高中數(shù)學蘇教版第一章三角函數(shù)單元測試 2023版第1章章末分層突破

章末分層突破[自我校對]①正角、負角和零角②弧長③扇形面積④正弦⑤余弦⑥正切任意角的三角函數(shù)概念三角函數(shù)的概念所涉及的內(nèi)容主要有以下兩方面：(1)任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算．(2)任意角的三角函數(shù)．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義及三角函數(shù)線，能夠利用三角函數(shù)線判斷三角函數(shù)的符號，借助三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域．(1)已知角α的終邊過點P(－4m，3m)(m≠0)，則2sinα＋cos(2)函數(shù)y＝eq\r(sinx)＋eq\r(2cosx－1)的定義域是________．【精彩點撥】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義求解，注意討論m的正負．(2)利用三角函數(shù)線求解．【規(guī)范解答】(1)r＝|OP|＝eq\r(－4m2＋3m2)＝5|m|.當m>0時，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3m,5m)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4m,5m)＝－eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝eq\f(2,5).當m<0時，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3m,－5m)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4m,－5m)＝eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).故2sinα＋cosα的值是eq\f(2,5)或－eq\f(2,5).如圖，結(jié)合三角函數(shù)線知：解得2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，∴函數(shù)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).【答案】(1)eq\f(2,5)或－eq\f(2,5)(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))[再練一題]1.若θ是第四象限角，試判斷sin(cosθ)·cos(sinθ)的符號．【解】∵θ為第四象限角，∴0＜cosθ＜1＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜－1＜sinθ＜0.∴sin(cosθ)＞0，cos(sinθ)＞0.∴sin(cosθ)·cos(sinθ)＞0.同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式同角三角函數(shù)的基本關系和誘導公式是三角恒等變換的主要依據(jù)，主要應用方向是三角函數(shù)式的化簡、求值和證明．常用以下方法技巧：(1)化弦：當三角函數(shù)式中三角函數(shù)名稱較多時，往往把三角函數(shù)化為弦，再化簡變形．(2)化切：當三角函數(shù)式中含有正切及其他三角函數(shù)時，有時可將三角函數(shù)名稱都化為正切，再化簡變形．(3)“1”已知cosθ＝m，|m|≤1，求sinθ、tanθ的值．【導學號：48582066】【精彩點撥】以角θ的終邊所在位置為依據(jù)分別討論求解．【規(guī)范解答】(1)當m＝0時，θ＝2kπ±eq\f(π,2)，k∈Z；當θ＝2kπ＋eq\f(π,2)時，sinθ＝1，tanθ不存在；當θ＝2kπ－eq\f(π,2)時，sinθ＝－1，tanθ不存在．(2)當m＝1時，θ＝2kπ，k∈Z，sinθ＝tanθ＝0.當m＝－1時，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sinθ＝tanθ＝0.(3)當θ在第一、二象限時，sinθ＝eq\r(1－m2)，tanθ＝eq\f(\r(1－m2),m).(4)當θ在第三、四象限時，sinθ＝－eq\r(1－m2)，tanθ＝－eq\f(\r(1－m2),m).[再練一題]2.已知eq\f(sin2π＋θtanπ＋θtan3π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))tan－π－θ)＝1，則sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ的值是________．【解析】由已知得eq\f(sinθ·tanθ·－tanθ,sinθ·－tanθ)＝1，即tanθ＝1，于是sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋3tanθ＋2,tan2θ＋1)＝3.【答案】3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象是研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎，又是三角函數(shù)性質(zhì)的具體體現(xiàn)．在平時的考查中，主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖象的變換和解析式的確定，以及通過對圖象的描繪、觀察來討論函數(shù)的有關性質(zhì)．具體要求：(1)用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象時，確定五個關鍵點的方法是分別令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π.(2)對于y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換，應注意先“平移”后“伸縮”與先“伸縮”后“平移”的區(qū)別．(3)已知函數(shù)圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式時，常用的解題方法是待定系數(shù)法．已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋a，a為常數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，f(x)的最小值為－2，求a的值．【精彩點撥】eq\x(利用公式T＝\f(2π,|ω|)求周期)→eq\x(整體代換求單調(diào)區(qū)間)→eq\x(由最值求a)【規(guī)范解答】(1)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋a，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．(3)當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以x＝0時，f(x)取得最小值，即2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋a＝－2，故a＝－1.[再練一題]3.如圖1-1所示的是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的部分圖象．圖1-1(1)求此函數(shù)的解析式；(2)分析該函數(shù)的圖象是如何通過y＝sinx的圖象變換得來的．【解】(1)由圖象知，A＝eq\f(－\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),2)＝eq\f(1,2)，k＝eq\f(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),2)＝－1，T＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，∴y＝eq\f(1,2)sin(2x＋φ)－1.當x＝eq\f(π,6)時，2×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴所求函數(shù)的解析式為y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1.(2)把y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位，得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的圖象，然后縱坐標保持不變、橫坐標縮短為原來的eq\f(1,2)，得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象，再保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)，得到y(tǒng)＝eq\f(1,2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象，最后把函數(shù)y＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(π,6)的圖象向下平移1個單位，得到y(tǒng)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1的圖象．數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合常用于解方程、解不等式、求函數(shù)的值域、判斷圖象交點的個數(shù)、求參數(shù)范圍等題目中．本章中，常常利用單位圓中的三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象解答三角問題，是典型的“以形助數(shù)”的方法，而利用三角公式證明三角函數(shù)中的幾何性質(zhì)問題，又是典型的“以數(shù)助形”的解題策略．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))在一個周期內(nèi)的簡圖如圖1-2所示，求函數(shù)g(x)＝f(x)－lgx零點的個數(shù)．圖1-2【精彩點撥】eq\x(識圖)→eq\x(求A，ω，φ)→eq\x(畫出fx及y＝lgx的圖象)→eq\x(下結(jié)論)【規(guī)范解答】顯然A＝2.由圖象過(0，1)點，則f(0)＝1，即sinφ＝eq\f(1,2)，又|φ|＜eq\f(π,2)，則φ＝eq\f(π,6).又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，0))是圖象上的點，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝0，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)ω＋\f(π,6)))＝0，由圖象可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，0))是圖象在y軸右側(cè)部分與x軸的第二個交點．∴eq\f(11π,12)ω＋eq\f(π,6)＝2π，∴ω＝2，因此所求函數(shù)的解析式為f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).在同一坐標系中作函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))和函數(shù)y＝lgx的示意圖如圖所示：∵f(x)的最大值為2，令lgx＝2，得x＝100，令eq\f(11,12)π＋kπ＜100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而eq\f(11,12)π＋31π＞100，∴在區(qū)間(0，100]內(nèi)有31個形如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,12)π＋kπ，\f(17,12)π＋kπ))(k∈Z，0≤k≤30)的區(qū)間，在每個區(qū)間上y＝f(x)與y＝lgx的圖象都有2個交點，故這兩個函數(shù)圖象在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，100))上有2×31＝62個交點，另外在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(11,12)π))上還有1個交點，∴方程f(x)－lgx＝0共有實根63個，∴函數(shù)g(x)＝f(x)－lgx共有63個零點．[再練一題]4.若集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ≥\f(1,2)，0≤θ≤π))))，，求M∩N.【導學號：48582067】【解】首先作出正弦函數(shù)與余弦函數(shù)以及直線y＝eq\f(1,2)的圖象，如圖①②.結(jié)合圖象得集合M，N分別為：M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤θ≤\f(5π,6)))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)≤θ≤π)))).得M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)≤θ≤\f(5,6)π)))).1．已知角α的終邊經(jīng)過點(－4，3)，則cosα＝________.【解析】因為角α的終邊經(jīng)過點(－4，3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(4,5).【答案】－eq\f(4,5)2.若將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移eq\f(π,12)個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為________．【解析】將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移eq\f(π,12)個單位長度，得到函數(shù)y＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象．由2x＋eq\f(π,6)＝kx＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)，即平移后圖象的對稱軸為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．【答案】x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)3.若sinα＝－eq\f(5,13)，且α為第四象限角，則tanα的值等于________．【解析】法一：因為α為第四象限的角，故cosα＝eq\r(1－sin2α)＝＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq\f(5,12).法二：因為α是第四象限角，且sinα＝－eq\f(5,13)，所以可在α的終邊上取一點P(12，－5)，則tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(5,12).【答案】－eq\f(5,12)4.函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖1-3所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．圖1-3【解析】由圖象知，周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)－\f(1,4)))＝2，∴eq\f(2π,ω)＝2，∴ω＝π.由π×eq\f(1,4)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,4))).由2kπ<πx＋eq\f(π,4)<2kπ＋π，得2k－eq\f(1,4)<x<2k＋eq\f(3,4)，k∈Z，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z.【答案】eq\b