回歸分析新建MicrosoftPowerPoint演示文稿(2)講訴

1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用1．通過對(duì)典型案例的探究，了解回歸分析的基本思想、方法及其初步應(yīng)用．2．會(huì)求回歸直線方程，并用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào).1．線性回歸模型及隨機(jī)誤差e的來源．(重點(diǎn))2．殘差及殘差分析的方法．(難點(diǎn))什么是回歸分析：“回歸”一詞是由英國生物學(xué)家F.Galton在研究人體身高的遺傳問題時(shí)首先提出的。

根據(jù)遺傳學(xué)的觀點(diǎn)，子輩的身高受父輩影響，以X記父輩身高，Y記子輩身高。雖然子輩身高一般受父輩影響，但同樣身高的父親，其子身高并不一致，因此，X和Y之間存在一種相關(guān)關(guān)系。

一般而言，父輩身高者，其子輩身高也高，依此推論，祖祖輩輩遺傳下來，身高必然向兩極分化，而事實(shí)上并非如此，顯然有一種力量將身高拉向中心，即子輩的身高有向中心回歸的特點(diǎn)。“回歸”一詞即源于此。雖然這種向中心回歸的現(xiàn)象只是特定領(lǐng)域里的結(jié)論，并不具有普遍性，但從它所描述的關(guān)于X為自變量，Y為不確定的因變量這種變量間的關(guān)系看，和我們現(xiàn)在的回歸含義是相同的。

不過，現(xiàn)代回歸分析雖然沿用了“回歸”一詞，但內(nèi)容已有很大變化，它是一種應(yīng)用于許多領(lǐng)域的廣泛的分析研究方法，在經(jīng)濟(jì)理論研究和實(shí)證研究中也發(fā)揮著重要作用。回歸分析的內(nèi)容與步驟：統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)通過后，最后是利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計(jì)、預(yù)測因變量。

回歸分析通過一個(gè)變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。

其主要內(nèi)容和步驟是，首先根據(jù)理論和對(duì)問題的分析判斷，將變量分為自變量和因變量；其次，設(shè)法找出合適的數(shù)學(xué)方程式（即回歸模型）描述變量間的關(guān)系；由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要對(duì)回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；問題1：正方形的面積y與正方形的邊長x之間的函數(shù)關(guān)系是y=x2確定性關(guān)系問題2：某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間是否-------有一個(gè)確定性的關(guān)系？例如：在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得到如下所示的一組數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455回顧變量之間的兩種關(guān)系自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。1、定義：1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；注對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。2）：2、現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。

如：人的身高與年齡；產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量；商品的銷售額與廣告費(fèi)；家庭的支出與收入。等等探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？1020304050500450400350300·······發(fā)現(xiàn)：圖中各點(diǎn)，大致分布在某條直線附近。探索2：在這些點(diǎn)附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關(guān)系呢？xy施化肥量水稻產(chǎn)量施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455散點(diǎn)圖1020304050500450400350300·······xy施化肥量水稻產(chǎn)量怎樣求回歸直線？最小二乘法：稱為樣本點(diǎn)的中心。（3）對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行的線性分析叫做線性回歸分析。2、回歸直線方程：（2）相應(yīng)的直線叫做回歸直線。（1）所求直線方程叫做回歸直線方程；其中（注意回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心）[例1]某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)成績(x)8876736663物理成績(y)7865716461(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求物理成績y對(duì)數(shù)學(xué)成績x的線性回歸方程；(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是96，試預(yù)測他的物理成績．[思路點(diǎn)撥]先利用散點(diǎn)圖分析物理成績與數(shù)學(xué)成績是否線性相關(guān)，若相關(guān)再利用線性回歸模型求解．[精解詳析](1)散點(diǎn)圖如圖．(3)x＝96，則y＝0.625×96＋22.05≈82，即可以預(yù)測他的物理成績是82.[一點(diǎn)通]求回歸直線方程的基本步驟：例1假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所有支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：x23456Y2.23.85.56.57.0若由此資料所知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：回歸直線方程估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？解題步驟：作散點(diǎn)圖2.把數(shù)據(jù)列表，計(jì)算相應(yīng)的值，求出回歸系數(shù)3.寫出回歸方程,并按要求進(jìn)行預(yù)測說明。例2（2007年廣東）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)。X3456y2.5344.5請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的性回歸方程(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考數(shù)值：）小結(jié)：求回歸直線方程的步驟（2）所求直線方程叫做回歸直線方程；其中（1）作散點(diǎn)圖，通過圖看出樣本點(diǎn)是否呈條狀分布，進(jìn)而判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系。（3）根據(jù)回歸方程，并按要求進(jìn)行預(yù)測說明。1．(2011·遼寧高考)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的線性回歸方程：y＝0.254x＋0.321.由線性回歸方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元．解析：以x＋1代x，得y＝0.254(x＋1)＋0.321，與y＝0.254x＋0.321相減可得，年飲食支出平均增加0.254萬元．答案：0.2542．(2011·江西高考)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下：

父親身高x(cm)174176176176178兒子身高y(cm)175175176177177答案：C3．某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得尿汞含量(毫克/升)與消光系數(shù)如下表：汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360(1)作散點(diǎn)圖；(2)如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程．解：(1)散點(diǎn)圖如圖．通過例題我們知道了，任何數(shù)據(jù)，不管它們的線性相關(guān)關(guān)系如何，都可以求出線性回歸方程，為使方程有意義，在求回歸方程之前先要對(duì)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系作一個(gè)判斷，通常做散點(diǎn)圖.但在某些情況下，從散點(diǎn)圖中不容易判斷變量之間的線性關(guān)系，或者數(shù)據(jù)量大時(shí)，我們無法畫出散點(diǎn)圖，那么此時(shí)我們有沒有其他的方法來刻畫變量之間的線性相關(guān)關(guān)系呢？？這時(shí)我們可以計(jì)算兩個(gè)隨機(jī)變量間的線性相關(guān)系數(shù)來判斷它們之間的線性相關(guān)程度的大小.新課講授二、相關(guān)系數(shù)假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為則變量間線性相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：

線性相關(guān)系數(shù)r及性質(zhì)：值越大，變量的線性相關(guān)程度就越高；值越接近于0，線性相關(guān)程度就越低。，其中。當(dāng)時(shí)，兩變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)時(shí)，兩變量線性不相關(guān)。第一章統(tǒng)計(jì)案例1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（第二課時(shí)）例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。思考P3產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？思考P4產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？隨機(jī)誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；3、身高y的觀測誤差。探究P4：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重在60.316kg左右。函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：對(duì)回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表1-4列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：然后，我們可以通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。殘差圖的制作及作用。坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)模型問題

幾點(diǎn)說明：第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是另外，反映回歸直線的擬合程度取值范圍在[0,1]之間

R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2＝(R)2我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率。R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。總的來說：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是1354總計(jì)0.36128.361殘差變量0.64225.639解釋變量比例平方和來源表1-3從表3-1中可以看出，解析變量對(duì)總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%，即R20.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%。所以，身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；3、樣本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值?！@些問題也使用于其他問題。涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：模型適用的總體；模型的時(shí)間性；樣本的取值范圍對(duì)模型的影響；模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。小結(jié)：一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對(duì)象，