23.40218Durbin-Watsonstat2.540085

Prob(F-statistic)0.000040且t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)均高度顯著。2/6/202341山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室即誤差項(xiàng)存在異方差。六、懷特檢驗(yàn)懷特（HalbertWhite，1951-2012）于1980年提出了一個(gè)檢驗(yàn)異方差的方法。基本思想是:如果隨機(jī)項(xiàng)存在異方差，則條件方差與解釋變量有關(guān)，這時(shí)可以通過(guò)分析是否與解釋變量有某些形式的聯(lián)系以判斷異方差性。由于一般是未知的，可用OLS法估計(jì)的殘差平方作為其估計(jì)量。在大樣本的情況下，做對(duì)常數(shù)項(xiàng)、解釋變量、解釋變量的平方及其交叉乘積等所構(gòu)成的輔助回歸，利用輔助回歸相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，即可判斷是否存在異方差性。2/6/202342山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例如，二元線性回歸模型為

(5.10)異方差與解釋變量x1、x2的一般線性關(guān)系為

（5.11）其中vi為隨機(jī)誤差。White檢驗(yàn)的基本步驟如下：1.運(yùn)用OLS估計(jì)（5.10）。

2.計(jì)算殘差序列ei，并求e2i。3.做e2i對(duì)x1i,x2i

,x21i,x22i

,x1ix2i

,的輔助回歸，即（5.12）注意輔助回歸中一定含常數(shù)項(xiàng)。2/6/202343山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室4.計(jì)算（5.12）的F統(tǒng)計(jì)量，或計(jì)算統(tǒng)計(jì)量,

n為樣本容量，R2為輔助回歸的樣本決定系數(shù)。5.在原假設(shè)“誤差項(xiàng)同方差”下，（相當(dāng)于輔助回歸方程斜率系數(shù)同為0，

,F統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（5，n－6）的F分布；

nR2服從自由度為5的χ2分布。給定顯著性水平α，查分布表得臨界值χ2α(5)

，如果nR2＞χ2α(5)

，則拒絕原假設(shè)，表明模型中隨機(jī)誤差存在異方差（EViews軟件中給出nR2、及F對(duì)應(yīng)的概率(Probability)。若

Probability＜α，則表明模型中隨機(jī)誤差存在異方差，α一般取0.05）。

2/6/202344山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室White檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)是，不需要異方差的先驗(yàn)信息，但要求觀測(cè)值為大樣本。缺點(diǎn)是如果有多個(gè)回歸元（自變量），那么引進(jìn)所有回歸元及其平方項(xiàng)和它們的交叉乘積項(xiàng)就會(huì)迅速消耗掉許多自由度。因此，在使用懷特檢驗(yàn)時(shí)要保持警覺(jué)。為此根據(jù)懷特檢驗(yàn)的特點(diǎn)，我們可以得到一個(gè)比懷特檢驗(yàn)更容易實(shí)施而且自由度更節(jié)省的檢驗(yàn)—稱為等價(jià)懷特異方差檢驗(yàn)：1.運(yùn)用OLS估計(jì)模型（5.13）得到OLS的回歸值（或擬合值）并計(jì)算殘差2/6/202345山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室

2.運(yùn)用OLS估計(jì)模型：（5.14）得到回歸模型（5.14）的R2。3.構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：（5.15）（5.16）或4.對(duì)于給定的，進(jìn)行常規(guī)的F或檢驗(yàn)〔例5-4〕對(duì)例5-1進(jìn)行懷特檢驗(yàn)。首先用EViews對(duì)表5-1所有樣本數(shù)據(jù)用OLS估計(jì)y對(duì)x的回歸方程，在輸出結(jié)果窗口，點(diǎn)擊View－ResidualTests－WhiteHeteroskedasticity（nocrossterms）：輸出結(jié)果如下：2/6/202346山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室WhiteHeteroskedasticityTest:F-statistic7.840687

Probability0.001977Obs*R-squared11.12883

Probability0.003832VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C11957.4969304.550.1725350.8643X-1.0850046.784670-0.1599200.8741X^20.0001190.0001470.8086230.4255R-squared0.358995

Meandependentvar57361.38AdjustedR-squared0.313208

S.D.dependentvar68305.92S.E.ofregression56607.09

Akaikeinfocriterion24.81742Sumsquaredresid8.97E+10

Schwarzcriterion24.95619Loglikelihood-381.6700

F-statistic7.840687Durbin-Watsonstat2.642502

Prob(F-statistic)0.0019772/6/202347山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室可見(jiàn)，在0.05的顯著性水平下，應(yīng)該拒絕同方差假設(shè)，認(rèn)為誤差項(xiàng)存在著異方差。利用等價(jià)懷特異方差檢驗(yàn)方法，可以得到同樣的結(jié)果。DependentVariable:E^2VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C10627.7428728.790.3699330.7142YF8.71187954.053850.1611700.8731YF^20.0166070.0205380.8086230.4255R-squared0.358995

Meandependentvar57361.38AdjustedR-squared0.313208

S.D.dependentvar68305.92S.E.ofregression56607.09

Akaikeinfocriterion24.81742Sumsquaredresid8.97E+10

Schwarzcriterion24.95619Loglikelihood-381.6700

F-statistic7.840687Durbin-Watsonstat2.642502

Prob(F-statistic)0.0019772/6/202348山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室注意：在方程（5.11）給出的懷特統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)顯著情形下，異方差性并非必然的原因，也可能是設(shè)定誤差。換句話說(shuō)，懷特檢驗(yàn)可能是（純粹）異方差性檢驗(yàn)，或者是設(shè)定錯(cuò)誤的一個(gè)檢驗(yàn)，或者兩者兼有。已經(jīng)被證明，若懷特檢驗(yàn)程序中沒(méi)有出現(xiàn)交叉項(xiàng)，則是對(duì)純粹異方差性的檢驗(yàn)；若出現(xiàn)交叉項(xiàng)，則既是對(duì)異方差性又是對(duì)設(shè)定偏誤的檢驗(yàn)[1]。[1]參見(jiàn)RichardHarris,Using

CointegrationAnalysisinEconometricsModelling,Prentice

Hall﹠HarvesterWheatsheaf,U.K.,1995,p.68。2/6/202349山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室七、布殊－帕甘檢驗(yàn)

布殊－帕甘檢驗(yàn)（Breusch-PaganTest）與懷特檢驗(yàn)的基本思想類似，只是異方差的函數(shù)形式不同。布殊－帕甘檢驗(yàn)的思路為：1.運(yùn)用OLS估計(jì)模型得到OLS的殘差2.運(yùn)用OLS估計(jì)輔助回歸模型（5.17）記輔助回歸模型的擬合優(yōu)度為R23.構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：（5.18）2/6/202350山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室則在同方差假設(shè)，即下

4.對(duì)于給定的，進(jìn)行常規(guī)的F或檢驗(yàn)〔例5-5〕利用布殊－帕甘檢驗(yàn)對(duì)例5-1進(jìn)行異方差檢驗(yàn)VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-39651.8226850.45-1.4767650.1505X4.3264981.1093943.8998760.0005R-squared0.344025

Meandependentvar57361.38AdjustedR-squared0.321406

S.D.dependentvar68305.92S.E.ofregression56268.26

Akaikeinfocriterion24.77599Sumsquaredresid9.18E+10

Schwarzcriterion24.86851Loglikelihood-382.0278

F-statistic15.20903Durbin-Watsonstat2.565007

Prob(F-statistic)0.0005252/6/202351山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室因?yàn)?/p>

Prob(F-statistic)=0.000525<0.05，可見(jiàn)，在0.05的顯著性水平下，應(yīng)該拒絕同方差假設(shè)，認(rèn)為誤差項(xiàng)存在著異方差。以上各種檢驗(yàn)方法，很難說(shuō)哪一種方法最為有效。這些檢驗(yàn)方法的共同思想都是分析誤差項(xiàng)的方差與解釋變量的相關(guān)性，以判斷隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差是否隨解釋變量而變化。其中有的檢驗(yàn)方法還能提供隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量之間關(guān)系的某些信息，這些信息對(duì)消除異方差性可能是有價(jià)值的。2/6/202352山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室第三節(jié)異方差問(wèn)題的補(bǔ)救措施正如前節(jié)所述，異方差性雖然不破壞OLS的估計(jì)量的無(wú)偏性和一致性，卻使它們不再是有效的，甚至即在大樣本中不是漸近有效的。有效性的缺乏使得通常的假設(shè)檢驗(yàn)程序變得不可信。因此，補(bǔ)救措施顯然是需要的。補(bǔ)救方法主要有以下幾種思路：一種思想是在出現(xiàn)未知形式的異方差時(shí)，使用OLS估計(jì)后的異方差—穩(wěn)健程序。另一種思想是應(yīng)用廣義最小二乘法（GLS），即通過(guò)探索異方差的具體形式，變換原模型，使經(jīng)過(guò)變換后的模型具有同方差性，然后再用OLS法進(jìn)行估計(jì)，以降低異方差性的影響。GLS應(yīng)用于異方差領(lǐng)域的具體形式為加權(quán)最小二乘法（Weighted2/6/202353山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室LeastSquare，WLS）。第三種思路是對(duì)模型中的變量進(jìn)行變換（如對(duì)數(shù)變換），以消除異方差性。本節(jié)我們分別介紹這些方法。一、加權(quán)最小二乘法（一）加權(quán)最小二乘法的基本思想為了敘述方便，下面以一元線性回歸模型為例說(shuō)明WLS的思路。按照OLS的基本原則進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，就是求出使殘差平方和

最小的在同方差假定下，OLS把每個(gè)殘差平方2/6/202354山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室都同等的看待，都賦予相同的權(quán)數(shù)1。但是,當(dāng)存在異方差時(shí)，y的條件方差越小，其樣本值偏離均值的程度越小，其觀測(cè)值越應(yīng)受到重視，即方差越小，在確定回歸線時(shí)的作用越大；反之因變量條件方差越大，其樣本值偏離均值的程度越大，其觀測(cè)值所起的作用應(yīng)當(dāng)越小。也就是說(shuō)，在擬合存在異方差的模型的回歸線時(shí)，對(duì)具有不同方差的殘差應(yīng)該區(qū)別對(duì)待。從樣本的角度，對(duì)較小方差的殘差給予較大的權(quán)數(shù)，對(duì)較大方差的殘差給予較小的權(quán)數(shù)，從而使加權(quán)的殘差平方和比其簡(jiǎn)單平方和能更好地反映不同樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)殘差平方和的影響。

2/6/202355山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室則加權(quán)的殘差平方和為：

根據(jù)最小二乘原理，使加權(quán)的殘差平方和最小，即：解得：其中：通常將殘差平方給與權(quán)數(shù)：

（5.19）（5.20）2/6/202356山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室這種求解參數(shù)估計(jì)式的方法為加權(quán)最小二乘法，這樣估計(jì)出的參數(shù)稱為加權(quán)最小二乘估計(jì)量（WLSE）。實(shí)際應(yīng)用中，由于隨機(jī)項(xiàng)的方差未知，故WLS是無(wú)法直接使用的。

（二）異方差形式已知情形下的WLS根據(jù)異方差的含義可知，異方差就是隨機(jī)項(xiàng)ui在解釋變量x取不同數(shù)值時(shí)方差不同。這就意味著異方差是解釋變量xi的函數(shù)，這種函數(shù)形式如果已知，比如：（5.21）2/6/202357山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室這時(shí)用乘以的兩邊，得：記：則：這說(shuō)明變換后的模型（5.21）的隨機(jī)項(xiàng)具有了同方差性。這時(shí)就可以對(duì)（5.21）應(yīng)用OLS。這種方法相當(dāng)于令殘差平方的權(quán)數(shù)

時(shí)的WLS。2/6/202358山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室用去乘以原模型兩端得：在多元模型中，若方差與m個(gè)解釋變量有關(guān)，且異方差形式可寫(xiě)作：若記則2/6/202359山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室可見(jiàn)，這種方法的思路實(shí)際上就是當(dāng)確定了異方差的具體的形式時(shí)，將原模型加以適當(dāng)?shù)摹白儞Q”，使得“變換”后的模型消除或減輕異方差的影響，遵循的是廣義最小二乘法（GeneralizedLeastSquares，GLS）的思路。WLS是廣義最小二乘法在異方差條件下的具體應(yīng)用。上述方法應(yīng)用的關(guān)鍵，是已知異方差的具體形式?，F(xiàn)以一元線性回歸模型為例進(jìn)一步說(shuō)明。例如，設(shè)給定的模型為：（5.23）

2/6/202360山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室假定異方差函數(shù)為：此時(shí)用xi的倒數(shù)去乘以原模型的兩邊得：這樣轉(zhuǎn)換后的模型具有同方差性。此時(shí):對(duì)轉(zhuǎn)換后的模型應(yīng)用OLS，即可求得：于是，得到原模型的樣本回歸方程為：

(其中,)（5.24）2/6/202361山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室又如，假定（5.23）的異方差函數(shù)為：對(duì)轉(zhuǎn)換后的模型應(yīng)用OLS得：其中：進(jìn)一步還原可得到原模型的樣本回歸方程。此時(shí)用的倒數(shù)去乘以原模型的兩邊,可得（5.27）2/6/202362山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室的最佳線性無(wú)偏估計(jì)量。但我們必須由于經(jīng)過(guò)變換的方程滿足所有假定，所以從利用變換后的變量所做的回歸中，能夠得到標(biāo)準(zhǔn)誤、t統(tǒng)計(jì)量和F統(tǒng)計(jì)量，而且，因?yàn)檫@些廣義最小二乘（GLS）估計(jì)量都是記住：要將參數(shù)估計(jì)值放到原方程中去解釋。（三）異方差函數(shù)未知情形下的WLS可以模型化，并利用數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)這個(gè)模型，從而得到每個(gè)的估計(jì)值，記為。用取代進(jìn)行WLS估計(jì)。這實(shí)際上遵循了可行的廣義二乘法在大多數(shù)情況下，異方差的確切形式并不明顯。換句話說(shuō)，我們不知道異方差的函數(shù)形式不過(guò)，我們2/6/202363山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室FeasibleGeneralizedLeastSquares，F(xiàn)GLS）的思路。應(yīng)用中模型化異方差性的方法有多種，如利用戈里瑟檢驗(yàn)或帕克檢驗(yàn)得到的結(jié)果構(gòu)造

或利用統(tǒng)計(jì)軟件尋求最優(yōu)權(quán)等。

例如，假定有多元線性回歸模型：（5.29）設(shè)異方差函數(shù)為：2/6/202364山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室考慮模型或（5.30）和平常一樣，以O(shè)LS殘差來(lái)代替（5.30）中觀測(cè)不到的。即估計(jì)下式：（5.31）注意：我們只關(guān)心（5.31）的回歸值簡(jiǎn)記為，則

對(duì)方程（5.29），同乘方程兩端，新的誤2/6/202365山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室差項(xiàng)是條件同方差的，可以對(duì)變換后的模型運(yùn)行OLS。這種WLS實(shí)際上是異方差條件下的FGLS。上述步驟概括如下：（1）將做回歸并得到（2）做的回歸并得到擬合值（3）計(jì)算（4）以同乘方程兩端進(jìn)行變換，然后運(yùn)行WLS。

另一種估計(jì)的有用方法是，用OLS的擬合值及其平方取代(5.31)中的自變量。即第（2）步中改為由

的回歸中得到擬合值然后與其它步驟一。

2/6/202366山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室樣求〔例5-6〕對(duì)例5-1中的異方差問(wèn)題進(jìn)行補(bǔ)救處理。由例5-2帕克檢驗(yàn)中表5-5，應(yīng)取用對(duì)原模型進(jìn)行變換，WLS結(jié)果如下：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/X^1.53-702.5837110.0196-6.3859880.00001/X^0.530.0867920.00609314.245330.0000R-squared0.466129

Meandependentvar0.000236AdjustedR-squared0.447720

S.D.dependentvar8.27E-05S.E.ofregression6.15E-05

Akaikeinfocriterion-16.49427Sumsquaredresid1.10E-07

Schwarzcriterion-16.40175Loglikelihood257.6611

Durbin-Watsonstat1.2113612/6/202367山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室由例5-3的戈里瑟檢驗(yàn)結(jié)果表5-6，用對(duì)原模型進(jìn)行變換，WLS結(jié)果如下：DependentVariable:Y/X^1.8WhiteHeteroskedasticity-ConsistentStandardErrors&CovarianceVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/X^1.8-677.8267122.8219-5.5187780.00001/X^0.80.0848950.00715811.860260.0000R-squared0.194125

Meandependentvar1.59E-05AdjustedR-squared0.166337

S.D.dependentvar5.16E-06S.E.ofregression4.72E-06

Akaikeinfocriterion-21.62900Sumsquaredresid6.45E-10

Schwarzcriterion-21.53648Loglikelihood337.2494

Durbin-Watsonstat1.1107842/6/202368山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室這兩種處理方法下，盡管表面看來(lái)模型具有不同程度的改善，但通過(guò)懷特檢驗(yàn)（過(guò)程略）驗(yàn)證，會(huì)發(fā)現(xiàn)該模型仍然存在異方差問(wèn)題。意味著利用戈里瑟檢驗(yàn)、帕克檢驗(yàn)而得到的的估計(jì)存在問(wèn)題。

以（5.31）形式進(jìn)行FGLS，結(jié)果如下：2/6/202369山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室DependentVariable:Y/FI^0.5WhiteHeteroskedasticity-ConsistentStandardErrors&CovarianceVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/FI^0.5-757.875492.48450-8.1946200.0000X/FI^0.50.0903950.00512717.629510.0000R-squared0.759584

Meandependentvar6.426213AdjustedR-squared0.751294

S.D.dependentvar2.781565S.E.ofregression1.387179

Akaikeinfocriterion3.554762Sumsquaredresid55.80368

Schwarzcriterion3.647277Loglikelihood-53.09881

Durbin-Watsonstat1.436400

FGLS下的EViews輸出結(jié)果2/6/202370山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室懷特檢驗(yàn)結(jié)果如下：WhiteHeteroskedasticityTest:F-statistic1.913798

Probability0.138147Obs*R-squared7.051242

Probability0.133205由可行GLS下的EViews輸出結(jié)果看，已消除異方差?？梢?jiàn)，異方差函數(shù)形式的設(shè)定對(duì)于FGLS至關(guān)重要。在結(jié)束對(duì)WLS的討論之時(shí)，我們?cè)俅螐?qiáng)調(diào)，以上所討論的變換都是一種權(quán)宜之計(jì)。我們基本上都是在猜測(cè)在所討論的變換中那一種能行之有效，要看問(wèn)題的性質(zhì)和異方差的嚴(yán)重程度。很難給出一個(gè)確切的2/6/202371山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室評(píng)價(jià)。順便指出：如果我們所使用的異方差函數(shù)被錯(cuò)誤的設(shè)定時(shí)，WLS估計(jì)量仍然是無(wú)偏與一致的，但不是有效的；即使在大樣本下，WLS標(biāo)準(zhǔn)誤與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量都不再可靠。幸運(yùn)的是，對(duì)任何形式的異方差性我們都能得到OLS估計(jì)值的穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤。在方差函數(shù)被誤設(shè)情況下，我們也可以得到WLS估計(jì)值的穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤。重要的是：足夠穩(wěn)健的WLS標(biāo)準(zhǔn)誤遠(yuǎn)小于足夠穩(wěn)健的OLS標(biāo)準(zhǔn)誤。2/6/202372山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室二、在OLS下，使用異方差性一致估計(jì)量由于實(shí)際上異方差函數(shù)形式我們無(wú)法知道，F(xiàn)GLS的效果取決于異方差函數(shù)形式的設(shè)定的是否符合實(shí)際情況，所以WLS的主觀性很大大。在這種情況下，我們?cè)噲D尋找解決異方差問(wèn)題的另一種途徑。我們知道，在出現(xiàn)異方差時(shí)，OLS估計(jì)量仍然是無(wú)偏的、（大樣本情況下）一致的和漸近正態(tài)分布，僅方差是不可信的。自然要問(wèn)：是否可以通過(guò)調(diào)整對(duì)方差的估計(jì)使之可信？幸運(yùn)的是，最近二十年來(lái)，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家門已經(jīng)知道了如何調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)誤、t統(tǒng)計(jì)量、F統(tǒng)計(jì)量和LM統(tǒng)計(jì)量，使之在出現(xiàn)未知形式的異方差性時(shí)OLS仍可用。這種方法稱為異方差－穩(wěn)健程序。2/6/202373山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室OLS估計(jì)的斜率系數(shù)的方差公式是：如果滿足同方差假定，則存在一個(gè)常數(shù)方差，將其代入(5.32)，有：

(5.32)但在異方差條件下，不存在這樣的常數(shù)方差，White的方法是在(5.32)式中用取代(這里是第i個(gè)OLS殘差），得到異方差性一致標(biāo)準(zhǔn)誤差：下面我們用一元線性回歸模型對(duì)White方法作一說(shuō)明。（5.33）

2/6/202374山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室注意：不能用得到的一致估計(jì)量，White得到的是的一致估計(jì)量，它是的加權(quán)平均。

同樣的分析適用于多元回歸OLSE的情況，用White方法得到的第j個(gè)OLS回歸系數(shù)方差的異方差性一致估計(jì)值由下式給出：其中是從xj對(duì)方程中所有其它解釋變量OLS回歸得到的殘差，ei為原多元回歸模型的第i個(gè)OLS殘差。（5.34）

這種估計(jì)量的性質(zhì)不是“最好”，但它們對(duì)于同方差RobustEstimators）。性的違背不敏感，被稱為懷特異方差－穩(wěn)健估計(jì)量（2/6