第十五章2位移法b

第十五章位移法

1主要內(nèi)容1位移法基本概念2位移法的基本結(jié)構(gòu)和基本未知量3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程4位移法典型方程5直接利用平衡條件建立位移法方程6位移法與力法聯(lián)合應(yīng)用2§15.6直接利用平衡條件建立位移法方程

我們知道位移法典型方程反映了原結(jié)構(gòu)在結(jié)點處的靜力平衡條件，因此我們也可以不通過基本結(jié)構(gòu)，而直接利用轉(zhuǎn)角位移方程和靜力平衡條件建立位移法方程。下面舉例說明。例4如圖示剛架，做M圖。圖(a)2ll=4mq=3kN/mABCD2iii解：(1)基本未知量2個，如圖(b)所示。圖(b)ABCDZ1Z2MABMBAABFQABFQBAxyAB桿：

，，(2)利用轉(zhuǎn)角位移方程寫出桿端力(a)兩端為固定

3CDxMDCFQDCFQCDyBCyFQBCFQCBMBCxDC桿：

，(B端鉸支)BC桿：

，(B端鉸支)圖(b)ABCDZ1Z2(b)A端為固定，B端鉸支

(3)建立位移法方程MBAMBCB由B結(jié)點力矩平衡得4FQBABCFQCD由BC橫梁得把有關(guān)表達式代入上式整理得解之得；(4)回代求出桿端彎矩M圖如圖(c)所示。圖(c)M圖(kN.m)5.684.424.4213.8965.684.424.4213.896圖(c)M圖(kN.m)5例5如圖示剛架，做M圖。2iqABCDEF4i4i5i2i圖(a)llll解：(1)本題為無側(cè)移剛架，基本未知量2個Z1Z2圖(b)如圖(b)所示。(2)桿端彎矩AB桿：B=Z1，AB=0，A端鉸支(b)A端為固定，B端鉸支

CD桿：A=Z2，AB=0，B端鉸支BC桿：A=Z1，B=Z2

，AB=0(a)兩端為固定

6BE桿：A=0，B=Z1

，AB=0；CF桿：A=0，B=Z2，AB=02iqABCDEF4i4i5i2i圖(a)llllZ1Z2圖(b)(a)兩端為固定

(3)建立位移法方程BMBAMBEMBC由MB=0得CMCBMCFMCD由MC=0得將有關(guān)表達式代入上式整理得7解之得；(4)回代求出桿端彎矩M圖如圖(c)所示。圖(c)M圖(ql2)0.1250.1250.0020.0040.0080.0160.0230.0390.1140.118圖(c)M圖(ql2)0.1250.1250.0020.0040.0080.0160.0230.0390.1140.1188

例：如果除支座以外，剛架的各結(jié)點只有角位移而沒有線位移，這種剛架稱為無側(cè)移剛架。ABC3m3m6mEIEIP=20kNq=2kN/mBqBEIPBEIMBAMABMBC1、基本未知量B2、固端彎矩3、列桿端轉(zhuǎn)角位移方程設(shè)4、位移法基本方程（平衡條件）916.7215.8511.573.21MBAMBCqBEIPBEIMBAMABMBC3、列桿端轉(zhuǎn)角位移方程4、位移法基本方程5、各桿端彎矩及彎矩圖M圖(1)變形連續(xù)條件:在確定基本未知量時得到滿足；(2)物理條件:即剛度方程；(3)平衡條件:即位移法基本方程。超靜定結(jié)構(gòu)必須滿足的三個條件:10例、試用位移法分析圖示剛架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量

B、C（2）桿端彎矩Mi

j計算線性剛度i，設(shè)EI0=1，則梁11柱(3)位移法方程梁4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。12(4)解方程(相對值)(5)桿端彎矩及彎矩圖梁柱ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M圖131、基本未知量θB、θC2、列桿端力表達式令EI=1mkN=.40mkN-=.7.41CCCFMqq=·=25.04BBEBMqq=·=5.175.02CBCBMqq++=7.4142CBBCMqq-+=7.4124BBAMq+=403CCFCMqq=·=5.02CCDMq=33、列位移法方程0=++=?CFCDCBCMMMM0=++=?BEBCBABMMMM07.1210=-+CBqq07.4192=++CBqq4、解方程θB=1.15θC=－4.89=43.5=－46.9=24.5=－14.7=－9.78=－4.89=1.7MBAMBCMBE用直接平衡法計算超靜定結(jié)構(gòu)4I4I5I3I3I5m4m4m4m2mCABDEF20kN/m1110.750.5i=1110.750.5BBBEMqq=·=375.04=3.45、計算桿端彎矩146、畫M圖43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M圖(kN.M)CABDEF15MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDC例.用位移法分析圖示剛架。[解]（1）基本未知量B、（2）單元分析BC8m4mii2iABCD3kN/m16MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDCBCMBCMBA（3）位移法方程QBA+QCD=0…………...(2a)QBAQCD（4）解位移法方程17（4）解位移法方程（5）彎矩圖MAB=-13.896kN·mMBA=-4.422kN·mMBC=4.422kN·mMDC=-5.685kN·mQBA=-1.42kNQCD=-1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M圖（kN·m）18小結(jié)1、有幾個未知結(jié)點位移就應(yīng)建立幾個平衡方程；2、單元分析、建立單元剛度方程是基礎(chǔ)；3、當(dāng)結(jié)點作用有集中外力矩時，結(jié)點平衡方程式中應(yīng)包括外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDC19§15-9對稱結(jié)構(gòu)的計算PPMMQN對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下變形是對稱的，其內(nèi)力圖的特點是：對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下變形是反對稱的，其內(nèi)力圖的特點是：利用這些特點，可以取結(jié)構(gòu)的一半簡化計算。NQ20一、單數(shù)跨(1)對稱荷載Δ1F1Pk11iBE2iAB4iABMPM1k11Δ1+F1P=0(2)反對稱荷載PPABCDEΔ1Δ2Δ3ABEl/2P反彎點ABZ3Δ1ABEl/2q21二、偶數(shù)跨(1)對稱荷載qqCCM=Q=0PPIN=0PP反彎點P無限短跨+PP(2)反對稱荷載22↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓24kN/m4m4m4mEIEIEI2EIEI24242472724208208M反對稱M對稱921643252M圖(kN.m)4823↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/mX1444M196MP↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/mEIEIEI4m4m24

2472M反對稱↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m等代結(jié)構(gòu)2472=124↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/mEIEI4m4m等代結(jié)構(gòu)ACBMMMACABA0=+=?iA2-=qiA0168=+qiMACA2=qiMAAC4=qiMAAB164+=qiMABA162-=q=－20kN.m=8kN.m=－8kN.m=－4kN.m2084208M對稱25↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m4m3m4m4m4I4I5I4I5I4m↓↓↓↓↓↓↓12kN/mi=1i=1ACBACAM2q=AACMq=4ABAMq+=162Aq-=164AABMq×-=12412420=+=?ACABAMMM20168==-AAqqMABMACA=－8kN.m=20kN.m=8kN.m=4kN.m482024482024M圖(kN.m)1）斜梁（靜定或超靜定）受豎向荷載作用時，其彎矩圖與同水平跨度同荷載的水平梁彎矩圖相同。2）對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，與對稱軸重合的桿彎矩=0，剪力=0。26力法、位移法對比基本未知量：多余約束力基本結(jié)構(gòu)：一般為靜定結(jié)構(gòu)。作單位和外因內(nèi)力圖由內(nèi)力圖自乘、互乘求系數(shù)，主系數(shù)恒正。建立力法方程（協(xié)調(diào)）基本未知量：結(jié)點獨立位移基本結(jié)構(gòu)：單跨梁系作單位和外因內(nèi)力圖由內(nèi)力圖的結(jié)點、隔離體平衡求系數(shù)，主系數(shù)恒正。建立位移法方程（平衡）

解方程求多余未知力迭加作內(nèi)力圖用變形條件進行校核

解方程求獨立結(jié)點位移迭加作內(nèi)力圖用平衡條件進行校核不能解靜定結(jié)構(gòu)可以解靜定結(jié)構(gòu)力法位移法27§17.7位移法與力法聯(lián)合應(yīng)用

前面介紹了求解超靜定問題的兩種基本方法，力法和位移法，在實際問題中，應(yīng)采用哪種方法比較方便，要根據(jù)實際情況，計算工作量的大小，選擇最簡單的方法進行計算。

如圖(a)所示對稱結(jié)構(gòu)，受一般荷載作用。利用對稱性可將荷載分解成兩組：對稱荷載和反對稱荷載兩種情況。2Fp圖(a)=FpFp圖(b)+FpFp圖(c)Fp圖(d)正對稱荷載部分：力法分析時有兩個基本未知量，位移法分析時有一個基本未知量，因此采用位移法計算較為方便。Fp圖(e)反對稱荷載部分：力法分析時有一個基本未知量，位移法分析時有兩個基本未知量，因此采用力法計算較為方便。若橫梁的EI=時，正對稱荷載作用部分采用位移法求解時的基本未知量是多少呢？28

象這樣利用結(jié)構(gòu)的對稱性，把荷載分解為正對稱和反對稱兩種情況，分別采用位移法和力法求解，可使計算得到簡化，這樣的分析問題方法稱為聯(lián)合法。

上述聯(lián)合法是分別應(yīng)用于不同的結(jié)構(gòu)，也可以把位移法和力法混合在一起分析一個結(jié)構(gòu)。如圖(g)所示結(jié)構(gòu)圖(g)AB

左半部分用力法分析時基本未知量數(shù)目較少（力法分析時一個基本未知