高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量 向量在物理中的應(yīng)用舉例

2.5.一、教學(xué)目標重點:利用向量方法解決與物理相關(guān)的實際問題.難點：選擇適當?shù)奈锢眍}和恰當?shù)姆椒ā⒁韵蛄繛橹黝}的數(shù)學(xué)模型，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．知識點：如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即如何將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型；如何通過建立的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.能力點：使學(xué)生學(xué)會運用向量的有關(guān)知識對物理中力的作用進行相關(guān)分析和計算，并在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生探究問題和解決問題的能力.教育點：通過用向量知識解決物理和生活中的實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和應(yīng)用意識，體會向量的工具作用.自主探究點：物理問題如何利用向量的方法解決.考試點：用向量解決相關(guān)的物理問題.拓展點：用向量解決物理問題的具體方法與步驟.二、引入新課（一）問題導(dǎo)入：向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的數(shù)量積，從而使得向量與物理學(xué)建立了有機的內(nèi)在聯(lián)系，物理中具有矢量意義的問題也可以轉(zhuǎn)化為向量問題來解決.因此，在實際問題中，如何運用向量方法分析和解決物理問題，又是一個值得探討的課題.（二）情境展示：1．兩個人提一重物怎樣提最省力？兩臂的夾角越大越費力，兩臂的夾角越小越省力2．一個人靜止地垂掛在單桿上，手臂的拉力與手臂握桿的姿勢有什么關(guān)系？兩臂的夾角越大越費力，兩臂的夾角越小越省力3.如何從數(shù)學(xué)的角度解釋這些現(xiàn)象？力的合成——向量加法——平行四邊形法則【師生活動】老師：提出問題，讓學(xué)生學(xué)會歸納整理數(shù)學(xué)知識，為探究向量在物理中的應(yīng)用做好準備.學(xué)生：獨立思考完成，討論展示并分析自己的結(jié)果．老師：引導(dǎo)學(xué)生分析歸納，總結(jié)概括得出結(jié)論.【設(shè)計意圖】本引例通過學(xué)生經(jīng)歷問題的提出與問題的解決過程，為下一步使學(xué)生明確向量在物理中如何應(yīng)用做鋪墊.三、探究新知（一）如何建立數(shù)學(xué)模型求解物理問題?我們研究向量在物理學(xué)的應(yīng)用時，用的是數(shù)學(xué)模型方法，就是把物理問題用數(shù)學(xué)語言加以抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映物理問題，得出關(guān)于物理問題的數(shù)學(xué)關(guān)系式，從而建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，它能清晰地反映相關(guān)物理量之間的數(shù)量關(guān)系.這些關(guān)于物理問題的數(shù)學(xué)模型，可以是幾何圖形、方程式、函數(shù)解析式等等.再從數(shù)學(xué)角度對數(shù)學(xué)模型進行推理演算，得出物理問題的解答.這些基本步驟用框圖表示如下:（二）向量解決物理問題的一般步驟:(1)問題的轉(zhuǎn)化：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)參數(shù)的獲得：求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態(tài)，解決相關(guān)物理現(xiàn)象.【師生活動】分組討論問題一和問題二，由學(xué)生選出小組代表闡述各自小組的結(jié)論，師生共同評析歸納．【設(shè)計意圖】通過學(xué)生分組討論、合作交流的方式解決實際問題的過程，可以加深理解學(xué)生們對于應(yīng)用向量的方法解決物理問題的理解與認識.四、理解新知通過對兩個引例中的問題的探究，使學(xué)生了解物理與向量的密切關(guān)系.同時，應(yīng)用向量知識解決力學(xué)問題，首先要對物體進行正確的受力分析，畫出受力分析圖像，在此基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為向量問題.應(yīng)用向量知識解決速度問題，首先要對物體運動的速度進行合理的合成與分解，結(jié)合運動學(xué)原理，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.五、運用新知例1在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析:這個日常生活問題可以抽象為如圖所示的數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則，力的平衡及解直角三角形等知識來思考探究這個數(shù)學(xué)問題.這樣物理中力的現(xiàn)象就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問題.只要分析清楚F、G、θ三者之間的關(guān)系(其中F為F1、F2的合力)，就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋.解：不妨設(shè)|F1|=|F2|，由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道通過上面的式子，我們發(fā)現(xiàn):當θ由0°到180°逐漸變大時，由0°到90°逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此|F1|由小逐漸變大，即F1，F(xiàn)2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力.探究一：（1）θ為何值時，|F1|最小，最小值是多少？當θ=0o時，最大，|F1|最小且等于（2）|F1|能等于|G|嗎？為什么？當=，即θ=120o時，|F1|=|G|探究二：生活中常遇到兩根等長的繩子掛一個物體，繩子的最大拉力為|F1|，物體重量為|G|.（1）繩子受到的拉力大小F1與兩繩子間的夾角θ的關(guān)系？(2)如果繩子的最大承受力為|F1|=200N，|G|=200N，θ在什么范圍內(nèi)，繩子才不會斷？【師生活動】學(xué)生畫受力分析圖，分析數(shù)據(jù)，進而解釋物理現(xiàn)象.教師讓學(xué)生發(fā)表自己的探索過程、結(jié)果，然后加以點評，引導(dǎo)學(xué)生進一步的探究.點評:本例是日常生活中經(jīng)常遇到的問題，學(xué)生也會有兩人共提一個旅行包以及在單杠上做引體向上運動的經(jīng)驗.本例的關(guān)鍵是作出簡單的受力分析圖，啟發(fā)學(xué)生將物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成模型，從數(shù)學(xué)角度進行解釋，這就是本例活動中所完成的事情.教學(xué)中要充分利用好這個模型，為解決其他物理問題打下基礎(chǔ).得到模型后就可以發(fā)現(xiàn)，這是一個很簡單的向量問題，這也是向量工具優(yōu)越性的具體體現(xiàn).總結(jié)：用向量解決物理問題的一般步驟是：問題的轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；模型的建立,即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；參數(shù)的獲得,即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值；問題的答案,即回到問題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.變式訓(xùn)練：1.一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2km/h，則經(jīng)過小時，該船實際航程為()A.kmB.6kmC.kmD.8km答案：B2．某人向正東方向走km后，他向右轉(zhuǎn)，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離開出發(fā)點恰好是，則＝________答案：總結(jié)：物理學(xué)中的許多量，例如力、位移、速度、加速度等，也是既有大小又有方向的量，可以用向量這一數(shù)學(xué)工具來解決，我們常用數(shù)學(xué)模型方法對物理問題加以分析探究.例2一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從A處出發(fā)到河的正對岸B處，船航行的速度|v1|=10km/h，水流速度|v2|=4km/h，那么v1與v2的夾角θ(精確到1°)多大時，船才能垂直到達對岸B處？船行駛多少時間(精確到？分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于河對岸的方向行駛就可以了，但由于水流的作用，船要被水沖向下游，因此要使船垂直到達對岸，就要使v1與v2的合速度的方向正好垂直于河岸方向.解：所以答：行駛航程最短時，所用時間是.探究：若行駛時間最短時，所用的時間是多少？解：使小船垂直于河岸方向行駛（小船自身的速度,方向指向河對岸)，小船過河所用時間才最短，所用的時間是3min.點評：用數(shù)學(xué)知識解決物理問題，首先要把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，然后再通過這個數(shù)學(xué)模型的研究解釋相關(guān)物理現(xiàn)象.變式訓(xùn)練1.一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，而該船實際航行的方向與水流方向成30°角，求水流速度與船的實際速度.解：如圖所示，設(shè)表示水流速度，表示船垂直于對岸的速度，表示船的實際速度，∠AOC=30°，||=5km/h.因為OACB為矩形，所以||=km/h，||===10km/h.答：水流速度為km/h，船的實際速度為10km/h.總結(jié)：研究向量在物理學(xué)的應(yīng)用時，用的是數(shù)學(xué)模型方法，就是把物理問題用數(shù)學(xué)語言加以抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映物理問題，得出關(guān)于物理問題的數(shù)學(xué)關(guān)系式，從而建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，它能清晰地反映相關(guān)物理量之間的數(shù)量關(guān)系.這些關(guān)于物理問題的數(shù)學(xué)模型，可以是幾何圖形，方程式,函數(shù)解析式等等.再從數(shù)學(xué)角度對數(shù)學(xué)模型進行推理演算，得出物理問題的解答.六、課堂小結(jié)(一)本節(jié)課的知識:用向量知識研究物理中的相關(guān)問題的“四環(huán)節(jié)”：1.把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；2.建立以向量為主題的數(shù)學(xué)模型；3.求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解------理論參數(shù)值；4.回到問題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.(二)本節(jié)課用到的思想方法:1.轉(zhuǎn)化與化歸思想；2.數(shù)形結(jié)合的思想.(三)解題中要注意的問題：1.對于某些問題應(yīng)選取適合的數(shù)學(xué)模型進行求解計算；2.向量相關(guān)公式的應(yīng)用要靈活．七、布置作業(yè)（一）書面作業(yè)——必做題:1．課后習(xí)題2.5A組第3題答案：（1）；（2）在方向上的投影為．2．課后習(xí)題2.5A答案：設(shè)，的合力為，與的夾角為，則，；，與的夾角為150°．書面作業(yè)——選做題:1．課后習(xí)題B組第2題答案：設(shè)與的夾角為，合速度為，與的夾角為，行駛距離為.則，.∴.所以當，即船垂直于對岸行駛時所用時間最短.2．課后習(xí)題B組第3題答案：（1）設(shè)，則，將繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到，相當于沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到，于是所以，解得．（2）設(shè)曲線上任一點的坐標為，繞逆時針旋轉(zhuǎn)后，點的坐標為則，即又因為，所以，化簡得．【設(shè)計意圖】進一步加強學(xué)生利用向量解決相關(guān)物理問題的能力.八、教后反思1.本節(jié)課教學(xué)目標明確，重點、難點突出，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時能夠有的放矢，思路清晰；2.探究材料特點突出，能夠緊扣本節(jié)課的知識大綱，“組內(nèi)合作，組間交流”的模式高效的利用了課堂的有限時間，并且突出了學(xué)生的主體地位；3.例題的處理采用老師以問題引導(dǎo)，學(xué)生思考、探究、動手操作的形式完成的.問題的設(shè)計具有較強的目的性，能夠正確引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)；4.師生共同總結(jié)出建模的思路、方法，并通過練習(xí)及時進行鞏固，讓學(xué)生經(jīng)歷了“典型例題—總結(jié)規(guī)律方法—應(yīng)用規(guī)律解決問題”這樣一個過程；