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廣東省揭陽(yáng)市紫賢中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合,集合,,則等于(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B2.已知,,則的值是(
)A、
B、
C、
D、參考答案:D略3.下列每組函數(shù)是同一函數(shù)的是() A.B. C.D.參考答案:B【考點(diǎn)】判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù). 【專題】計(jì)算題. 【分析】觀察所給的函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù),這種問(wèn)題首先要觀察這兩個(gè)函數(shù)的定義域是否相同,定義域不同則不是同一函數(shù),再觀察兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則是否相同. 【解答】解:A選項(xiàng)中,f(x)的定義域是R,g(x)的定義域是[1,+∞),定義域不同,它們的對(duì)應(yīng)法則也不同;故不是同一函數(shù); B選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,f(x)的定義域是R,g(x)的定義域是R,,兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則相同,是同一函數(shù); C選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,f(x)的定義域是(﹣∞,2)∪(2,+∞),g(x)的定義域是R;故不是同一函數(shù); D選項(xiàng)的定義域不同,f(x)的定義域是(﹣∞,1]∪[3,+∞),g(x)的定義域是[3,+∞),故不是同一函數(shù); 只有B選項(xiàng)符合同一函數(shù)的要求, 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù),考查根式的定義域,主要考查函數(shù)的三要素,即定義域,對(duì)應(yīng)法則和值域. 4.設(shè),,是任意的非零平面向量,且相互不共線,則下列正確的是()A.若向量,滿足||>||,且,同向,則>B.|+|≤||+||C.|?|≥||||D.|﹣|≤||﹣||參考答案:B【考點(diǎn)】向量的模.【分析】利用向量的基本知識(shí)進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì),向量減法的幾何意義對(duì)有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行求解并加以判斷.【解答】解:對(duì)于A.向量不能比較大小,故錯(cuò)誤,對(duì)于B,|+|≤||+||,根據(jù)向量的幾何意義可得B正確,對(duì)于C,|?|=||||?|cos<,>|≤||||,故C錯(cuò)誤,對(duì)于D,|,根據(jù)向量的幾何意義可得D錯(cuò)誤,故選:B.5.函數(shù)f(x)=+lg(x+1)的定義域?yàn)椋ǎ〢.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(1,+∞) D.(﹣∞,1)參考答案:A【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次根式的性質(zhì),得到不等式組,解出即可.【解答】解:由題意得:,解得:﹣1<x<1,故選:A.6.(3分)已知,都是單位向量,則下列結(jié)論正確的是() A. ?=1 B. 2=2 C. ∥ D. ?=0參考答案:B考點(diǎn): 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.專題: 計(jì)算題;平面向量及應(yīng)用.分析: ,都是單位向量,結(jié)合單位向量的概念,向量數(shù)量積,向量共線的基礎(chǔ)知識(shí)解決解答: 根據(jù)單位向量的定義可知,||=||=1,但夾角不確定.且==1,故選B.點(diǎn)評(píng): 本題只要掌握單位向量的概念,向量數(shù)量積,向量共線的基礎(chǔ)知識(shí)便可解決.屬于概念考查題.7.(3分)平行于直線x+y﹣1=0且與圓x2+y2﹣2=0相切的直線的方程是() A. x+y+2=0 B. x+y﹣2=0 C. x+y+2=0或x+y﹣2=0 D. x+y+2=0或x+y﹣2=0參考答案:D考點(diǎn): 圓的切線方程;直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系.專題: 直線與圓.分析: 設(shè)出所求直線方程,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出直線方程中的變量,1求出直線方程.解答: 設(shè)所求直線方程為x+y+b=0,平行于直線x+y﹣1=0且與圓x2+y2=2相切,所以,所以b=±2,所以所求直線方程為:x+y+2=0或x+y﹣2=0.故選:D.點(diǎn)評(píng): 本題考查兩條直線平行的判定,圓的切線方程,考查計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.8.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C9.要得到函數(shù)y=sin(2x?)的圖象,只需將函數(shù)y=sin2x的圖象(
)A.向右平移長(zhǎng)度單位 B.向左平移長(zhǎng)度單位C.向右平移長(zhǎng)度單位 D.向左平移長(zhǎng)度單位參考答案:A10.如果,那么函數(shù)的圖象在A第一、二、三象限
B第一、三、四象限C第二、三、四象限
D第一、二、四參考答案:B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等,則側(cè)棱與底面所成角為_(kāi)______.參考答案:45°【分析】先作出線面角,在直角三角形中求解.【詳解】設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)為2,如圖所示,正四棱錐中,過(guò)作平面,連接,則是在底面上的射影,所以即為所求的線面角,,,,即所求線面角為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成的角.12.若直線與直線平行,則
參考答案:-4由題意得,兩條直線平行,則。13.若變量x,y滿足則的最大值為()參考答案:214.已知定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,那么時(shí),
.參考答案:15.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若,則_____.參考答案:4【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)題目所給已知條件,化簡(jiǎn)后可求得所求的結(jié)果.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得,,故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.如果數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列的性質(zhì)為:若,則,若,則.如果數(shù)列是等比數(shù)列,則數(shù)列的性質(zhì)為:若,則,若,則.16.已知數(shù)列1,a1,a2,9是等差數(shù)列,數(shù)列1,b1,b2,b3,9是等比數(shù)列,則的值為. 參考答案:【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì);等差數(shù)列的性質(zhì). 【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求得a1+a2的值,由等比數(shù)列的性質(zhì)求得b2的值,從而求得的值. 【解答】解:已知數(shù)列1,a1,a2,9是等差數(shù)列,∴a1+a2=1+9=10. 數(shù)列1,b1,b2,b3,9是等比數(shù)列,∴=1×9,再由題意可得b2=1×q2>0(q為等比數(shù)列的公比), ∴b2=3,則=, 故答案為. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題. 17.在數(shù)列{an}中,,當(dāng)時(shí),.則數(shù)列的前n項(xiàng)和是_____.參考答案:【分析】先利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后將數(shù)列的通項(xiàng)裂開(kāi),利用裂項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】當(dāng)時(shí),.所以,,,,,.上述等式全部相加得,.,因此,數(shù)列的前項(xiàng)和為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)和裂項(xiàng)法求和,解題時(shí)要注意累加法求通項(xiàng)和裂項(xiàng)法求和對(duì)數(shù)列遞推公式和通項(xiàng)公式的要求,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)S為△ABC的面積,滿足4S=(a2+b2﹣c2).(1)求角C的大?。唬?)若1+=,且?=﹣8,求c的值.參考答案:【考點(diǎn)】HR:余弦定理;9R:平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;GG:同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系;HP:正弦定理.【分析】(I)根據(jù)余弦定理與三角形的面積公式,化簡(jiǎn)題干中的等式解出sinC=cosC,然后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系得到,從而可得角C的大?。唬↖I)根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與正弦定理,化簡(jiǎn)得到,從而得出A=,由三角形內(nèi)角和定理算出B=.再由,利用向量數(shù)量積公式建立關(guān)于邊c的等式,解之即可得到邊c的值.【解答】解:(Ⅰ)∵根據(jù)余弦定理得a2+b2﹣c2=2abcosC,△ABC的面積,∴由得,化簡(jiǎn)得sinC=cosC,可得,∵0<C<π,∴;(Ⅱ)∵,∴=,可得,即.∴由正弦定理得,解得,結(jié)合0<A<π,得A=.∵△ABC中,,∴B=π﹣(A+C)=,因此,=﹣||?||cosB=﹣c2∵,∴﹣c2=﹣8,解之得c=4(舍負(fù)).19.已知以點(diǎn)為圓心的圓C被直線:截得的弦長(zhǎng)為.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求過(guò)與圓C相切的直線方程;(3)若Q是x軸的動(dòng)點(diǎn),QR,QS分別切圓C于R,S兩點(diǎn).試問(wèn):直線RS是否恒過(guò)定點(diǎn)?若是,求出恒過(guò)點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.參考答案:(1);(2)或;(3)見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)圓心到直線的距離,半弦長(zhǎng)、半徑、構(gòu)成直角三角形,求解即可;(2)利用圓心到直線的距離等于等于半徑求解(3)由題意,則,在以為直徑的圓上,設(shè),寫出圓的方程,與已知圓聯(lián)立,得到含參的直線方程,確定是否過(guò)定點(diǎn).【詳解】(1)圓心到直線的距離為,設(shè)圓的半徑為,則,圓為.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為,即,圓心到直線的距離為,解得或,所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為或;(3)由題意,則,在以為直徑圓上,設(shè),則以為直徑的圓的方程:.即,與圓:,聯(lián)立得:,令得,,故無(wú)論取何值時(shí),直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程,圓的幾何性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,屬于中檔題.20.已知函數(shù)f(x)=x2+mx+n(m,n∈R),f(0)=f(1),且方程f(x)=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)當(dāng)x∈(0,2)時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.參考答案:【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).【分析】(1)求出對(duì)稱軸,得到m,利用方程的根的關(guān)系,qcn,即可得到函數(shù)的解析式.(2)通過(guò)配方,利用二次函數(shù)的性質(zhì),求解函數(shù)的值域即可.【解答】解:(Ⅰ)由f(0)=f(1),可知函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線,所以,解得m=﹣1,所以f(x)=x2﹣x+n.因?yàn)榉匠蘤(x)=x即x2﹣2x+n=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以其根的判別式△=(﹣2)2﹣4n=0,解得n=1.所以f(x)=x2﹣x+1.…(Ⅱ)因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,且f(x)<f(2)=3.所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1.如圖,=(6,1),,且。
(1)求x與y間的關(guān)系;(2)若,求x與y的值及四邊形ABCD的面積。
參考答案:(1)∵,
∴由,得x(y-2)=y(4+x),x+2y=0.
(2)由=(6+x,1+y),。
∵,∴(6+x)(x-2)+(1+
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