高中數(shù)學(xué)人教B版4第一章坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 第1章極坐標(biāo)系

極坐標(biāo)系1.2.1平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)1.2.2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系1.了解極坐標(biāo)系的意義，能用極坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置.(難點(diǎn))2.了解極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的聯(lián)系，能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.(重點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]1.平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系：在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，由O點(diǎn)出發(fā)的一條射線Ox，一個(gè)長度單位及計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向)，合稱為一個(gè)極坐標(biāo)系，O點(diǎn)稱為極點(diǎn)，Ox稱為極軸.(2)極坐標(biāo)：平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫.這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).ρ稱為極徑，θ稱為極角.2.點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系(ρ，θ)和(ρ，θ＋2kπ)代表同一個(gè)點(diǎn)，其中k為整數(shù).特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，θ)(θ∈R).如果限定ρ≥0，0≤θ<2π，則除極點(diǎn)外，平面上的點(diǎn)就與它的極坐標(biāo)構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系.3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系(1)互化背景：設(shè)在平面上取定了一個(gè)極坐標(biāo)系，以極軸作為直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸，以θ＝eq\f(π,2)的射線作為y軸的正半軸，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，長度單位不變，建立一個(gè)直角坐標(biāo)系(如圖1-2-1所示).圖1-2-1(2)互化公式：設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(ρ，θ)互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))ρ2＝x2＋y2tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)[思考·探究]1.極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別和聯(lián)系？【導(dǎo)學(xué)號：62790002】【提示】極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系，用來刻畫平面內(nèi)點(diǎn)的位置.2.極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的點(diǎn)與極坐標(biāo)是否能建立一一對應(yīng)關(guān)系？【提示】建立極坐標(biāo)系后，給定數(shù)對(ρ，θ)，就可以在平面內(nèi)惟一確定一點(diǎn)M；反過來，給定平面內(nèi)一點(diǎn)M，它的極坐標(biāo)卻不是惟一的.所以極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的點(diǎn)與極坐標(biāo)不能建立一一對應(yīng)關(guān)系.3.聯(lián)系點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶是什么？【提示】任意角的三角函數(shù)的定義及其基本關(guān)系式是聯(lián)系點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶.事實(shí)上，若ρ>0，則sinθ＝eq\f(y,ρ)，cosθ＝eq\f(x,ρ)，所以x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x).[自主·測評]1.極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為()A.(1,0) B.(－1，π)C.(1，π) D.(1,2π)【解析】∵(ρ，θ)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(p，π＋θ)，∴M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(1，π).【答案】C2.極坐標(biāo)系中，到極點(diǎn)的距離等于到極軸的距離的點(diǎn)可以是()A.(1,0) B.(2，eq\f(π,4))C.(3，eq\f(π,2)) D.(4，π)【答案】C3.點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(2，eq\f(7π,6))，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為()A.(－1，－eq\r(3)) B.(－eq\r(3)，1)C.(－eq\r(3)，－1) D.(eq\r(3)，－1)【解析】x＝ρcosθ＝2coseq\f(7,6)π＝－eq\r(3)，y＝ρsinθ＝2sineq\f(7,6)π＝－1.【答案】C4.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(0，eq\f(π,2))，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)可以為()A.(eq\f(π,2)，0) B.(0，eq\f(π,2))C.(eq\f(π,2)，eq\f(π,2)) D.(eq\f(π,2)，－eq\f(π,2))【解析】∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\f(π,2)，且θ＝eq\f(π,2)，∴M的極坐標(biāo)為(eq\f(π,2)，eq\f(π,2)).【答案】C[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：類型一確定極坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)A(2，eq\f(π,3))，直線l為過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線，分別求點(diǎn)A關(guān)于極軸，直線l，極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ>0，－π<θ≤π).【精彩點(diǎn)撥】欲寫出點(diǎn)的極坐標(biāo)，首先應(yīng)確定ρ和θ的值.【嘗試解答】如圖所示，關(guān)于極軸的對稱點(diǎn)為B(2，－eq\f(π,3)).關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為C(2，eq\f(2,3)π).關(guān)于極點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為D(2，－eq\f(2,3)π).四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D都在以極點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上.1.點(diǎn)的極坐標(biāo)不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，則除極點(diǎn)外，點(diǎn)的極坐標(biāo)是惟一確定的.2.寫點(diǎn)的極坐標(biāo)要注意順序：極徑ρ在前，極角θ在后.[再練一題]1.在極坐標(biāo)系中，B(3，eq\f(π,4))，D(3，eq\f(7,4)π)，試判斷點(diǎn)B，D的位置是否具有對稱性，并求出B，D關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ>0，θ∈[0,2π)).【解】由B(3，eq\f(π,4))，D(3，eq\f(7π,4))，知|OB|＝|OD|＝3，極角eq\f(π,4)與eq\f(7π,4)的終邊關(guān)于極軸對稱.所以點(diǎn)B，D關(guān)于極軸對稱.設(shè)點(diǎn)B(3，eq\f(π,4))，D(3，eq\f(7π,4))關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為E(ρ1，θ1)，F(xiàn)(ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3.當(dāng)θ∈[0,2π)時(shí)，θ1＝eq\f(5π,4)，θ2＝eq\f(3π,4)，∴E(3，eq\f(5π,4))，F(xiàn)(3，eq\f(3π,4))為所求.類型二將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)寫出下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并判斷所表示的點(diǎn)在第幾象限.(1)(2，eq\f(4π,3))；(2)(2，－eq\f(2,3)π)；(3)(2，－eq\f(π,3)).【精彩點(diǎn)撥】點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ，θ)→eq\o(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ)))→點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)→判定點(diǎn)所在象限.【嘗試解答】(1)由題意知x＝2coseq\f(4π,3)＝2×(－eq\f(1,2))＝－1，y＝2sineq\f(4π,3)＝2×(－eq\f(\r(3),2))＝－eq\r(3).∴點(diǎn)(2，eq\f(4π,3))的直角坐標(biāo)為(－1，－eq\r(3))，是第三象限內(nèi)的點(diǎn).(2)x＝2cos(－eq\f(2,3)π)＝－1，y＝2sin(－eq\f(2,3)π)＝－eq\r(3)，∴點(diǎn)(2，－eq\f(2,3)π)的直角坐標(biāo)為(－1，－eq\r(3))，是第三象限內(nèi)的點(diǎn).(3)x＝2cos(－eq\f(π,3))＝1，y＝2sin(－eq\f(π,3))＝－eq\r(3)，∴點(diǎn)(2，－eq\f(π,3))的直角坐標(biāo)為(1，－eq\r(3))，是第四象限內(nèi)的點(diǎn).1.點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個(gè)前提條件：①極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合；②極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合；③兩種坐標(biāo)系的長度單位相同.2.將點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ，θ)化為點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)時(shí)，運(yùn)用到求角θ的正弦值和余弦值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運(yùn)用三角恒等變換公式是關(guān)鍵.[再練一題]2.分別把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：(1)(2，eq\f(π,6))；(2)(3，eq\f(π,2))；(3)(π，π).【解】(1)∵x＝ρcosθ＝2coseq\f(π,6)＝eq\r(3)，y＝ρsinθ＝2sineq\f(π,6)＝1.∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(2，eq\f(π,6))化為直角坐標(biāo)為(eq\r(3)，1).(2)∵x＝ρcosθ＝3coseq\f(π,2)＝0，y＝ρsinθ＝3sineq\f(π,2)＝3.∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(3，eq\f(π,2))化為直角坐標(biāo)為(0,3).(3)∵x＝ρcosθ＝πcosπ＝－π，y＝ρsinθ＝πsinπ＝0，∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(π，π)化為直角坐標(biāo)為(－π，0).類型三將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)分別把下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定ρ≥0,0≤θ<2π).(1)(－2,2eq\r(3))；(2)(eq\r(6)，－eq\r(2)).【精彩點(diǎn)撥】利用公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)，但求角θ時(shí)，要注意點(diǎn)所在的象限.【嘗試解答】(1)∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(－22＋2\r(3)2)＝4，tanθ＝eq\f(y,x)＝－eq\r(3)，θ∈[0,2π)，由于點(diǎn)(－2,2eq\r(3))在第二象限.∴θ＝eq\f(2π,3).∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)(－2,2eq\r(3))化為極坐標(biāo)(4，eq\f(2,3)π).(2)∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(\r(6)2＋－\r(2)2)＝2eq\r(2)，tanθ＝eq\f(y,x)＝－eq\f(\r(3),3)，θ∈[0,2π)，由于點(diǎn)(eq\r(6)，－eq\r(2))在第四象限，所以θ＝eq\f(11π,6).∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)(eq\r(6)，－eq\r(2))化為極坐標(biāo)為(2eq\r(2)，eq\f(11π,6)).1.將直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)求解.2.在[0,2π)范圍內(nèi)，由tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)求θ時(shí)，要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號特征判斷出點(diǎn)所在的象限.如果允許θ∈R，再根據(jù)終邊相同的角的意義，表示為θ＋2kπ(k∈Z)即可.[再練一題]3.(1)“例3”中，如果限定ρ>0，θ∈R，分別求各點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)如果點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)滿足xy<0，那么在限定ρ>0，θ∈R的情況下轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的極坐標(biāo)時(shí)，試探究θ的取值范圍.【解】(1)根據(jù)與角α終邊相同的角為α＋2kπ(k∈Z)知，點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(ρ>0，θ∈k)分別如下：(－2,2eq\r(3))的極坐標(biāo)為(4，eq\f(2π,3)＋2kπ)(k∈Z).(eq\r(6)，－eq\r(2))的極坐標(biāo)為(2eq\r(2)，eq\f(11,6)π＋2kπ)(k∈Z).(2)由xy<0得x<0，y>0或x>0，y<0.所以(x，y)可能在第二象限或第四象限.把直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R時(shí)，θ的取值范圍為(eq\f(π,2)＋2kπ，π＋2kπ)∪(eq\f(3π,2)＋2kπ，2π＋2kπ)(k∈Z).類型四極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的綜合應(yīng)用在極坐標(biāo)系中，如果A(2，eq\f(π,4))，B(2，eq\f(5π,4))為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)(ρ>0,0≤θ<2π).【精彩點(diǎn)撥】解答本題可以先利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點(diǎn)C的直角坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的極坐標(biāo).【嘗試解答】對于點(diǎn)A(2，eq\f(π,4))有ρ＝2，θ＝eq\f(π,4)，∴x＝2coseq\f(π,4)＝eq\r(2)，y＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2)，則A(eq\r(2)，eq\r(2)).對于B(2，eq\f(5,4)π)有ρ＝2，θ＝eq\f(5,4)π，∴x＝2coseq\f(5,4)π＝－eq\r(2)，y＝2sineq\f(5,4)π＝－eq\r(2).∴B(－eq\r(2)，－eq\r(2)).設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由于△ABC為等邊三角形，故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)2＋y－\r(2)2＝16，,x＋\r(2)2＋y＋\r(2)2＝16.))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(6)，,y＝－\r(6)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(6)，,y＝\r(6).))∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\r(6)，－eq\r(6))或(－eq\r(6)，eq\r(6)).∴ρ＝eq\r(6＋6)＝2eq\r(3)，tanθ＝eq\f(－\r(6),\r(6))＝－1，∴θ＝eq\f(7,4)π或θ＝eq\f(3,4)π.故點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2eq\r(3)，eq\f(7,4)π)或(2eq\r(3)，eq\f(3,4)π).1.本例綜合考查了點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式以及等邊三角形的意義和性質(zhì).結(jié)合幾何圖形可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)有兩解，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)尋求等量關(guān)系建立方程組求解是關(guān)鍵.2.若設(shè)出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，請讀者完成.[再練一題]4.本例中，如果點(diǎn)的極坐標(biāo)仍為A(2，eq\f(π,4))，B(2，eq\f(5π,4))，且△ABC為等腰直角三角形，如何求直角頂點(diǎn)C的極坐標(biāo).【導(dǎo)學(xué)號：62790003】【解】對于點(diǎn)A(2，eq\f(π,4))，直角坐標(biāo)為(eq\r(2)，eq\r(2))，點(diǎn)B(2，eq\f(5π,4))的直角坐標(biāo)為(－eq\r(2)，－eq\r(2))，設(shè)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(x，y)，由題意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，∴eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＝0，即(x－eq\r(2)，y－eq\r(2))·(x＋eq\r(2)，y＋eq\r(2))＝0，∴x2＋y2＝4. ①又|Aeq\o(C,\s\up13(→))|2＝|Beq\o(C,\s\up13(→))|2，于是(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝(x＋eq\r(2))2＋(y＋eq\r(2))2，∴y＝－x代入①，得x2＝2，解得x＝±eq\r(2).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝－\r(2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(2)，,y＝\r(2)，))∴點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(eq\r(2)，－eq\r(2))或(－eq\r(2)，eq\r(2))，∴ρ＝eq\