第8章相關(guān)與回歸

第八章

相關(guān)分析與回歸分析

本章重點(diǎn)與難點(diǎn)（１）相關(guān)分析的意義、作用和種類；（２）相關(guān)關(guān)系的判斷及相關(guān)系數(shù)的計(jì)算；（３）回歸分析與一元線性回歸。這是本章重點(diǎn)中的重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)；

（４）相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。第一節(jié)相關(guān)分析的一般問題

一、相關(guān)關(guān)系的概念

(一)函數(shù)關(guān)系

它反映著現(xiàn)象之間存在著嚴(yán)格的數(shù)量依存關(guān)系，也就是具有確定性的對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系可用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式反映出來。

例y=f(x)

一般來說，現(xiàn)象之間的相互關(guān)系可以分為兩種，一種是函數(shù)關(guān)系，一種是相關(guān)關(guān)系。

(二)相關(guān)關(guān)系

相關(guān)關(guān)系是兩個(gè)現(xiàn)象之間確實(shí)存在的、而關(guān)系數(shù)值不確定的相互依存關(guān)系。理解這一概念須把握兩個(gè)要點(diǎn)：1.現(xiàn)象之間確實(shí)存在著數(shù)量上的依存關(guān)系，即某一社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變化要引起另一社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化；2.現(xiàn)象之間的這種依存關(guān)系的數(shù)值是不嚴(yán)格的。可用數(shù)學(xué)公式表示為:

y=f(x)+ε

其中，ε為隨機(jī)變量商品價(jià)格和商品銷售量之間，存在著一定的依存關(guān)系，即商品價(jià)格發(fā)生變動，商品的銷售量也會隨之發(fā)生變動。但二者在數(shù)量上的變動影響又是不嚴(yán)格的。例(三)函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：（1）相關(guān)關(guān)系現(xiàn)象中變量關(guān)系完全對等；函數(shù)關(guān)系現(xiàn)象中變量關(guān)系不是對等的。（2）相關(guān)關(guān)系是統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究范疇，函數(shù)關(guān)系是數(shù)學(xué)的研究范疇。2.聯(lián)系：（1）函數(shù)關(guān)系往往通過相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來。（2）相關(guān)關(guān)系通?？梢杂靡欢ǖ暮瘮?shù)關(guān)系表達(dá)式去近似地描述。二、相關(guān)關(guān)系的種類

現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系是復(fù)雜的，它們各以不同的方向、不同的程度相互作用著，并表現(xiàn)出不同的類型和形態(tài)。1.按涉及因素的多少來分，可分為：

在實(shí)際工作中，如存在多個(gè)自變量，可抓住其中主要的自變量，研究其相關(guān)關(guān)系，而保持另一些因素不變，這時(shí)復(fù)相關(guān)可轉(zhuǎn)化為單相關(guān)。單相關(guān)：兩個(gè)因素之間的相關(guān)關(guān)系，即只涉及一個(gè)自變量和一個(gè)因變量。復(fù)相關(guān)：三個(gè)或三個(gè)以上因素之間的相關(guān)關(guān)系，即涉及二個(gè)或二個(gè)以上的自變量和因變量。２.按相關(guān)的表現(xiàn)形式，可分為：線性相關(guān)是指兩個(gè)相關(guān)現(xiàn)象之間，當(dāng)自變量X的數(shù)值發(fā)生變動時(shí)，因變量y隨之發(fā)生近似于固定比例的變動，在相關(guān)圖上的散點(diǎn)近似地表現(xiàn)為直線形式，稱其為直線相關(guān)關(guān)系。非線性相關(guān)是指兩個(gè)相關(guān)現(xiàn)象之間，當(dāng)自變量X的數(shù)值發(fā)生變動時(shí)，因變量y也隨之發(fā)生變動，但這種變動在數(shù)值上不成固定比例，在相關(guān)圖上的散點(diǎn)可表現(xiàn)為拋物線、指數(shù)曲線、雙曲線等形式，因此稱其為曲線相關(guān)關(guān)系。３.按相關(guān)的方向來分，可分為:正相關(guān)：指兩相關(guān)現(xiàn)象變化的方向一致；

負(fù)相關(guān)：是指兩相關(guān)現(xiàn)象變化的方向相反。4.

按相關(guān)的程度分，可分為：完全相關(guān)：就是相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系是完全確定的關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系。不完全相關(guān)：就是介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間的一種相關(guān)關(guān)系。相關(guān)分析的對象主要是不完全相關(guān)關(guān)系。不相關(guān)：是指兩現(xiàn)象之間在數(shù)量上的變化上各自獨(dú)立，互不影響。

三、相關(guān)分析的概念、特點(diǎn)及內(nèi)容

（二）相關(guān)分析的特點(diǎn)：

1、相關(guān)分析中，兩個(gè)變量關(guān)系呈現(xiàn)對等，可根據(jù)具體情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)函數(shù)的設(shè)定。

2、相關(guān)分析中，兩個(gè)變量均為隨機(jī)變量。（一）相關(guān)分析的概念：

研究一個(gè)變量與另一個(gè)變量或另一組變量之間的相關(guān)方向和相關(guān)密切程度的統(tǒng)計(jì)分析方法。相關(guān)分析的內(nèi)容主要包括以下幾點(diǎn)：

1、確定現(xiàn)象之間有無關(guān)系。

2、確定相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式。

3、確定相關(guān)關(guān)系的密切程度和方向。（三）相關(guān)分析的內(nèi)容第二節(jié)相關(guān)表、相關(guān)圖與相關(guān)系數(shù)

一、相關(guān)表與相關(guān)圖2、相關(guān)圖：也稱散布圖(或散點(diǎn)圖)。1、相關(guān)表：

某市1998年－2005年的工資性現(xiàn)金支出與城鎮(zhèn)儲蓄存款余額的資料，說明簡單相關(guān)表和相關(guān)圖的編制方法。

序號年份工資性

現(xiàn)金支出(萬元)x城鎮(zhèn)儲蓄存款余額(萬元)y119985001202199954014032000620150420017302005200290028062003970350720041050450820051170510例1企業(yè)按銷售額分組(萬元)流通費(fèi)用率(%)4以下9.654～

87.688～

127.2512～

167.0016～

206.8620～

246.7324～

286.6428～

326.6032～

366.58例2二、相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)是反映變量間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。一般用符號表示。根據(jù)線性相關(guān)變量的多少與分析問題的角度不同，相關(guān)系數(shù)可分為：

簡單相關(guān)系數(shù)偏相關(guān)系數(shù)復(fù)相關(guān)系數(shù)（一）相關(guān)系數(shù)的概念（二）相關(guān)系數(shù)的測定方法：仍以上例1資料計(jì)算：序號年份x(萬元)y(萬元)11998500120-310-15596100240254805021999540140-270-13572900182253645032000620150-190-12536100156252375042001730200-80-75640056256000520029002809058100254506200397035016075256005625120007200410504502401755760030625420008200511705103602351296005522584600合計(jì)64802200--432400155000253300

經(jīng)過計(jì)算，表明該市工資性現(xiàn)金支出與城鎮(zhèn)儲蓄存款余額之間存在著高度正相關(guān)。2.簡捷法

若令:

＝

－＝＝

－資料計(jì)算如下：序號年份x(萬元)y(萬元)x2y2xy119985001202500001440060000219995401402916001960075000320006201503844002250093000420017302005329004000014600052002900280810000784002520006200397035094090012250033950072004105045011025002025004725008200511705101368900260100596700合計(jì)6480220056812007600002035300（三）相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

①相關(guān)系數(shù)是一個(gè)抽象化的相對指標(biāo)，其本身不表示任何經(jīng)濟(jì)含義；②相關(guān)系數(shù)的取值范圍：－1≦γ≦1③計(jì)算結(jié)果帶負(fù)號表示負(fù)相關(guān)，帶正號表示正相關(guān)；④相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，表示相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)；越接近于0，表示相關(guān)關(guān)系越弱。；等于0，表示變量間無線性相關(guān)關(guān)系。具體標(biāo)準(zhǔn)：

0.3≦γ﹤0.5，低度相關(guān)

0.5≦γ﹤0.8，顯著相關(guān)0.8≦γ≦１，高度相關(guān)（四）相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)

（1）參與相關(guān)分析的兩個(gè)變量是對等的，不分自變量和因變量，因此，相關(guān)系數(shù)只有一個(gè)。（2）相關(guān)系數(shù)有正負(fù)號，反映相關(guān)關(guān)系的方向；正號反映正相關(guān)，負(fù)號反映負(fù)相關(guān)。（3）計(jì)算相關(guān)系數(shù)的兩個(gè)變量都是隨機(jī)變量。（五）相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

1、檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系；

2、采用t檢驗(yàn)；

3、檢驗(yàn)的步驟為：

提出假設(shè)：H0：；H1：0

計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：

確定顯著性水平，并作出決策若t>t，拒絕H0

若t<t，接受H0第三節(jié)回歸分析概述

一、回歸分析的概念與內(nèi)容

（一）回歸分析的概念回歸這個(gè)統(tǒng)計(jì)術(shù)語，最早采用者是英國遺傳學(xué)家高爾登，他把這種統(tǒng)計(jì)分析方法應(yīng)用于研究生物學(xué)的遺傳問題，指出生物后代有回復(fù)或回歸到其上代原有特性的傾向。高爾登的學(xué)生皮爾遜繼續(xù)研究，把回歸的概念和數(shù)學(xué)方法聯(lián)系起來，把代表現(xiàn)象之間一般數(shù)量關(guān)系的直線或曲線稱為回歸直線或回歸曲線?；貧w分析——是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的數(shù)量變化的一般關(guān)系進(jìn)行測定，確定一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便從一個(gè)已知量來推測另一個(gè)未知量，為估計(jì)預(yù)測提供一個(gè)重要的方法。（二）回歸分析的特點(diǎn)

1、回歸分析中，兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是對等的。在分析時(shí)，必須根據(jù)研究目的確定哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量。

2、回歸分析中的兩個(gè)變量，自變量是確定性變量，因變量是隨機(jī)變量。（三）回歸分析的分類1、按自變量的多少可分為一元回歸和多元回歸。

2、按回歸的表現(xiàn)形式可分為線性回歸和非線性回歸。（四）回歸分析的主要內(nèi)容1、擬合回歸模型。

2、測定和控制誤差。

3、顯著性檢驗(yàn)。二、回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別和聯(lián)系

二者的區(qū)別是：（1）相關(guān)分析僅能觀察相關(guān)的方向與密切程度，但不能指出兩變量間相關(guān)的具體形式。回歸分析可以根據(jù)回歸方程用自變量的數(shù)值推算因變量的估計(jì)值。（2）相關(guān)分析中兩變量是對等的，都是隨機(jī)變量，不需區(qū)分自變量與因變量；而回歸分析中兩變量不是對等的，要區(qū)分自變量與因變量，且因變量是隨機(jī)變量，自變量是給定的變量。聯(lián)系：相關(guān)分析需要回歸分析來說明現(xiàn)象數(shù)量關(guān)系的具體形式，而回歸分析是建立在相關(guān)分析基礎(chǔ)之上的。一、一元線性回歸方程的擬合一元線性回歸方程的基本形式為：

yc=a+bx

yc——因變量的估計(jì)值；

x——自變量；

a——回歸直線在y軸上的截距；

b——回歸直線的斜率，稱回歸系數(shù),表明x每增加一個(gè)單位，因變量yc的平均變化值。

b>0，x與y為正相關(guān)

b<0，x與y為負(fù)相關(guān)第四節(jié)一元線性回歸分析

參數(shù)a、b的確定：

在簡單直線回歸方程中，a、b為待定系數(shù)，常用最小平方法來確定，即∑(y-yc)2=最小值。

若令

則有

一元線性回歸方程建立的步驟為：

①確定自變量x和因變量y；②計(jì)算Σx、Σy、Σx2、∑xy；③代入公式，先求b，再求a；④建立簡單直線回歸方程yc＝a+bx，并據(jù)此進(jìn)行預(yù)測。

某企業(yè)上半年產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料如下：

月份產(chǎn)量（千件）單位成本（元）

x2y2xy

127345329146237295184216347116504128443739532921954691647612766568254624340

合計(jì)2142679302681481求：（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，說明兩個(gè)變量相關(guān)的密切程度；（2）配合回歸方程，指出產(chǎn)量每增加1000件時(shí)，單位成本平均變動多少？（3）假定產(chǎn)量為6000件時(shí)，單位成本為多少？

計(jì)算相關(guān)系數(shù)時(shí)，兩變量都是隨機(jī)變量，不需區(qū)分自變量和因變量?？紤]到要配合回歸方程，所以，這里設(shè)產(chǎn)量為自變量x，單位成本為因變量y。根據(jù)題意計(jì)算：解:＝－１０＝５５＝２２（１）

說明產(chǎn)量和單位成本之間存在著高度負(fù)相關(guān)。

＝－0.9091（2）擬合直線回歸方程yc＝a+bx，計(jì)算回歸參數(shù)

=－1.82

（3）當(dāng)產(chǎn)量為6000件時(shí)，即x＝6，代入回歸方程，得

yc＝77.37－1.82×6＝66.45（元）b＝a＝－b

＝77.37所以，回歸方程為：yc＝77.37－1.82x二、線性回歸方程的基本性質(zhì)

性質(zhì)l：最小值性質(zhì)2：性質(zhì)3：回歸直線必須通過點(diǎn)（，）三、判定系數(shù)R2

回歸平方和占總誤差平方和的比例反映回歸直線的擬合程度取值范圍在[0,1]之間

R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2＝r2

四、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差

（一）估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的概念和作用

估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差就是用來說明回歸方程推算結(jié)果的準(zhǔn)確程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。以絕對值表示，其數(shù)值越小，說明推算結(jié)果的準(zhǔn)確程度越高，回歸直線的代表性也越大。用Syx表示，也可用Sy表示。（二）估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算方法

1.定義公式：（三）相關(guān)系數(shù)與估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的關(guān)系

相關(guān)系數(shù)和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差在數(shù)值上表現(xiàn)為相反的關(guān)系：γ值越大，Syx值越??；γ值越小，Syx值越大。Sy和r的異同點(diǎn)：相同點(diǎn)：都具有說明相關(guān)關(guān)系密切程度的作用；不同點(diǎn):

(1)r越大越好，而Sy越小越好；

(2)r用相對數(shù)表現(xiàn)，密切程度的概念比較明確;Sy用絕對數(shù)表現(xiàn)，關(guān)系密切的程度表示得不那么明顯；

(3)r能說明正、負(fù)相關(guān)，Sy不能說明。

五、一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

（一）回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

1、檢驗(yàn)自變量和因變量之間的線性關(guān)系是否顯著；2、具體方法是將回歸離差平方和(SSR)同剩余離差平方和(SSE)加以比較，應(yīng)用F檢驗(yàn)來分析二者之間的差別是否顯著：如果是顯著的，兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系；

如果不顯著，兩個(gè)變量之間不存在