廣東省揭陽市城關(guān)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

廣東省揭陽市城關(guān)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合A=﹥0

｝則AB=A

B

C

D或

參考答案：B【知識點(diǎn)】集合的運(yùn)算A1解析：因?yàn)榧希?，故，故選擇B.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)含絕對值的不等式以及對數(shù)不等式的解法，求得集合A與B，再根據(jù)交集運(yùn)算定義求得結(jié)果.2.把正整數(shù)排列成如圖甲三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列{an}，若an=2009，則n=（）A．1026B．1027C．1028D．1029參考答案：B略3.函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：A4.設(shè)函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A略5.若函數(shù)的圖象在處的切線與圓相切，則的最大值是（

）A.4

B.

C.2

D.參考答案：D略6.在△ABC中，A、B、C為其三內(nèi)角，滿足tanA、tanB、tanC都是整數(shù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】首先判斷出A、B、C均為銳角，根據(jù)tanA、tanB、tanC都是整數(shù)，求得tanA、tanB、tanC的值，進(jìn)而判斷出結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】由于，所以B、C都是銳角，又tanB、tanC都是正整數(shù)，這樣，可見A也是銳角.這時(shí)，，，.有，即.但是，，比較可知只可能，，.由可知，選項(xiàng)B是正確的.至于選項(xiàng)C和D，由，可知，又，故選項(xiàng)C正確；又由，選項(xiàng)D正確、A選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩角和的正切公式，考查三角形內(nèi)角和定理，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于中檔題.7.函數(shù)2f(x)＝log2x的定義域是[2，8]，則f(x)的反函數(shù)f－1(x)的定義域是A．[1，3]B．[2，8]C．[1，4]D．[2，4]參考答案：A略8.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則x2+y2的最小值為（）A．0 B． C．1 D．參考答案：B【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組，對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，由圖象知：OA的距離最小，原點(diǎn)到直線2x+y﹣2=0的距離最?。?，則x2+y2的最小值為：，故選：B．9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的兩條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知平面外不共線的三點(diǎn)到α的距離都相等,則正確的結(jié)論是()A.平面必平行于

B.平面必與相交C.平面必不垂直于

D.存在△的一條中位線平行于或在內(nèi)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.化簡：=．參考答案：4sinθ【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】直接由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡計(jì)算得答案．【解答】解：==4sinθ，故答案為：4sinθ．12.已知△ABC外接圓O的半徑為2，且，，則______.參考答案：12【分析】由可知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是外接圓的圓心，可以判斷是以為斜邊的直角三角形，又，可得,,利用向量數(shù)量積的定義求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是外接圓的圓心，因此是以為斜邊的直角三角形，又因?yàn)?，所?因此,，所以【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的加法幾何意義、考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是對形狀的判斷.13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

.參考答案：

(端點(diǎn)取值可以包含)14.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于__________參考答案：84略15.已知函數(shù)則=

．參考答案：1016.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，極坐標(biāo)為的點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的最小值為

.參考答案：2略17.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2﹣1．（1）對于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若對任意實(shí)數(shù)x1∈．存在實(shí)數(shù)x2∈，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）由題意可得4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，由1≤x≤2，可得4m2≤，運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，可得右邊函數(shù)的最小值，解不等式可得m的范圍；（2）f（x）在的值域?yàn)锳，h（x）=|2f（x）﹣ax|的值域?yàn)锽，由題意可得A?B．分別求得函數(shù)f（x）和h（x）的值域，注意討論對稱軸和零點(diǎn)，與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性即可得到值域B，解不等式可得a的范圍．【解答】解：（1）對于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，即為4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，由1≤x≤2，可得4m2≤，由g（x）==4（+）2﹣，當(dāng)x=2，即=時(shí)，g（x）取得最小值，且為1，即有4m2≤1，解得﹣≤m≤；（2）對任意實(shí)數(shù)x1∈．存在實(shí)數(shù)x2∈，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，可設(shè)f（x）在的值域?yàn)锳，h（x）=|2f（x）﹣ax|的值域?yàn)锽，可得A?B．由f（x）在遞增，可得A=；當(dāng)a＜0時(shí)，h（x）=|2x2﹣ax﹣2|=2x2﹣ax﹣2，（1≤x≤2），在遞增，可得B=，可得﹣a≤0＜3≤6﹣2a，不成立；當(dāng)a=0時(shí)，h（x）=2x2﹣2，（1≤x≤2），在遞增，可得B=，可得0≤0＜3≤6，成立；當(dāng)0＜a≤2時(shí)，由h（x）=0，解得x=＞1（負(fù)的舍去），h（x）在遞減，遞增，即有h（x）的值域?yàn)?，即為，?≤0＜3≤6﹣2a，解得0＜a≤；當(dāng)2＜a≤3時(shí)，h（x）在遞減，遞增，即有h（x）的值域?yàn)?，即為，?≤0＜3≤a，解得a=3；當(dāng)3＜a≤4時(shí)，h（x）在遞減，可得B=，由2a﹣6≤0＜3≤a，無解，不成立；當(dāng)4＜a≤6時(shí)，h（x）在遞增，在遞減，可得B=，由2a﹣6≤0＜3≤2a，不成立；當(dāng)6＜a≤8時(shí)，h（x）在遞增，在遞減，可得B=，由a≤0＜3≤2a，不成立；當(dāng)a＞8時(shí)，h（x）在遞增，可得B=，A?B不成立．綜上可得，a的范圍是0≤a≤或a=3．【點(diǎn)評】本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和分類討論的思想方法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：求值域，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題．19.已知，且．（1）求的最大值；（2）證明：．參考答案：（1），（2）（1）．當(dāng)且僅當(dāng)取“＝”．所以，的最大值為．（2） ．當(dāng)且僅當(dāng)取“＝”． 10分20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若E是PB的中點(diǎn)，若AE與平面ABCD所成角為45°，求三棱錐P﹣ACE的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（I）利用勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，由PC⊥平面ABCD得出AC⊥PC，故而AC⊥平面PBC，從而得出PMACE⊥平面PBC；（II）取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則可證EF⊥平面ABCD，即∠EAF為AE與平面∠平面ABCD所成的角，利用勾股定理求出AF，則EF=AF．由E為PB的中點(diǎn)可知VP﹣ACE=VE﹣ABC=．【解答】證明：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，又∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．解：（Ⅱ）取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，∵E，F(xiàn)是PB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥PC，由PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．∴∠EAF為AE與平面ABCD所成角．即∠EAF=45°．∵AF==，∴EF=AF=．∵E是PB的中點(diǎn)，∴VP﹣ACE=VE﹣ABC===．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=，且直線l經(jīng)過點(diǎn)F（﹣，0）（I）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（Ⅱ）設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長為L，求L的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程；Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（I）利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，將曲線C轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程；則直線l的普通方程x﹣y=m，將F代入直線方程，即可求得m，求得直線l的普通方程；（Ⅱ）由（I）可知：設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)（2cosθ，sinθ），則L=2（4cosθ+2sinθ）=4sin（θ+φ），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得L的最大值．【解答】解：（I）由曲線C的極坐標(biāo)方程：ρ2=，即ρ2+ρ2sin2θ=4，將ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，代入上式，化簡整理得：；直線l的普通方程為x﹣y=m，將F代入直線方程，則m=，∴直線l的普通方程為x﹣y+=0；（Ⅱ）設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)（2cosθ，sinθ），（0＜θ＜），∴橢圓C的內(nèi)接矩形的周長L=2（4cosθ+2sinθ）=4sin（θ+φ），tanφ=，∴曲線C的內(nèi)接矩形的周長為L的最值為4．22.（本小題滿分14分）某種商品的成本為5元/件，開始按8元/件銷售，銷售量為50件，為了獲得最大利潤，商家先后采取了提價(jià)與降價(jià)兩種措施進(jìn)行試銷。經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)：銷售價(jià)每上漲