概率統計和隨機過程第六章大數定律與中心極限定理課件

第六章大數定律與中心極限定理本章要解決的問題

為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計？為何能以樣本均值作為總體期望的估計？為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？大樣本統計推斷的理論基礎是什么？大數定律中心極限定理1設非負隨機變量

X的期望E(X)存在，則對于任意實數

>0,馬爾可夫（Markov）不等式證

僅證連續(xù)型隨機變量的情形

重要不等式

6.1大數定律2設隨機變量

X的k階絕對原點矩E(|X|k)存在，則對于任意實數

>0,推論1設隨機變量

X的方差D(X)存在，則對于任意實數

>0,推論2

——切貝雪夫（chebyshev）不等式或3實際精確計算：用Poisson分布近似計算：取=10005例2

設每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75,

試用Chebyshev不等式估計,n

多大時,才能在

n

次獨立重復試驗中,事件

A出現的頻率在0.74~0.76之間的概率大于0.90?解設

X

表示

n

次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數,則X~B(n,0.75)要使，求n6即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故令解得7大數定律貝努里（Bernoulli）大數定律設

nA

是n

次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數,p

是每次試驗中A發(fā)生的概率，則有或9證引入隨機變量序列{Xk}設則相互獨立，記由Chebyshev不等式10故11定義a

是一常數，(或則稱隨機變量序列依概率收斂于常數a,記作故是一系列隨機變量，設有若13在Bernoulli定理的證明過程中，

Yn

是相互獨立的服從0-1分布的隨機變量序列{Xk}的算術平均值,Yn

依概率收斂于其數學期望p.

結果同樣適用于服從其它分布的獨立隨機變量序列.14的數學期望與方差設為有Chebyshev大數定律相互獨立，設隨機變量序列(指任意給定n>1,相互獨立)，證明：由chebyshev不等式可得。15定理的意義：當

n

足夠大時，算術平均值幾乎就是一個常數,可以用算術平均值近似地代替數學期望.具有相同數學期望和方差的獨立隨機變量序列的算術平均值依概率收斂于數學期望.17§6.2中心極限定理定理1獨立同分布的中心極限定理

設隨機變量序列相互獨立，服從同一分布，且有期望和方差：則對于任意實數x,18注：則

Yn

為的標準化隨機變量.即n

足夠大時，Yn

的分布函數近似于標準正態(tài)隨機變量的分布函數記近似近似服從19即對任意的a<b,Yn

~N(np,np(1-p))(近似)證明：21例1

設有一大批種子，其中良種占1/6.試估計在任選的6000粒種子中，良種所占比例與

1/6比較上下不超過1%的概率.解設

X

表示6000粒種子中的良種數,則X~B(6000,1/6)中心極限定理的應用22近似23例2

某車間有200臺車床，每臺獨立工作，開工率為0.6.開工時每臺耗電量為r

千瓦.問供電所至少要供給這個車間多少電力,才能以

99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產？解設至少要供給這個車間

a千瓦的電力設X為200臺車床的開工數.X~B(200,0.6),問題轉化為求

a,使X~N(120,48)(近似)25由于將X近似地看成正態(tài)分布，故26

XkP10200.50.5相互獨立,且同分布,2930中心極限定理的意義

在實際問題中，若某隨機