第三章平面一般力系

平面一般力系教師：袁方強(qiáng)甘肅民族師范學(xué)院3-6物體系統(tǒng)的平衡、靜定與超靜定問(wèn)題當(dāng)物體系統(tǒng)平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部的每部分物體也處于平衡。因此，在解決物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題是，既可以選整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，也可以選其中某部分物體為研究對(duì)象，然后列出相應(yīng)的平衡方程。外界物體對(duì)所選研究對(duì)象的作用力叫做外力，而該研究對(duì)象內(nèi)部各物體間的相互作用力叫做內(nèi)力。由于內(nèi)力必成對(duì)存在，且每對(duì)內(nèi)力中的兩個(gè)力均等值、共線、反向，并同時(shí)作用于所研究的對(duì)象上，故每對(duì)內(nèi)力均應(yīng)自相抵消。于是，內(nèi)力不應(yīng)出現(xiàn)在受力圖和平衡方程中。內(nèi)力和外力是相對(duì)于所選研究對(duì)象而言的。[例3-8]如圖3-23a所示三腳鋼架，其頂部受沿水平方向均勻分布的鉛錘荷載的作用，荷載集度q=8kN/m.已知，l=12m，h=6m，f=2m，求支座A、B的約束反力。鋼架的自重不計(jì)。圖b為整體受力圖，平衡方程為：考慮整體，X軸方向合力為0。F1F2FAxFBxFAyFBy左右兩端，結(jié)構(gòu)、主動(dòng)力完全對(duì)稱，所以約束反力也應(yīng)對(duì)稱，既左右兩端結(jié)構(gòu)、受力完全對(duì)稱。FAxFBxFAyFBy因?yàn)?，左右兩端受力情況完全對(duì)稱，所以：（1）（2）[例3-9]水平梁由AC、CD兩部分組成，C處用鉸鏈相連接，A處是固定端支座，B處是可動(dòng)支座。荷載及幾何尺寸如圖所示。已知，G=1kN，F(xiàn)=2kN，q1=0.6kN/m，q2=0.5kN/m，a=1m，試求A、B處的約束反力。梁重不計(jì)。[例3-10]如圖所示曲軸沖床見(jiàn)圖，由輪I、連桿AB和沖頭B組成。A、B兩處為鉸鏈連接。OA=r，AB=l。如忽略摩擦和物體自重，當(dāng)OA在鉛錘位置、沖壓力為F時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。求作用在輪I上的力偶之矩M的大小，軸承O處的約束反力，鏈桿所受的力及沖頭B對(duì)導(dǎo)軌的測(cè)壓力。當(dāng)未知量的書(shū)目不多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目時(shí)，全部未知量均可由平衡方程求出，這樣的問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。反之，若未知量的數(shù)目多于平衡方程的書(shū)目，則由平衡方程就解不出全部未知量來(lái)，這樣的平衡問(wèn)題稱為超靜定（靜不定）問(wèn)題。超靜定問(wèn)題的特點(diǎn)是具有“多余的”約束，所以未知量的數(shù)目多于平衡方程數(shù)。由于在超靜定結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)了多余的約束，因此可以減小結(jié)構(gòu)的變形，或者說(shuō)增加了結(jié)構(gòu)的剛度和堅(jiān)固性，從而能更經(jīng)濟(jì)、合力地使用原材料一節(jié)約物理和財(cái)力，并且有時(shí)還能使結(jié)構(gòu)物的外形較為美觀。3-7滑動(dòng)摩擦由物塊的平衡可知，靜摩擦力Ff與拉力FT等值。當(dāng)FT的值增大時(shí)，F(xiàn)f的值也隨之增大。當(dāng)拉力FT的值增大到某一限度時(shí)，物塊處于由靜到動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)，此后如繼續(xù)增大FT的值，物塊就將向右滑動(dòng)。這說(shuō)明物塊處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，它所受到的靜摩擦力Ff已達(dá)到其可能有的最大值Ff,max，這時(shí)的靜摩擦力Ff,max，稱為最大靜摩擦力。一、靜摩擦定律由此可見(jiàn)，靜摩擦力之值存在于一個(gè)明確的范圍內(nèi)，即最大靜摩擦力Ff,max的大小與接觸面上法向反力FN的大小成正比，即比例系數(shù)fs稱為靜（滑動(dòng)）摩擦因數(shù)，簡(jiǎn)稱靜摩擦因數(shù)，它與兩接觸物體的構(gòu)成材料、接觸面的粗糙程度、溫度和濕度等因數(shù)有關(guān)，且一般與接觸面積的大小無(wú)關(guān)。二、滑動(dòng)摩擦力和動(dòng)摩擦定律當(dāng)相互接觸的兩個(gè)物體之間有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，它們所受到的摩擦力稱為滑動(dòng)摩擦力。實(shí)驗(yàn)表明，動(dòng)摩擦力Ff’的大小與接觸面上的法向反力成正比，故有：（動(dòng)摩擦定律）比例系數(shù)f稱為動(dòng)摩擦因數(shù)，它除與兩接觸物體的構(gòu)成材料和接觸面的粗糙程度、溫度和濕度等因素有關(guān)外，通常還隨著物體相對(duì)滑動(dòng)速度的增大而略有減小。但當(dāng)速度變化不大時(shí)，一般可將它作為常數(shù)，其值由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。實(shí)驗(yàn)表明，動(dòng)摩擦因數(shù)f的值略小于靜摩擦因數(shù)fs的值，即f<fs。所以，要使物體在支撐面上由靜止開(kāi)始滑動(dòng)比較費(fèi)力，而一旦滑動(dòng)后要使它保持勻速滑動(dòng)則較省力。三、摩擦角和自鎖現(xiàn)象物體所受來(lái)自支承面的法向反力FN和摩擦力Ff都屬于支承面對(duì)物體的約束全反力。在圖3-30a中，如垂直于支承面的主動(dòng)力G不變，則在物體開(kāi)始滑動(dòng)前，摩擦力Ff以及全反力FR與支承面法線間的夾角φ均隨平行于支承面的主動(dòng)力Fl的增大而增大。設(shè)力F1增大到F2時(shí)，物體處于臨界平衡狀態(tài)，則這時(shí)的摩擦力為Ff,max；同時(shí)，角φ達(dá)到其最大值φm，φm稱為摩擦角。摩擦角就是當(dāng)摩擦力達(dá)到最大值是，約束反力與支承面法線間的夾角。摩擦角的值與Ff,max的值相對(duì)應(yīng)，因而也與靜摩因數(shù)fs有關(guān)。由圖b可知：即摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)。這種只需要主動(dòng)力的合力作用線在摩擦角的范圍內(nèi)，物體依靠摩擦總能靜止而與主動(dòng)力大小無(wú)關(guān)的現(xiàn)象稱為自鎖。若主動(dòng)力的合力Fra的作用線與支承面法線間的夾角θ小于摩擦角φm，即θ<φm，則無(wú)論主動(dòng)力Fra多大，只要支承面不被壓壞，它總可為全反力所平衡，因而物體將靜止不動(dòng)。四、考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題與不計(jì)摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題的共同之處在于：它們都是平衡問(wèn)題，因而作用在物體上的力系都滿足力系的平衡條件。但是，它們也有不同之處，即在考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題，除約束反力應(yīng)包含摩擦力之外，還須注意摩擦力的大小是可以在一定范圍內(nèi)變化的。摩擦力是未知力，一般地講，其值應(yīng)由主動(dòng)力并根據(jù)平衡條件確定。但當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，摩擦力應(yīng)達(dá)到其最大值fsFN。至于摩擦力的方向，則恒與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，通常不能任意假設(shè)。由于摩擦力的大小可在一定范圍內(nèi)變化，所以這類平衡問(wèn)題的解答不是一個(gè)確定的值，而是用不等式所表示的一個(gè)范圍，這稱為平衡范圍。[例3-11]將重量為G的物塊放在斜面上，如圖3-33a所示。已知物塊與斜面間的靜摩擦因數(shù)fs，且斜面傾角α大于摩擦角φm。試求維持物塊在斜面上靜止所需水平力F的大小。以物塊為研究對(duì)象。因?yàn)棣?gt;φm，故由圖可見(jiàn)，如無(wú)水平力F，則物塊不能維持平衡而將沿斜面下滑。今以水平力F作用于物塊而使其處于平衡，則力F所可能有的最小值對(duì)應(yīng)于使物體處于下滑的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，摩擦力應(yīng)沿斜面向上，且其值為Ff,max。建立坐標(biāo)系，由平衡條件有又由摩擦定律得（1）（2）（3）由式(1)、(2)與(3)得：由此也可以看出，如果α≤?m，則Fmin≤0，即說(shuō)明物塊在斜面上不需水平力F亦能維持平衡，此即為物塊在有摩擦的斜面上不下滑的條件。它與物塊的重力無(wú)關(guān)，這就是自鎖現(xiàn)象。如水平力F的值過(guò)大，則物塊也不能平衡而將沿斜面上滑。為使物塊保持平衡所可能有的最大水平力Fmax對(duì)應(yīng)于物體處于上滑的臨界平衡狀態(tài)，這時(shí)，摩擦力也達(dá)到其最大值Ff,max，但沿斜面向下。在此下滑的臨界平衡狀態(tài)時(shí)物塊的受力如圖3-33c所示。根據(jù)平衡條件，有又由摩擦定律有所以[例3-12]如圖所示為起重裝置的制動(dòng)器，已知重物的重量為G，制動(dòng)塊鼓輪間的靜摩擦因數(shù)為fs，各部分尺寸如圖所示。問(wèn)在手柄上作用的力F至少應(yīng)為多大才能保持鼓輪靜止？鼓輪靜止時(shí)，力矩也應(yīng)為零：根據(jù)手柄的平衡，有考慮到FN=FN’，即可求出所需的力F的最小值，即[例3-13]梯子AB