高中數(shù)學人教A版第三章函數(shù)的應用函數(shù)與方程 優(yōu)秀

用己知的函數(shù)模型解決問題一、課前準備1．課時目標（1）掌握函數(shù)的思想方法，即通過求出或構造出函數(shù)來解決問題；（2）學會運用函數(shù)知識解決某些簡單的實際問題；（3）梳理社會生活中普遍使用的函數(shù)模型，并進行簡單的應用。2．基礎預探（1）叫做一次函數(shù)；叫做二次函數(shù)；叫做指數(shù)函數(shù)；叫做對數(shù)函數(shù)；叫做冪函數(shù)。（2）指數(shù)函數(shù)的主要性質(zhì)有，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系是。二、基本知識習題化1.按復利計算，若存入銀行5萬元，年利率2%，3年后支取，則可得利息(單位:萬元)為（）.A.5(1+B.5(1+C.5(1+-5C.5(1+-52.x克a%鹽水中，加入y克b%的鹽水，濃度變?yōu)閏%，則x與y的函數(shù)關系式為（）.A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x3.現(xiàn)有含鹽15%的鹽水400克，張老師要求將鹽水濃度變?yōu)?2%，某同學由于計算錯誤加進了110克水，要使?jié)舛戎匦伦優(yōu)锳、倒出10千克鹽水B、再加入10千克鹽水C、加入10千克鹽水D、再加入1411克4.擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費由f（m）=（×[m]+1）元給出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整數(shù)（職[3]=3，[]=4），則從甲地到乙地通話時間為分鐘的話費為元.5.已知鐳經(jīng)過100年，質(zhì)量便比原來減少％，設質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過年后的剩留量為，則的函數(shù)解析式為.三、學習引領1、函數(shù)應用題的解題步驟求解函數(shù)應用題，關鍵是考慮該題考查的是何種函數(shù)模型，并要注意定義域，然后建立其解析式，最后結合其實際意義作出解答。解題步驟：第一步：閱理解讀審清題意讀題主要做到逐字逐句，讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，在此基礎上分析出已知是什么，求什么，從中提煉出相應的數(shù)學問題。第二步：引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型一般地設自變量為，函數(shù)為，必要時引入其他相關輔助變量，用和輔助變量表示各相關量，然后根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學知識，物理知識及其相關知識建立關系式，在此基礎上講實際問題轉化為一個函數(shù)問題，實際問題的數(shù)學化，即所謂建立數(shù)學模型。第三步：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題（即數(shù)學模型）予以解答，求得結果。第四步：再講所得的結果轉譯成具體問題的解答。2、建立函數(shù)模型解決實際問題及注意問題（1）圖解函數(shù)建模型的過程和步驟：理論探究1：（同種函數(shù)模型不同增長速度）理論探究1：（同種函數(shù)模型不同增長速度）實例1（同種函數(shù)模型不同增長速度）實際到生活實際到生活特殊到一般特殊到一般理論探究2理論探究2：（不同種函數(shù)模型增長速度）實例2（不同種函數(shù)模型增長速度）（2）解決實際問題時，要注重函數(shù)的定義域，這往往是解決最值問題的關鍵，并結合實際問題的具體意義作出正確大的解答；應注意掌握積累一些常見的應用題類型的解題方法和思路，如最值問題，增長率利率問題，分期付款問題等，還應逐步增強數(shù)字計算與近似計算的技能和技巧。四、典例導析1、一次函數(shù)為模型的應用：11060200100O/元/度11060200100O/元/度⑴用電量為100度時，應交電費為元；⑵當時，求關于之間的函數(shù)關系式；⑶月用點量為260度時，應交電費多少元？思路導析：根據(jù)函數(shù)模型，建立分段函數(shù)模型的解析式，特別重視定義域的書寫。解析：⑴由圖形可知，與函數(shù)關系的圖象是一條直線，因此可用一次函數(shù)知識解決，當用電量為100度時，應交電費為60元；⑵設所求的函數(shù)關系式為，∵直線經(jīng)過點和，∴解得，∴關于之間的函數(shù)關系式為.⑶∵，∴將代入，解得，∴月用點量為260度時，應交電費140元.規(guī)律總結：本題是把實際問題轉化為數(shù)學模型，建立一次函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)性質(zhì)解題.變式練習1、電信局為了配合客戶的不同需要，設有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案的應付電話費（元）與通話施加（分鐘）之間的關系如圖所示（實線部分，且MN應付話費（元）通話時間（分鐘）⑴若通話時間為2小時，按方案應付話費（元）通話時間（分鐘）⑵方案B從500分鐘以后，每分鐘收費多少元？⑶通話時間在什么范圍內(nèi)，方案B才會比方案A優(yōu)惠？2、二次函數(shù)模型的應用：圖1例2、某投資公司計劃投資、兩種圖1金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，產(chǎn)品的利潤與投資量成正比例，其關系如圖1，產(chǎn)品的利潤與投資量的算術平方根成正圖2圖2單位：萬元）。（1）分別將、兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關系式；（2）該公司已有10萬元資金，并全部投入、兩種產(chǎn)品中，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？思路導析:根據(jù)兩個函數(shù)圖象建立相應的函數(shù)關系式，最后確定公司利潤的函數(shù)關系，利用函數(shù)的性質(zhì)求解。解：（Ⅰ）設投資為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元．由題意設，．由圖可知，∴．又，∴．從而，．（Ⅱ）設產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設企業(yè)利潤為萬元．，令，則．當時，，此時．答：當產(chǎn)品投入6萬元，則產(chǎn)品投入4萬元時，該企業(yè)獲得最大利潤，利潤為萬元．規(guī)律總結：本題是把實際問題建立函數(shù)關系式，由函數(shù)圖象等給出條件，解題時要抓住圖象特征，抓住關鍵點的坐標，確定函數(shù)解析式，求解實際問題.變式練習2、某商品在最近100天內(nèi)的價格與時間t的函數(shù)關系是：銷售量與時間t的函數(shù)關系是：g(t)=－t+(0≤t≤100,t∈N),求這種商品的日銷售額S(t)的最大值。3、以指、對、冪函數(shù)為模型的數(shù)學建模：例3、為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關系式為（a為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：⑴從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關系式為.⑵據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室.思路導析：本題為一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)模型的實際應用問題，根據(jù)一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進行相應的解答，作出作出最后的結論。解析：⑴圖中直線的斜率為，方程為，點在曲線上，所以，所以，因此.⑵因為藥物釋放過程中室內(nèi)藥量一直在增加，即使藥量小于毫克，學生也不能進入教室，所以，只能當藥物釋放完畢后，室內(nèi)藥量減少到毫克以下時，學生方可進入教室，即，解得.規(guī)律總結：本題是以指數(shù)函數(shù)為背景的實際應用問題，通過利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決實際應用問題，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想，在解題時要注重實際問題對變量參數(shù)的限制條件，防止誤解錯解.變式練習3、某地區(qū)心臟病發(fā)病人數(shù)呈上升趨勢．經(jīng)統(tǒng)計分析，從1996年到2023年的10年間每兩年上升，2023年和2023年兩年共發(fā)病815人．如果不加控制，仍按這個比例發(fā)展下去，從2023年到2023年將有多少人發(fā)?。课?、隨堂練習1、某種產(chǎn)品的總成本（萬元）與產(chǎn)量之間的函數(shù)關系式為且，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時（銷售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是（）

A、100臺

B、120臺

C、150臺

D、180臺2、用長度為24m的材料圍一個矩形家禽養(yǎng)殖場，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為（

）A、3

B、4

C、6

D、123、按復利計算儲蓄利率，存入銀行a萬元，年利率了b%，x年后支取，本息和應為(

）A、a(1+b%)x-1萬元

B、a(1+b%)x萬元

C、a(1+b%)x+1萬元

D、a[1+(b%)x]萬元4、有一批材料可以圍成36m的圍墻，如圖，用此材料在一邊靠墻的地方，圍在一塊矩形場地且中間用同樣材料隔成兩塊矩形，試求所圍矩形面積的最大值是_______。5、一種新型電子產(chǎn)品投產(chǎn)，計劃兩年后使成本降低36%，那么平均每年應降低成本。6、某人開汽車以60km/h的度從A地到150km遠處的B，在B地停留1小時后，再以50km/h的速度返回A地，把汽車離開A地的路程x(km)表示為時間t(h)(從A地出發(fā)時開始）的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖像，再把車速v(km/h)表示為時間t(h)的函數(shù)，并畫出函數(shù)和圖像。六、課后作業(yè)1、我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1980年至2000年的20年間翻兩番，設平均每年的增長率為x，則（

）

A.(1+x)19=4

B.（1+x）20=2C.(1+x)20=3

D.(1+x)2、某商品降價10%后，欲恢復原價，則應提價（

）

A、10%

B、90%

C、11%

D、%

3、某工廠同時生產(chǎn)兩種成本不同的產(chǎn)品A和B，由于市場銷售情況發(fā)生變化，A產(chǎn)品連續(xù)兩次提價20%，而B產(chǎn)品連續(xù)兩次分別降低20%，結果A、B兩產(chǎn)品均以每件元的價格售出，則該廠此時同時售出A、B產(chǎn)品各1件時，比原價格售出時，它的盈虧情況是（

）

A、虧

B、盈

C、不虧不盈

D、與現(xiàn)在的價格有關4、某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，己知總收益滿足函數(shù)：

，其中x是儀器的月產(chǎn)量。

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；

(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收益=總成本+利潤）6、假設國家收購某種農(nóng)產(chǎn)品的價格是120元/擔，其中征稅標準為每100元征8元（叫做稅率為8個百分點，即8％）．計劃可收購m萬擔，為了減輕農(nóng)民負擔，決定稅率降低x個百分點，預計收購量可增加2x個百分點．（1）寫出稅收y（萬元）與x的函數(shù)關系式．（2）要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后不低于原計劃的78％，試確定x的范圍．用己知的函數(shù)模型解決問題一、課前準備2．基礎預探（1），，，（2）函數(shù)的定義域為R，值域為，當時，指數(shù)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，當時，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，且所有的指數(shù)函數(shù)都經(jīng)過定點二、基本知識習題化1.解析：由題意得，三后支取為萬元。2.解析：克的鹽水中含鹽克，即即，整理得y=x，故選B3.解：依據(jù)題意：400克含鹽15%的鹽水中水的質(zhì)量=400（1-15%）=340鹽的質(zhì)量=400×15%=60克，加了110克水后，總質(zhì)量為要想使鹽水濃度變成12%，則鹽水的質(zhì)量應該等于=60/12%=500克如果要加入鹽使?jié)舛戎匦伦優(yōu)?2%，可設加入x克鹽，那么由題意可得出：解得：故選D．4.解：由[m]是大于或等于m的最小整數(shù)可得[]=6．所以f（）=×（×[]+1）=×4=．5.解：由題意可得，對于函數(shù)，當x=100時，y=%=，所以。四、典例導析變式練習1、解析：由圖可知，則這兩種方案的應付話費與通話時間的函數(shù)關系分別為：，⑴通話2小時，兩種方案的話費分別為116元、168元.⑵由元，所以，方案B從500分鐘以后，每分鐘的收費為元.⑶由圖可知，當時，；當時，；當時，由得，，即當通話時間在時，方案B較方案A優(yōu)惠.2、解：因為，所以⑴當，從而可知當；⑵，當t=40時，。綜上可得，。答：在最近的100天內(nèi)，這種商品的日銷售額的最大值為。3、解：設第x個兩年心臟病發(fā)病人數(shù)為y，a為第一個兩年間發(fā)病人數(shù)，根據(jù)題意，得y=a(1＋2%)，顯然a=815，即y=815(1＋2%)(xN*)，2023年到2023年發(fā)病人數(shù)x=2時的值，那么總計發(fā)病人數(shù)為815(1＋2%)＋815(1＋2%)≈1680(人)．五、隨堂練習1、解：由題設，產(chǎn)量x臺時，總售價為25x；欲使生產(chǎn)者不虧本時，必須滿足總售價大于等于總成本，即25x≥3000+，即+5x-3000≥0，x2+50x-30000≥0，解之得x≥150或x≤-200（舍去）．故欲使生產(chǎn)者不虧本，最低產(chǎn)量是150臺．應選C．2、解：設隔墻的長為x（0＜x＜6），矩形面積為y，，∴當x=3時，y最大．故選A．3、按復利計算儲蓄利率，存入銀行a萬元，年利率了b%，x年后支取，本息和應為(

）A、a(1+b%)x-1萬元

B、a(1+b%)x萬元

C、a(1+b%)x+1萬元

D、a[1+(b%)x]萬元答案：B4、解：設寬為xm，則長為，記面積為m2

則，當時，，所以，所圍成的面積的最大值為5、一種新型電子產(chǎn)品投產(chǎn)，計劃兩年后使成本降低36%，那么平均每年應降低成本。答案：20%

6、解：汽車離開A地的距離x（km)與時間t(h)之間的關系式是：

它的圖像如圖2-28(1)所示速度v(km/h)與時間th的函數(shù)關系式是:

它的圖像如圖2-28(2)所示。六、課后作業(yè)1、答案D2、解析：由題意得，設應提價為，則，所以，故D3、解析：設A、B兩種產(chǎn)品的價格分別為a、b，則A提價后售價為，B降價后售價為，且A和B現(xiàn)在是相同的價格，則得到，售出A、B兩種產(chǎn)品各一件比原價售出A、B兩種各一件的盈虧情況為利用得，代入得，即同時售出A、B兩種產(chǎn)品各一件此原價售出A、B兩種產(chǎn)品各一件的盈虧情況為虧。4、解答：(1)設月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20000+100x，從而

(2)當0≤x≤40