2019年全國(guó)2卷文數(shù)試題

絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)本試卷共 5頁(yè)。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用 2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用 0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)， 字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共 12小題，每小題 5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合 A={x|x 1}，B {x|x 2}，則A∩B=A．(–1，+∞) B．(–∞，2)C．(–1，2) D．2．設(shè)z=i(2+i)，則z=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i3．已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，則|a–b|=A． 2 B．2C．5 2 D．504．生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為23A．B．3521C．D．555．在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙6．設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng) x≥0時(shí)，f(x)=ex 1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=A．ex 1 B．ex 1C． ex 1 D． ex 17．設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則 α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與 β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與 β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面8．若x1= ，x2= 是函數(shù)f(x)=sin x( >0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則 =4 4A．23B．2C．1D．129．若拋物線2x2y2y=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=3ppA．2B．3C．4D．810．曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π，–1)處的切線方程為A．xy10B．2xy210C．2xy210D．xy1011．已知a∈（0，π），2sin2α=cos2α+1，則sinα=2A．1B．555C．3D．253512．設(shè)F為雙曲線C：x2y2221（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與ab圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A．2B．3C．2D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．2x3y6，013．若變量x，y滿(mǎn)足約束條件xy3，則z=3x–y的最大值是___________.0y2，014．我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中，有 10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為 0.97，有20個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為 0.98，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為 0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)所有車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為_(kāi)__________.15．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為 a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.16．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是 “半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體 .半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美． 圖2是一個(gè)棱數(shù)為 48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為 1．則該半正多面體共有 ________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為 _________．（本題第一空 2分，第二空 3分．）三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第 17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答 ．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答 ．（一）必考題：共 60分。17．（12分）如圖，長(zhǎng)方體 ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn) E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐 E BB1C1C的體積．18．（12分）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列， a1 2,a3 2a2 16.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.19．（12分）某行業(yè)主管部門(mén)為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了 100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率 y的頻數(shù)分布表.y的分組[0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計(jì)這類(lèi)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于 40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例；（2）求這類(lèi)企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 （同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表） .（精確到 0.01）附： 74 8.602.20．（12分）已知F1,F2是橢圓C:x2y21(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．a(chǎn)2b2（1）若△POF2為等邊三角形，求 C的離心率；（2)如果存在點(diǎn) P，使得PF1 PF2，且△F1PF2的面積等于 16，求b的值和a的取值范圍.21.（12分）已知函數(shù) f(x) (x 1)lnx x 1.證明：（1）f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；（2）f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù) .（二）選考題：共 10分．請(qǐng)考生在第 22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 ．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ]（10分）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M( 0,0)(0 0)在曲線C: 4sin 上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為 P.（1）當(dāng) 0= 時(shí)，求 0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；3（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求 P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程 .23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知f(x) |x a|x |x 2|(x a).（1）當(dāng)a 1時(shí)，求不等式 f(x) 0的解集；（2）若x ( ,1)時(shí)，f(x) 0，求a的取值范圍.1．C2．D3．A4．B5．A6．D7．B8．A9．D10．C11．B12．A13．914．0.9815．3π2116．417．解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BE EC1，所以BE⊥平面EB1C1.（2）由（1）知∠BEB1=90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以AEBA1EB145，故AE=AB=3，AA12AE6.作EFBB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C，且EFAB3.1所以，四棱錐 E BB1C1C的體積V 3 6 3 18.318．解：（1）設(shè) an的公比為q，由題設(shè)得2q2 4q 16，即q2 2q 8 0.解得q 2（舍去）或q=4.因此 an的通項(xiàng)公式為an24n122n1.（2）由（1）得bn(2n1)log222n1，因此數(shù)列n的前n項(xiàng)和為132n1n.b19.解：（1）根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的 100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于 40%的企業(yè)頻率為14 70.21.1002產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為 0.02.100用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類(lèi)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于 40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為2%.（2）y 1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30，100s215niyiy2100i11 2 2 2 2 2(0.40) 2 (0.20) 24 0 53 0.20 14 0.40 7=0.0296，s0.02960.02740.17，所以，這類(lèi)企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為30%，17%.20.解：（1）連結(jié)PF1，由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，F(xiàn)1PF290，PF2c，PF13c，于是2aPF1PF2(31)c，故C的離心率是c31.ea（2）由題意可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P(x,y)存在當(dāng)且僅當(dāng)1，yy1，x2y21，2|y|2c16xcxca2b2即c|y|16，①x2 y2 c2，②x2y21，③a2b2由②③及a2b22得y2b4，又由①知y2162，故b4.cc2c2由②③得x2a2c2b2，所以c2b2，從而a2b2c22b232,故a42.c2當(dāng)b4，a42時(shí)，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P.所以b4，a的取值范圍為[42,).21.解：（1）f(x)的定義域?yàn)椋?，+）.f(x)x1lnx1lnx1.xx因?yàn)閥lnx單調(diào)遞增，1f(x)單調(diào)遞增，又f(1)10，y單調(diào)遞減，所以xf(2)1ln41，故存在唯一x0(1,2)，使得fx00.ln2202又當(dāng)xx0時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xx0時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.因此， f(x)存在唯一的極值點(diǎn) .（2）由（1）知f x0 f(1) 2，又f e2 e2 3 0，所以f(x) 0在x0, 內(nèi)存在唯一根.由x01得11x0.又f 1 1 1ln1 1 1 f( ) 0，故1是f(x) 0在0,x0 的唯一根.綜上， f(x) 0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù) .22．解：（1）因?yàn)镸0,0在C上，當(dāng)0時(shí)，04sin23.33由已知得|OP||OA|cos2.3設(shè)Q( , )為l上除P的任意一點(diǎn).在Rt△OPQ中 cos |OP| 2，3經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn) P(2,)在曲線cos 2上.3 3所以，l的極坐標(biāo)方程為cos2.3（2）設(shè)P( , )，在Rt△OAP中，|OP||OA|cos 4cos ,即 4cos ..因?yàn)镻在線段OM上，且AP OM，故 的取值范