高中數(shù)學人教A版2第一章導數(shù)及其應用單元測試（區(qū)一等獎）

選修2-2第一章1.一、選擇題1．雙曲線y＝eq\f(1,x)在點(2，eq\f(1,2))的切線方程是eq\x(導學號10510109)()\f(1,4)x＋y＝0 \f(1,4)x－y＝0\f(1,4)x＋y＋1＝0 D．eq\f(1,4)x＋y－1＝0[答案]D[解析]∵y＝eq\f(1,x)的導數(shù)為y′＝－eq\f(1,x2)，∴曲線y＝eq\f(1,x)在點(2，eq\f(1,2))處的切線斜率k＝－eq\f(1,4)，∴切線方程是y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)(x－2)，化簡得，eq\f(1,4)x＋y－1＝0，故選D.2．已知f(x)＝x3，則f′(2)＝eq\x(導學號10510110)()A．0 B．3x2C．8 D．12[答案]D[解析]∵f′(x)＝3x2，∴f′(2)＝3×22＝12，故選D.3．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，則α的值等于eq\x(導學號10510111)()A．2 B．－2C．3 D．－3[答案]A[解析]若α＝2，則f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2適合條件．故應選A.4．一個物體的運動方程為s(t)＝1－t＋t2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時速度是eq\x(導學號10510112)()A．7米/秒 B．6米/秒C．5米/秒 D．8米/秒[答案]C[解析]v(t)＝s′(t)＝－1＋2t，∴v(3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故選C.5．(2023·長春高二檢測)曲線y＝eq\f(1,3)x3在x＝1處切線的傾斜角為eq\x(導學號10510113)()A．1 B．－eq\f(π,4)\f(π,4) D．eq\f(5π,4)[答案]C[解析]∵y＝eq\f(1,3)x3，∴y′|x＝1＝1，∴切線的傾斜角α滿足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝eq\f(π,4).6．設f(x)為可導函數(shù)，且滿足eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝－1，則過曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為eq\x(導學號10510114)()A．2 B．－1C．1 D．－2[答案]D[解析]由導數(shù)的定義知eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－x,x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(－x→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝eq\f(1,2)f′(1)＝－1.二、填空題7．已知①y＝f(x)，②y＝g(x)，③y＝h(x)都是路程y關于時間x的函數(shù)，且f′(x)＝1，g′(x)＝2，h′(x)＝3，則運動速度最快的是________(填序號).eq\x(導學號10510115)[答案]③[解析]由導數(shù)的幾何意義知，y＝f(x)的瞬時速度為1，y＝g(x)的瞬時速度為2，y＝h(x)的瞬時速度為3，且都是勻速運動，故最快的是③.8．若曲線y＝x3的某一切線與直線y＝12x＋6平行，則切點坐標是\x(導學號10510116)[答案](2,8)或(－2，－8)[解析]設切點坐標為(x0，xeq\o\al(3,0))，因為y′＝3x2，所以切線的斜率k＝3xeq\o\al(2,0)，又切線與直線y＝12x＋6平行，所以3xeq\o\al(2,0)＝12，解得x0＝±2，故切點為(2,8)或(－2，－8)．9．(2023·泰安高二檢測)若曲線y＝eq\r(x)在點P(a，eq\r(a))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則實數(shù)a的值是\x(導學號10510117)[答案]4[解析]y′＝eq\f(1,2\r(x))，切線方程為y－eq\r(a)＝eq\f(1,2\r(a))(x－a)，令x＝0得，y＝eq\f(\r(a),2)，令y＝0得，x＝－a，由題意知eq\f(1,2)·eq\f(\r(a),2)·a＝2，∴a＝4.三、解答題10．求與曲線y＝f(x)＝eq\r(3,x2)在點P(8,4)處的切線垂直，且過點(4,8)的直線方程.eq\x(導學號10510118)[解析]因為y＝eq\r(3,x2)，所以y′＝(eq\r(3,x2))′＝(xeq\f(2,3))′＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3).所以f′(8)＝eq\f(2,3)×8－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，即曲線在點P(8,4)處的切線的斜率為eq\f(1,3).所以適合條件的直線的斜率為－3.從而適合條件的直線方程為y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.一、選擇題1．已知曲線y＝x3－1與曲線y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0處的切線互相垂直，則x0的值為eq\x(導學號10510119)()\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3,3),3)\r(3) D．eq\f(\r(3,9),3)[答案]D[解析]由導數(shù)的定義容易求得，曲線y＝x3－1在x＝x0處切線的斜率k1＝3xeq\o\al(2,0)，曲線y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0處切線的斜率為k2＝－x0，由于兩曲線在x＝x0處的切線互相垂直，∴3xeq\o\al(2,0)·(－x0)＝－1，∴x0＝eq\f(\r(3,9),3)，故選D.2．曲線y＝eq\r(3,x)上的點P(0,0)處的切線方程為eq\x(導學號10510120)()A．y＝－x B．x＝0C．y＝0 D．不存在[答案]B[解析]∵y＝eq\r(3,x)，∴Δy＝eq\r(3,x＋Δx)－eq\r(3,x)＝eq\f(x＋Δx－x,\r(3,x＋Δx)2＋\r(3,xx＋Δx)＋\r(3,x)2)＝eq\f(Δx,\r(3,x＋Δx)2＋\r(3,xx＋Δx)＋\r(3,x)2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(3,x＋Δx)2＋\r(3,xx＋Δx)＋\r(3,x)2)，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,3xeq\s\up6(\f(2,3))).∴曲線在點P(0,0)處切線的斜率不存在，∴切線方程為x＝0.二、填空題3．(2023·全國Ⅰ文，14)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(1，f(1))處的切線過點(2,7)，則a＝\x(導學號10510121)[答案]1[解析]因為f(x)＝ax3＋x＋1，所以f(1)＝a＋2，f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，所以在點(1，f(1))處的切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1又因為切線過點(2,7)，所以7－(a＋2)＝(3a＋1)×(2－1)解之得a＝1.4．函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，aeq\o\al(2,k))處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是\x(導學號10510122)[答案]21[解析]∵y′＝2x，∴在點(ak，aeq\o\al(2,k))的切線方程為y－aeq\o\al(2,k)＝2ak(x－ak)，又該切線與x軸的交點為(ak＋1,0)，所以ak＋1＝eq\f(1,2)ak，即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列，首項a1＝16，其公比q＝eq\f(1,2)，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.三、解答題5．已知曲線C：y＝eq\f(1,t－x)經(jīng)過點P(2，－1)，求eq\x(導學號10510123)(1)曲線在點P處的切線的斜率．(2)曲線在點P處的切線的方程．(3)過點O(0,0)的曲線C的切線方程．[解析](1)將P(2，－1)代入y＝eq\f(1,t－x)中得t＝1，∴y＝eq\f(1,1－x).∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\f(\f(1,1－x＋Δx)－\f(1,1－x),Δx)＝eq\f(1,1－x－Δx1－x)，∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,1－x2)，∴曲線在點P處切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝2＝eq\f(1,1－22)＝1.(2)曲線在點P處的切線方程為y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.(3)∵點O(0,0)不在曲線C上，設過點O的曲線C的切線與曲線C相切于點M(x0，y0)，則切線斜率k＝eq\f(y0,x0)＝eq\f(1,1－x02)，由于y0＝eq\f(1,1－x0)，∴x0＝eq\f(1,2)，∴切點M(eq\f(1,2)，2)，切線斜率k＝4，切線方程為y－2＝4(x－eq\f(1,2))，即y＝4x.6．求曲線y＝eq\f(1,x)與y＝x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積.eq\x(導學號10510124)[解析]兩曲線方程聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)，,y＝x2，))解得eq