高中數(shù)學人教A版第四章圓和方程學業(yè)分層測評25

學業(yè)分層測評（二十五）(建議用時：45分鐘)[達標必做]一、選擇題1．(2023·溫州高一檢測)在空間直角坐標系中，點P(1,3，－5)關于平面xOy對稱的點的坐標是()A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)【解析】P(1,3，－5)關于平面xOy對稱的點的坐標為(1,3,5)．【答案】B2．點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))到原點O的距離是()\f(\r(30),6) B．1\f(\r(33),6) \f(\r(35),6)【解析】|PO|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1.【答案】B3．與A(3,4,5)，B(－2,3,0)兩點距離相等的點M(x，y，z)滿足的條件是()A．10x＋2y＋10z－37＝0B．5x－y＋5z－37＝0C．10x－y＋10z＋37＝0D．10x－2y＋10z＋37＝0【解析】由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化簡得10x＋2y＋10z－37＝0，故選A.【答案】A4．已知點A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，則|ABA．3eq\r(3) B．3eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(6)【解析】|AB|＝eq\r(2a－12＋－7－a2＋－2＋52)＝eq\r(5a2＋10a＋59)＝eq\r(5a＋12＋54)，當a＝－1時，|AB|min＝eq\r(54)＝3eq\r(6).【答案】B5．如圖4-3-3，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1，A1C的中點E到AB的中點圖4-3-3\r(2)a \f(\r(2),2)aC．a(chǎn) \f(1,2)a【解析】由題意得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，則|EF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)a.【答案】B二、填空題6．點P(1,2，－1)在xOz平面內的射影為B(x，y，z)，則x＋y＋z＝________.【導學號：09960148】【解析】點P(1,2，－1)在xOz平面內的射影為B(1,0，－1)，∴x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.【答案】07．(2023·景德鎮(zhèn)高一檢測)在空間直角坐標系中，以O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)為一個三棱錐的頂點，則此三棱錐的表面積為________．【解析】S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×|AB|2＝eq\f(\r(3),4)×8＝2eq\r(3)，故三棱錐的表面積S＝6＋2eq\r(3).【答案】6＋2eq\r(3)三、解答題8．已知點A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判斷△ABC的形狀．【解】|AB|＝eq\r(－4＋102＋－1－12＋－9＋62)＝eq\r(49)，|BC|＝eq\r(－10＋22＋1＋42＋－6＋32)＝eq\r(98)，|AC|＝eq\r(－4＋22＋－1＋42＋－9＋32)＝eq\r(49).因為|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC為等腰直角三角形．9．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，點M是B1C1的中點，點N是圖4-3-4(1)寫出點D，N，M的坐標；(2)求線段MD，MN的長度；(3)設點P是線段DN上的動點，求|MP|的最小值．【解】(1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．(2)|MD|＝eq\r(1－02＋2－02＋3－02)＝eq\r(14)，|MN|＝eq\r(2－12＋1－22＋0－32)＝eq\r(11).(3)在xDy平面上，設點P的坐標為(2y，y,0)，y∈[0,1]，則|MP|＝eq\r(2y－12＋y－22＋0－32)＝eq\r(5y2－8y＋14)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(4,5)))2＋\f(54,5)).因為y∈[0,1]，所以當y＝eq\f(4,5)時，|MP|取最小值eq\r(\f(54,5))，即eq\f(3\r(30),5).[自我挑戰(zhàn)]10．在平面直角坐標系Oxyz中，M與N關于xOy面對稱，OM與平面xOy所成的角是60°，若|MN|＝4，則|OM|＝()A．4 B．1\f(4\r(3),3) D．2【解析】由題意知MN⊥平面xOy，設垂足為H，則|MH|＝|NH|＝eq\f(1,2)|MN|＝2，又OM與平面xOy所成的角為60°，則|OM|sin60°＝|MH|.∴|OM|＝eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).【答案】C11．已知直三棱柱ABC-A1B1C1(側棱與底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，AB，C1B1，CB圖4-3-5(1)在平面ABB1A1內找一點P，使△ABP(2)能否在MN上求得一點Q，使△AQB為以AB為斜邊的直角三角形？若能，請求出點Q的坐標；若不能，請予以證明．【解】(1)因為EF是AB的中垂線，在平面ABB1A1內只有EF上的點與A，B兩點的距離相等，又A(2,0,0)，B(0,4,0)，設點P坐標為(1,2，m由|PA|＝|AB|得eq\r(1－22＋2－02＋m－02)＝eq\r(20).所以m2＝15.因為m∈[0,4]，所以m＝eq\r(15)，故平面ABB1A1內的點P(1,2，eq\r(15))，使得△ABP為等邊三角形．(2)設MN上的點Q(0,2，n)滿足題意，由△AQB為直角三角形，其斜邊上的中線長必等于斜邊長的一半，所以|QF|＝eq\f(1,2)|AB|，又F(