第8講圖形變換

第8講圖形變換

中南大學(xué)地學(xué)院GIS中心本講內(nèi)容齊次坐標表示法常見的二維圖形幾何變換平移變換比例變換旋轉(zhuǎn)變換對稱變換錯切變換變換矩陣的功能分區(qū)圖形的復(fù)合變換2圖形變換指將圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形坐標系不動而圖形變動（幾何變換）圖形不動而坐標系變動（坐標變換）幾何變換通常是以點變換為基礎(chǔ)，即對圖形對象的每個點進行變換；但作為線框圖形，可以取一系列頂點作幾何變換，連接新的頂點序列即可產(chǎn)生變換后的新圖形圖形的拓撲關(guān)系不變3齊次坐標表示法將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量表示一個向量的齊次表示不是唯一的當齊次坐標的h為1時，稱為規(guī)范化齊次方程

有n個分量的向量有n+1個分量的向量4齊次坐標技術(shù)的優(yōu)點齊次坐標可以表達無窮遠點對于h=0的齊次坐標表示無窮遠點，如(a,b,0)表示ay=bx直線上的無窮遠點采用齊次坐標可以統(tǒng)一圖形變換的運算形式圖形變換統(tǒng)一為圖形的點集矩陣與某一變換矩陣進行矩陣相乘的單一形式5二維圖形幾何變換二維圖形的特點：可看成由若干小的直線段組成直線段由始、終端點連接而成實質(zhì)：在不改變圖形連線順序的情況下，對一個圖形的“點”作幾何變換6二維圖形幾何變換的齊次表示法某一點P(x,y)行向量[xy1]齊次表示法一個圖形的點集齊次表示法矩陣圖形幾何變換表示：變換后的點P’的坐標為：x’=(ax+dy+g)/(cx+fy+i)y’=(bx+ey+h)/(cx+fy+i)7幾種常見的二維圖形幾何變換平移變換比例變換旋轉(zhuǎn)變換對稱變換錯切變換8平移變換指不產(chǎn)生變形而移動物體的剛性變換Tx平行于x軸的方向上的移動量Ty平行于y軸的方向上的移動量y平移變換x9平移變換的齊次坐標表示平移矩陣：好處：采用齊次坐標表示法，使得平移變換的處理由原本的加法變?yōu)榱司仃嚦朔?，從而與其余四種幾何變換運算方式相統(tǒng)一簡寫為：10比例變換指圖形相對于坐標原點，按比例系數(shù)(Sx,Sy)放大或縮小的變換Sx平行于x軸的方向上的縮放量Sy平行于y軸的方向上的縮放量yx相對于原點的比例變換11比例變換的齊次坐標表示比例矩陣：簡寫為：12比例變換的性質(zhì)當Sx=Sy時，變換前的圖形與變換后的圖形相似當Sx=Sy=1時，圖形不變，稱為恒等變換當Sx=Sy>1時，圖形將均勻放大，并遠離坐標原點當0<Sx=Sy<1時，圖形將均勻縮小，并靠近坐標原點當Sx≠Sy時，圖形沿坐標軸方向作非均勻縮放發(fā)生形變（如正方形變?yōu)殚L方形、圓形變?yōu)闄E圓）當Sx<0時或Sy<0時，圖形不僅大小發(fā)生變化，而且將相對于y軸、x軸或原點作對稱變換13yxyxyxyx14整體比例變換整體比例變換，比例系數(shù)為1/S當0<S≤1時，圖形等比例放大當S>1時，圖形等比例縮小當S<0時，為等比例變換再加上對原點的對稱變換整體比例矩陣：15旋轉(zhuǎn)變換x兩式合并可得：y指將圖形圍繞圓心逆時針轉(zhuǎn)動一個θ角度的變換（規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)動方向為正）旋轉(zhuǎn)變換16旋轉(zhuǎn)變換的齊次坐標表示旋轉(zhuǎn)矩陣：簡寫為：17對稱變換指相對坐標軸、原點、線的對稱變換（反射變換）相對于y軸對稱：oyxyox相對于x軸對稱：18相對于原點對稱（即中心對稱）yoxyox相對于直線y=x對稱19xyoy=-x相對于直線y=-x對稱簡寫為：20錯切變換指用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理（剪切、錯位或錯移變換）沿x軸方向關(guān)于y軸錯切，即變換前后y坐標不變，x坐標呈線性變化 將圖形上關(guān)于y軸的平行線沿x方向推成θ角的傾斜線，而保持y坐標不變。xy△x21沿y軸方向關(guān)于x軸錯切，即變換前后x坐標不變，y坐標呈線性變化

將圖形上關(guān)于x軸的平行線沿y方向推成φ角的傾斜線，而保持x坐標不變。y△yx簡寫為：22變換矩陣的功能分區(qū)變換矩陣可用3×3矩陣來描述左上角的2×2子塊可實現(xiàn)比例、旋轉(zhuǎn)、對稱、錯切四種基本變換；左下角的1×2子塊可實現(xiàn)平移變換；右上角的2×1子塊可實現(xiàn)投影變換；右下角的1×1子塊可實現(xiàn)整體比例變換。23

比例變換、旋轉(zhuǎn)變換對稱變換、錯切變換

平移變換

投影變換

整體比例變換24復(fù)合變換對于任何一個比較復(fù)雜的變換，都可以轉(zhuǎn)換成若干個連續(xù)進行的基本變換。這些基本幾何變換的組合稱為復(fù)合變換，也稱為級聯(lián)變換。設(shè)圖形經(jīng)過n次基本幾何變換，其變換矩陣分別為T1,T2,…,Tn

則經(jīng)T1變換后：經(jīng)T2變換后：```

經(jīng)Tn變換后：就為復(fù)合變換矩陣25復(fù)合變換矩陣對于計算復(fù)合變換時，可將各基本變換矩陣按序相乘，形成總的復(fù)合變換矩陣T，再將變換前的坐標與T相乘，得到變換后的最終坐標一般情況下，矩陣乘法不滿足交換率，復(fù)合變換應(yīng)嚴格按照一定的交換順序26復(fù)合變換的類型連續(xù)平移變換連續(xù)比例變換連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換相對任一參考點的二維幾何變換以平面內(nèi)任一直線為對稱軸進行對稱變換27連續(xù)平移變換設(shè)點P(x,y)經(jīng)過第一次平移變換T1(Tx1,Ty1)和第二次平移變換T2(Tx2,Ty2)后的坐標為P’’(x’’,y’’)設(shè)點P(x,y)經(jīng)過第一次平移變換T1后的坐標為P’(x’,y’)設(shè)點P’(x’,y’)經(jīng)第二次平移變換T2后的坐標為P’’(x’’,y’’)28得到連續(xù)平移變換的復(fù)合矩陣T為：

即連續(xù)的平移變換是平移量的相加29連續(xù)比例變換設(shè)點P(x,y)經(jīng)過第一次比例變換T1(Sx1,Sy1)和第二次比例變換T2(Sx2,Sy2)后的坐標為P’’(x’’,y’’)設(shè)點P(x,y)經(jīng)過第一次比例變換T1后的坐標為P’(x’,y’)設(shè)點P’(x’,y’)經(jīng)第二次比例變換T2后的坐標為P’’(x’’,y’’)30得到連續(xù)比例變換的復(fù)合矩陣T為：

即連續(xù)的比例變換是比例系數(shù)的相乘31連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換設(shè)點P(x,y)經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換T1(旋轉(zhuǎn)角度為θ1)和第二次旋轉(zhuǎn)變換T2(旋轉(zhuǎn)角度為θ2)后的坐標為P’’(x’’,y’’)設(shè)點P(x,y)經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換T1后的坐標為P’(x’,y’)設(shè)點P’(x’,y’)經(jīng)第二次旋轉(zhuǎn)變換T2后的坐標為P’’(x’’,y’’)32得到連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換的復(fù)合矩陣T為：

即連續(xù)的旋轉(zhuǎn)變換是旋轉(zhuǎn)角度的相加33相對任一參考點的二維幾何變換相對任一參考點的比例變換平移變換，即將該參考點移到坐標原點處作相對于原點的比例變換平移變換，即將參考點從坐標原點移回原來的位置相對任一參考點的旋轉(zhuǎn)變換平移變換，即將該參考點移到坐標原點處作相對于原點的旋轉(zhuǎn)變換平移變換，即將參考點從坐標原點移回原來的位置34Oxy相對于任意點(x0,y0)的比例變換Oxy相對于任意點(x0,y0)的旋轉(zhuǎn)變換(x0,y0)(0,0)θ(x0,y0)(0,0)35令任意點比例變換示意圖平移平移比例則有36任意點旋轉(zhuǎn)變換示意圖平移平移旋轉(zhuǎn)則有令37例：求點P(x,y)相對任一點M(x0,y0)作比例變換的變換矩陣。其中比例系數(shù)為(Sx,Sy)解：平移得平移矩陣T1為：

進行比例變換得比例變換矩陣T2為：

反平移使坐標系回到原來位置得平移矩陣T3為：38

因此，復(fù)合變換矩陣應(yīng)為：39以任一直線為對稱軸進行對稱變換相對于平面內(nèi)的任意條直線進行對稱變換平移，使對稱軸直線經(jīng)過坐標原點繞原點旋轉(zhuǎn)，使對稱軸直線的方向與某個坐標軸（如X軸）重合關(guān)于某個坐標軸（如X軸）進行對稱變換繞原點旋轉(zhuǎn)，使對稱軸直線回到原來的方向平移，使對稱軸直線回到原來的位置40oxy41例：求點P(x,y)關(guān)于直線ax+by+c=0進行對稱變換的變換矩陣解：根據(jù)直線方程，直線在X軸上的截距為-c/a(a≠0),直線在Y軸上的截距為-c/b(b≠0)。則直線與X軸的夾角為θ，θ=arctg(-a/b)。

首先沿X軸方向平移c/a個距離長度：平移矩陣： 再繞原點順時針旋轉(zhuǎn)θ角，使直線與X軸重合：旋轉(zhuǎn)矩陣：(-c/a,0)o(