高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章空間向量與立體幾何 全國(guó)優(yōu)質(zhì)課

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．下列命題中，假命題是________(填序號(hào))．①若eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))共線，則A，B，C，D不一定在同一直線上；②只有零向量的模等于0；③共線的單位向量都相等．【解析】①②正確．共線的單位向量方向不一定相同，③錯(cuò)誤．【答案】③2．下列結(jié)論中，正確的是________(填序號(hào))．①若a，b，c共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc；②若a，b，c不共面，則不存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc；③若a，b，c共面，b，c不共線，則存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc.【解析】要注意共面向量定理給出的是一個(gè)充要條件．所以第②個(gè)命題正確．但定理的應(yīng)用又有一個(gè)前提；b，c是不共線向量，否則即使三個(gè)向量a，b，c共面，也不一定具有線性關(guān)系，故①不正確，③正確．【答案】②③3．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若由向量eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋λeq\o(OC,\s\up8(→))確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，那么λ＝________.【解析】∵P與A，B，C共面，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝αeq\o(AB,\s\up8(→))＋βeq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝α(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋β(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))，即eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋αeq\o(OB,\s\up8(→))－αeq\o(OA,\s\up8(→))＋βeq\o(OC,\s\up8(→))－βeq\o(OA,\s\up8(→))＝(1－α－β)eq\o(OA,\s\up8(→))＋αeq\o(OB,\s\up8(→))＋βeq\o(OC,\s\up8(→))，∴1－α－β＋α＋β＝1.因此eq\f(1,5)＋eq\f(2,3)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(2,15).【答案】eq\f(2,15)4．如圖3-1-7，已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up8(→))＝5a＋6b－8c，對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則eq\o(EF,\s\up8(→))＝________(用向量a，b，c表示)．圖3-1-7【解析】設(shè)G為BC的中點(diǎn)，連結(jié)EG，F(xiàn)G，則eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EG,\s\up8(→))＋eq\o(GF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a－2c)＋eq\f(1,2)(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.【答案】3a＋3b－5c5．如圖3-1-8，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1，若eq\o(EF,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AD,\s\up8(→))＋zeq\o(AA1,\s\up8(→))，則x＋y＋z＝________.圖3-1-8【解析】eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))－(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，∴x＋y＋z＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)6．如圖3-1-9，在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其重心，則eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)_______.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390071】圖3-1-9【解析】∵E為△BCD的重心，∴DE＝eq\f(2,3)DF，eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→)).∴eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(DF,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))＝0.【答案】07．i，j，k是三個(gè)不共面的向量，eq\o(AB,\s\up8(→))＝i－2j＋2k，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2i＋j－3k，eq\o(CD,\s\up8(→))＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，則λ的值為_(kāi)_______．【解析】若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))共面，故存在不全為零的實(shí)數(shù)a，b，c，使得aeq\o(AB,\s\up8(→))＋beq\o(BC,\s\up8(→))＋ceq\o(CD,\s\up8(→))＝0，即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0，∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0.∵i，j，k不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋λc＝0，,－2a＋b＋3c＝0，,2a－3b－5c＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－c，,λ＝1.))【答案】18．有四個(gè)命題：①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面；②若p與a，b共面，則p＝xa＋yb；③若eq\o(MP,\s\up8(→))＝xeq\o(MA,\s\up8(→))＋yeq\o(MB,\s\up8(→))，則P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，則eq\o(MP,\s\up8(→))＝xeq\o(MA,\s\up8(→))＋yeq\o(MB,\s\up8(→)).其中真命題是________(填序號(hào))．【解析】由共面向量定理知，①正確；若p與a，b共面，當(dāng)a與b共線且p與a和b不共線時(shí)，就不存在實(shí)數(shù)組(x，y)使p＝xa＋yb成立，故②錯(cuò)誤；同理③正確，④錯(cuò)誤．【答案】①③二、解答題9．如圖3-1-10所示，ABCD-A1B1C1D1中，ABCD是平行四邊形．若eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝2eq\o(FD,\s\up8(→))，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝a，試用a，b，c表示eq\o(EF,\s\up8(→)).圖3-1-10【解】如圖，連結(jié)AF，則eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→)).由已知ABCD是平行四邊形，故eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝b＋c，eq\o(A1D,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝－a＋c.由已知，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝2eq\o(FD,\s\up8(→))，∴eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(FD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))＝c－eq\f(1,3)(c－a)＝eq\f(1,3)(a＋2c)，又eq\o(EA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(b＋c)，∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(b＋c)＋eq\f(1,3)(a＋2c)＝eq\f(1,3)(a－b＋c)．10．如圖3-1-11所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up8(→)).求證：四邊形EFGH是梯形．圖3-1-11【證明】∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AH,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))，則eq\o(EH,\s\up8(→))＝eq\o(AH,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up8(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up8(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up8(→))－eq\o(CF,\s\up8(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up8(→))，∴eq\o(EH,\s\up8(→))∥eq\o(FG,\s\up8(→))且|eq\o(EH,\s\up8(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up8(→))|≠|(zhì)eq\o(FG,\s\up8(→))|.又F不在直線EH上，∴四邊形EFGH是梯形．能力提升]1．平面α內(nèi)有點(diǎn)A，B，C，D，E，其中無(wú)三點(diǎn)共線，O為空間一點(diǎn)，滿(mǎn)足eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))＋xeq\o(OC,\s\up8(→))＋yeq\o(OD,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))＝2xeq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OD,\s\up8(→))＋yeq\o(OE,\s\up8(→))，則x＋3y＝________.【解析】由點(diǎn)A，B，C，D共面得x＋y＝eq\f(1,2)，又由點(diǎn)B，C，D，E共面得2x＋y＝eq\f(2,3)，聯(lián)立方程組解得x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，所以x＋3y＝eq\f(7,6).【答案】eq\f(7,6)2．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，O是空間任一點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OG,\s\up8(→))，則λ＝________.【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)D，eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(CG,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)·eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))＋(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))]＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)).∴eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝3eq\o(OG,\s\up8(→)).【答案】33．(2023·貴港高二檢測(cè))在下列命題中：①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；③若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；④已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p，總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是______．【解析】a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故①不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故②不正確；三個(gè)向量a，b，c中任兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故③不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確．綜上可知，四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0.【答案】04．如圖3-