高中數(shù)學(xué)蘇教版3第二章概率 第2章章末分層突破

章末分層突破[自我校對(duì)]①pi≥0，i＝1,2，…，n②eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1③兩點(diǎn)分布④超幾何分布⑤P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)⑥0≤P(B|A)≤1P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)(B，C互斥)⑦P(AB)＝P(A)·P(B)⑧A與B相互獨(dú)立，則eq\x\to(A)與B，A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)相互獨(dú)立⑨P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)⑩E(aX＋b)＝aE(X)＋b?E(X)＝p?E(X)＝np?V(X)＝p(1－p)?V(X)＝np(1－p)?V(aX＋b)＝a2V(X)條件概率條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須搞清欲求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率．求條件概率的主要方法有：利用條件概率公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)計(jì)算．在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．【精彩點(diǎn)撥】本題是條件概率問(wèn)題，根據(jù)條件概率公式求解即可．【規(guī)范解答】設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A，“第2題抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為n(Ω)＝Aeq\o\al(2,5)＝20.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，n(A)＝Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.于是P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因?yàn)閚(AB)＝Aeq\o\al(2,3)＝6，所以P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).[再練一題]1．?dāng)S兩顆均勻的骰子，已知第一顆骰子擲出6點(diǎn)，問(wèn)“擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”【解】設(shè)“擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”為事件A，“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”為事件B.P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(3,36),\f(6,36))＝eq\f(1,2).相互獨(dú)立事件的概率求相互獨(dú)立事件一般與互斥事件、對(duì)立事件結(jié)合在一起進(jìn)行考查，解答此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上用基本事件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事件，并運(yùn)用相應(yīng)公式求解．特別注意以下兩公式的使用前提：(1)若A，B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．(2)若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為,,,，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立．(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；(2)X表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求P(X＝1)．【精彩點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵是將復(fù)雜事件拆分成若干個(gè)彼此互斥事件的和或幾個(gè)彼此相互獨(dú)立事件的積事件，再利用相應(yīng)公式求解．【規(guī)范解答】記Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i＝0,1,2，B表示事件：甲需使用設(shè)備，C表示事件：丁需使用設(shè)備，D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備．(1)D＝A1BC＋A2B＋A2eq\x\to(B)C，P(B)＝，P(C)＝，P(Ai)＝Ceq\o\al(i,2)×，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2eq\x\to(B)C)＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2eq\x\to(B)C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(eq\x\to(B))P(C)＝.(2)X＝1表示在同一工作日有一人需使用設(shè)備．P(X＝1)＝P(BA0eq\x\to(C)＋eq\x\to(B)A0C＋eq\x\to(B)A1eq\x\to(C))＝P(B)P(A0)P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(B))P(A0)P(C)＋P(eq\x\to(B))·P(A1)P(eq\x\to(C))＝××(1－＋(1－××＋(1－×2××(1－＝.[再練一題]2．某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答3個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第1,2,3個(gè)問(wèn)題分別得100分，100分，200分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第1,2,3個(gè)問(wèn)題的概率分別為,,.且各題答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響．(1)求這名同學(xué)得300分的概率；(2)求這名同學(xué)至少得300分的概率．【解】記“這名同學(xué)答對(duì)第i個(gè)問(wèn)題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.(1)這名同學(xué)得300分的概率為：P1＝P(A1eq\x\to(A)2A3)＋P(eq\x\to(A)1A2A3)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝××＋××＝.(2)這名同學(xué)至少得300分的概率為：P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(＝＋××＝.離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差1.含義：均值和方差分別反映了隨機(jī)變量取值的平均水平及其穩(wěn)定性．2．應(yīng)用范圍：均值和方差在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中應(yīng)用非常廣泛，如同等資本下比較收益的高低、相同條件下比較質(zhì)量的優(yōu)劣、性能的好壞等．3．求解思路：應(yīng)用時(shí)，先要將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的概率分布列．對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列，再代入公式計(jì)算，此時(shí)解題的關(guān)鍵是概率的計(jì)算．計(jì)算概率時(shí)要結(jié)合事件的特點(diǎn)，靈活地結(jié)合排列組合、古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率等知識(shí)求解．若離散型隨機(jī)變量服從特殊分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，則可直接代入公式計(jì)算其數(shù)學(xué)期望與方差．甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行比賽，根據(jù)規(guī)則：每支隊(duì)伍比賽兩場(chǎng)，共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒(méi)有平局．已知乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為eq\f(1,5)，甲隊(duì)獲得第一名的概率為eq\f(1,6)，乙隊(duì)獲得第一名的概率為eq\f(1,15).(1)求甲隊(duì)分別勝乙隊(duì)和丙隊(duì)的概率P1，P2；(2)設(shè)在該次比賽中，甲隊(duì)得分為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望、方差．【精彩點(diǎn)撥】(1)通過(guò)列方程組求P1和P2；(2)由題意求出甲隊(duì)得分ξ的可能取值，然后再求出ξ的分布列，最后再求出數(shù)學(xué)期望和方差．【規(guī)范解答】(1)設(shè)“甲隊(duì)勝乙隊(duì)”的概率為P1，“甲隊(duì)勝丙隊(duì)”的概率為P2.根據(jù)題意，甲隊(duì)獲得第一名，則甲隊(duì)勝乙隊(duì)且甲隊(duì)勝丙隊(duì)，所以甲隊(duì)獲得第一名的概率為P1×P2＝eq\f(1,6).①乙隊(duì)獲得第一名，則乙隊(duì)勝甲隊(duì)且乙隊(duì)勝丙隊(duì)，所以乙隊(duì)獲得第一名的概率為(1－P1)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15).②解②，得P1＝eq\f(2,3)，代入①，得P2＝eq\f(1,4)，所以甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為eq\f(2,3)，甲隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為eq\f(1,4).(2)ξ的可能取值為0,3,6.當(dāng)ξ＝0時(shí)，甲隊(duì)兩場(chǎng)比賽皆輸，其概率為P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)；當(dāng)ξ＝3時(shí)，甲隊(duì)兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)，其概率為P(ξ＝3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(7,12)；當(dāng)ξ＝6時(shí)，甲隊(duì)兩場(chǎng)皆勝，其概率為P(ξ＝6)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,6).所以ξ的分布列為ξ036Peq\f(1,4)eq\f(7,12)eq\f(1,6)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,4)＋3×eq\f(7,12)＋6×eq\f(1,6)＝eq\f(11,4).V(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(11,4)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(11,4)))2×eq\f(7,12)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(11,4)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(59,16).[再練一題]3．為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽．(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解】(1)由已知，有P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以，事件A發(fā)生的概率為eq\f(6,35).(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．所以，隨機(jī)變量X的分布列為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2).正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用對(duì)于正態(tài)分布問(wèn)題，課標(biāo)要求不是很高，只要求了解正態(tài)分布中最基礎(chǔ)的知識(shí)，主要是：(1)掌握正態(tài)分布曲線函數(shù)關(guān)系式；(2)理解正態(tài)分布曲線的性質(zhì)；(3)記住正態(tài)分布在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，運(yùn)用對(duì)稱性結(jié)合圖象求相應(yīng)的概率．正態(tài)分布的概率通常有以下兩種方法：(1)注意“3σ原則”的應(yīng)用．記住正態(tài)總體在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率．(2)注意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對(duì)稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運(yùn)用對(duì)稱性結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問(wèn)題成為熱點(diǎn)問(wèn)題．某學(xué)校高三2500名學(xué)生第二次模擬考試總成績(jī)服從正態(tài)分布N(500,502)，請(qǐng)您判斷考生成績(jī)X在550～600分的人數(shù)．【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出P(550＜x≤600)，即可解決在550～600分的人數(shù)．【規(guī)范解答】∵考生成績(jī)X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P(550<X≤600)＝eq\f(1,2)[P(500－2×50<X≤500＋2×50)－P(500－50<X≤500＋50)]＝eq\f(1,2)4－6)＝9，∴考生成績(jī)?cè)?50～600分的人數(shù)為2500×9≈340(人)．[再練一題]4．為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1000名年齡在歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖2-1所示．若體重大于58.5kg小于等于62.5kg屬于正常情況，則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)是________．圖2-1【解析】由題意，可知μ＝，σ＝2，故P<X≤＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝6，從而屬于正常情況的人數(shù)是1000×6≈683.【答案】6831．將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是________．【解析】將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36種情況．設(shè)事件A＝“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10”，其對(duì)立事件eq\x\to(A)＝“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”，eq\x\to(A)包含的可能結(jié)果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種情況．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\x\to(A))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).【答案】eq\f(5,6)2．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝________.【解析】由E(X)＝30，D(X)＝20，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np1－p＝20，))解得p＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)3．A，B，C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時(shí))：A班678B班6789101112C班36912(1)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)；(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；(3)再?gòu)腁，B，C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7,9,(單位：小時(shí))．這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ1的大小．(結(jié)論不要求證明)【解】(1)由題意知，抽出的20名學(xué)生中，來(lái)自C班的學(xué)生有8名．根據(jù)分層抽樣的方法，估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)為100×eq\f(8,20)＝40.(2)設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個(gè)人”，i＝1,2，…，5，事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個(gè)人”，j＝1,2，…，8.由題意可知，P(Ai)＝eq\f(1,5)，i＝1,2，…，5；P(Cj)＝eq\f(1,8)，j＝1,2，…，8.P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,40)，i＝1,2，…，5，j＝1,2，…，8.設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”．由題意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×eq\f(1,40)＝eq\f(