微觀金融技術(shù)與方法

微觀金融技術(shù)與方法第一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/711.1引言期望效用理論全面考慮了投資收益的風(fēng)險和收益的概率分布情況，是研究不確定環(huán)境下個體消費(fèi)和投資決策的主要工具。風(fēng)險厭惡型投資者的投資行為本章主要建立期望效用理論的基礎(chǔ)，和資產(chǎn)定價理論的微觀經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)。對待風(fēng)險的態(tài)度風(fēng)險厭惡的度量兩基金貨幣分離

第一章偏好表示與風(fēng)險厭惡第二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/721.2一些常用的投資決策準(zhǔn)則一、收益最大準(zhǔn)則

收益最大準(zhǔn)則應(yīng)用于完全沒有風(fēng)險的情況下。由此法則，只需選擇收益率最高的投資機(jī)會即可。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的生產(chǎn)者理論和價值理論廣泛使用這一準(zhǔn)則。在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中，不確定環(huán)境下，收益最大準(zhǔn)則不再適用。第三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/73二、最大期望收益準(zhǔn)則

使用投資收益的期望值作為各種投資方案的比較，是收益最大準(zhǔn)則在不確定情形下的推廣。是否期望收益最大準(zhǔn)則就是一個最優(yōu)的決策法則呢？（否）第四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/74Example1Gamble(X)flipofacoinifheads,youreceive$1: X1=+1iftails,youpay$1: X2=-1E(X)=(0.5)(1)+(0.5)(-1)=0ifyouplaythisgamemanytimes,itisunlikelythatyouwillwinorloseanything第五頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/75Example2Gamble(X)flipofacoinifheads,youreceive$10: X1=+10iftails,youpay$1: X2=-1E(X)=(0.5)(10)+(0.5)(-1)=4.50ifyouplaythisgamemanytimes,youwillbeabigwinnerHowmuchwouldyoupaytoplaythisgame:perhapsasmuchasa$4.50Butofcoursetheanswerdependsuponyourpreferencetorisk 第六頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/76FairGamblesif thecosttoplay = expectedvalueof thesegambles theoutcomethenthegambleissaidtobeactuariallyfairCommonempiricalfindings: 1. individualsmayagreetoflipacoinforsmallamountsofmoney,

butusuallyrefusetobetlargesumsofmoney

第七頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/77

2. peoplewillpaysmallamountsofmoneytoplayactuarially unfairgames(forexample,cost=$1,butE(X)>1)

-butwillavoidpayingalot

Whydotheseempiricalfindingsoccur?第八頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/78圣彼得堡悖論（SaintPetersburgparadox）Gamble(X): Acoinisflippeduntilaheadappears,

Youreceive$2n,wherenisthefliponwhichtheheadoccurredstates: X1=$2 X2=$4 X3=$8 ... Xn=$2nprob: α1=1/2α2=1/4 α3=1/8... αn=1/2n

E(X)=

Paradox:

noonewouldpayanactuariallyfairpricetoplaythisgame

(noonewouldevenpayclosetothefairprice)第九頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/79

ExplainingtheSt.PetersburgParadoxthisparadoxarisesbecauseindividualsdonotmakedecisions

basedonpurelyontheirwealth,butratherontheutilityof

theirexpectedwealth

ifwecanshowthatthemarginalutilityofwealth

declinesaswegetmorewealth,thenwecanshowthatthe

expectedvalueofagameisfiniteAssumeU(X)=ln(X), U'(X)>0 MUpositive

U"(X)<0 diminishingMUE(U(W)) =

αiU(Xi)

=

αiln(Xi)=1.39<anindividualwouldpayanamountupto1.39units

ofutilitytoplaythisgambleAndthissolvestheparadox第十頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7101.3投資者行為

個人決策準(zhǔn)則一、確定性環(huán)境：選擇與偏好

在確定性環(huán)境下分析個人的理性決策行為，需要權(quán)衡不同抉擇好壞優(yōu)劣的價值尺度。建立在選擇行為之上的偏好關(guān)系（preferencerelation）可以用一種兩維的關(guān)系（binaryrelation）表述出來。第十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/711定義（偏好關(guān)系）：投資選擇集上的偏好關(guān)系是指具有完備性、自反性和傳遞性的一個二維關(guān)系。a)

完備性（completeness）對于任何,要么要么；b)

自反性（reflexivity）對于任何有；c)

傳遞性（transitivity）對于任何如果有，則有。第十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/712

以上這三點(diǎn)是為了保障偏好表達(dá)的邏輯一致性，建立一個價值衡量標(biāo)準(zhǔn)。

二、效用函數(shù)和效用最大化

為了更方便的研究投資者的行為，我們希望偏好關(guān)系能用函數(shù)形式表示，這種函數(shù)稱為效用函數(shù)。第十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/713效用函數(shù)的定義：稱函數(shù)表示偏好關(guān)系，或者稱函數(shù)是偏好關(guān)系的效用函數(shù)表出，若投資者認(rèn)為好于，即，當(dāng)且僅當(dāng)，。但不是所有的偏好關(guān)系都能用函數(shù)來表示。第十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/714例子：第十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/715效用函數(shù)的存在性定理：

若證券組合集只具有有限或可數(shù)個元素時，那么定義在上的偏好關(guān)系一定可以用實值效用函數(shù)表示。（證明用數(shù)學(xué)歸納法）注：偏好關(guān)系的效用函數(shù)不是唯一的。為序數(shù)效用函數(shù)（Ordinaryutilityfunction）

第十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/716三、不確定環(huán)境：期望效用理論在不確定環(huán)境下，或證券組合是一個隨機(jī)變量時，效用函數(shù)難以分析問題，則用偏好的期望效用函數(shù)表示。第十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/717期望效用函數(shù)的定義：存在實函數(shù)和上的概率測度使得，當(dāng)且僅當(dāng)。

顯然，確定情形下的效用函數(shù)表示是期望效用函數(shù)表示的特例。有兩種方式研究期望效用理論：薩維奇（Savage,1972）的主觀概率方法和Von-NeumannandMorgenstern(1953)的客觀概率方法。下面稱為Von-NeumannandMorgenstern效用函數(shù)（NMU），定義為一元函數(shù)。第十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/718設(shè)是定義在狀態(tài)空間上的概率度量，對于證券組合，定義其分布函數(shù)：

則證券組合的期望效用值為

第十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/719

若兩個證券組合具有相同的分布函數(shù)，則具有相同的期望效用值。為簡單起見，假設(shè)證券組合的概率分布定義在有限集上，即離散情形：記為定義在上的概率分布的集合。若則表示在概率分布下取值為的概率。證券組合的分布函數(shù)為

則投資者對證券組合的期望效用值為。第二十頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/720將證券組合選擇視為抽彩（lottery），的元素為所有可能的各獎金數(shù)額，設(shè)，則表示獲得獎金的概率。一次性抽彩（asimplelottery）記為：，對任意或表示為復(fù)合性抽彩（acompoundlottery）。稱為復(fù)合性抽彩的一次性自然抽彩。投資者對抽彩的感覺僅僅取決于獲得各種獎的凈概率。第二十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/721假設(shè)1（復(fù)合性抽彩的約簡公理，ReductionAxiom）對于任意

此即。

假設(shè)2（保序性，Orderpreserving）對于則當(dāng)且僅當(dāng)

第二十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/722假設(shè)3（中值性，Intermediatevalue）對于則存在唯一的使得

定理1如果定義在上的偏好關(guān)系滿足假設(shè)1，2，3，那么它可以用效用函數(shù)表示。

第二十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/723假設(shè)4（獨(dú)立公理或替代公理，IndependentorSubstituteAxiom）對于意味著

。命題1給定假設(shè)1，獨(dú)立公理意味著保序性假設(shè)。

即在復(fù)合抽彩的約簡公理下，假設(shè)4可推出假設(shè)2。第二十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/724假設(shè)5對于，有。假設(shè)6（阿基米德公理，ArchimedeanAxiom）對于

，則存在實數(shù)

使得命題2

給定假設(shè)1，獨(dú)立性公理和阿基米德公理意味著假設(shè)5，假設(shè)3。第二十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/725定理2

定義在上的偏好關(guān)系，若它滿足約簡假設(shè)、保序假設(shè)、中值假設(shè)和假設(shè)5，在該偏好關(guān)系可以用Von-NeumannandMorgenstern效用函數(shù)（NMU）表示，并且在正仿射變化定義下，期望效用函數(shù)是唯一的。

注：仿射變換（affinetransformation)指乘以一個正數(shù)再加上一個實數(shù)。在仿射變換下，不改變原效用函數(shù)的性質(zhì)。第二十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/726推論定義在上的偏好關(guān)系，若它滿足約簡假設(shè)、獨(dú)立公理和阿基米德公理，則該偏好關(guān)系可以用NMU表示。

假設(shè)1＋假設(shè)2＋假設(shè)3＋假設(shè)5＝>NMU存在；假設(shè)1＋假設(shè)4＋假設(shè)6＝>NMU存在；第二十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/727附注1

當(dāng)是一個無限集時，上述的期望效用函數(shù)表示定理不再成立；為此需要增加其它公理（連續(xù)性假設(shè)）。在經(jīng)驗檢驗中，獨(dú)立公理經(jīng)常被違背，從而不存在期望效用函數(shù)表示，著名的例子為：附注2阿萊的悖論（Allaisparadox）：法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿萊（M.Allais,1988年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主）在1953年，做過一組心理實驗。在該實驗中，被試者要求在下面兩組彩票組合中進(jìn)行選擇。第二十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/728第一組：

A=(5百萬，0；1百萬，1；0，0）；

B=(5百萬，0.1；1百萬，0.89；0，0.01);

其中每一數(shù)對中的第一個數(shù)字表示抽獎收益，第二個為概率大小。

第二組：

C=(5百萬，0；1百萬，0.11；0，0.89)；

D=(5百萬，0.1；1百萬，0；0，0.90)。試驗發(fā)現(xiàn)大多數(shù)人在A和B中會選擇A；而在C和D中則選擇D。

第二十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/729

根據(jù)期望效用表示方法，選擇A就意味著：U(1百萬）1>U(5百萬）0.1+U(1百萬)0.89+U(0)0.01,整理得：

U(1百萬）0.11>U(5百萬）0.1+U(0)0.01,

第三十頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/730

在該式兩邊加上U(0)0.89,得：

U(1百萬）0.11＋U(0)0.89>U(5百萬）0.1+U(0)0.90,

這就是說，在C和D中根據(jù)期望效用方法應(yīng)當(dāng)獲得的結(jié)果是C。這是一種實驗經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法，與期望效用公理相抵觸，行為經(jīng)濟(jì)學(xué)與行為金融學(xué)的一些理論試圖對此做出合理的解釋，見卡尼曼－特韋斯基著名的“展望理論”（Prospecttheory)。

第三十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7311.4對待風(fēng)險的態(tài)度對風(fēng)險的不同態(tài)度關(guān)于經(jīng)濟(jì)行為主體對待風(fēng)險的態(tài)度，我們可以從兩個方面來考察：經(jīng)濟(jì)行為主體是愿意確定性地接受一個博彩行為的預(yù)期價值還是寧愿接受這個博彩行為本身及其不確定的結(jié)果；經(jīng)濟(jì)行為主體愿意付出多少價值來避免蘊(yùn)含在這個博彩行為中的風(fēng)險。所謂保險統(tǒng)計意義上的公平博彩指的是期望收益為0的博彩，即第三十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/732a)我們將那些不愿意接受任何保險統(tǒng)計意義上的公平博彩的經(jīng)濟(jì)行為主體稱之為風(fēng)險厭惡者。如果經(jīng)濟(jì)行為主體認(rèn)為是否接受一個公平博彩對于他是無差別的，那么這樣的經(jīng)濟(jì)行為主體就是所謂風(fēng)險中性者。如果經(jīng)濟(jì)行為主體愿意接受任何保險統(tǒng)計意義上的公平博彩，則我們把這類行為主體稱作為風(fēng)險愛好者。第三十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/733

考察一個保險統(tǒng)計意義上的公平博彩這個博彩有兩種可能結(jié)果：其一，這個博彩行為的參與者有p的概率獲得正值的收益z1；其二，有（1-p）的概率獲得負(fù)值的收益z2。

圖1-1經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)的凸凹性的局部性質(zhì)第三十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7341.5風(fēng)險厭惡

凹函數(shù)的定義： 是一個線性空間，是上的一個凸子集，稱為凹的，若任意有：

第三十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/735結(jié)論：一個博彩的期望效用嚴(yán)格比它的期望支付的效用小當(dāng)且僅當(dāng)他的效用函數(shù)是嚴(yán)格凹的。

在現(xiàn)實生活中，大多數(shù)投資者是厭惡風(fēng)險的，即他們的NMU函數(shù)是凹函數(shù)?？紤]一個具有嚴(yán)格遞增效用函數(shù)的風(fēng)險厭惡投資者的證券投資選擇問題。第三十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/736投資者面臨最大化自己期望效用值的最優(yōu)投資選擇問題：

上述問題的一階條件為第三十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/737命題1

假設(shè)資本市場允許賣空，若投資者存在最優(yōu)投資策略，則命題2假設(shè)資本市場允許賣空，投資者買入風(fēng)險資產(chǎn)的充分必要條件是至少存在一種風(fēng)險資產(chǎn)收益率均值大于無風(fēng)險利率。

(通常而言，風(fēng)險厭惡者只有在風(fēng)險資產(chǎn)的平均回報率高于無風(fēng)險資產(chǎn)的回報率時，才會在風(fēng)險資產(chǎn)上進(jìn)行投資）。

第三十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/738

進(jìn)一步，我們探討要使投資者不但對風(fēng)險資產(chǎn)買入，而且投資者將其全部初始財富的比例以上投資于風(fēng)險資產(chǎn)，需要什么樣的條件。第三十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7391.6經(jīng)濟(jì)行為主體對風(fēng)險貼水或風(fēng)險溢價的態(tài)度問題定義風(fēng)險貼水指的是一個風(fēng)險規(guī)避者為了避免承擔(dān)風(fēng)險而愿意放棄的投資收益或投資收率的額度。在金融學(xué)的運(yùn)用中，風(fēng)險貼水作為一個術(shù)語通常指的是風(fēng)險證券的預(yù)期收益率與無風(fēng)險資產(chǎn)的預(yù)期收益率之間的差額。用確定性等價收益或確定性等價收益率定義：

定義是投資者為了避免參與賭博（一個不確定性）而愿意放棄的財富或交納的罰金的最大數(shù)量，如果第四十頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/740更一般的表示為：

其中這個罰金又稱為馬科維茨風(fēng)險溢價（Markowitzriskpremium）。第四十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/741

圖1－2風(fēng)險貼水（溢價）概念第四十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/742稱為普拉特－阿羅風(fēng)險溢價（Pratt-Arrowriskpremium）。稱為（普拉特－阿羅）絕對風(fēng)險厭惡度量（absoluteriskaversion）。

第四十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/743

1.7風(fēng)險大小的測量利用風(fēng)險貼水度量利用風(fēng)險貼水度量，取決于對經(jīng)濟(jì)行為主體的假定只是對于同一類經(jīng)濟(jì)行為主體，風(fēng)險貼水值的大小才能衡量風(fēng)險程度的大小風(fēng)險貼水測度依賴于經(jīng)濟(jì)行為主體的主觀條件，與決策者的主觀評價（偏好關(guān)系）有關(guān)。

第四十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/744利用方差測度方差純粹是從風(fēng)險的數(shù)量特征來測定風(fēng)險的程度（大小）的在一定意義上可以認(rèn)為，方差對于風(fēng)險的測度是客觀的，描述了選擇結(jié)果偏離預(yù)期值的程度，而與經(jīng)濟(jì)行為主體的主觀條件無關(guān)。第四十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7451.8風(fēng)險厭惡的度量風(fēng)險厭惡度量的導(dǎo)出在一定的假設(shè)條件下，即經(jīng)濟(jì)行為主體面對的是公平博彩并且風(fēng)險很小時，普拉特（Pratt1964年）和阿羅（Arrow,1970年）分別證明經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)特征

可以用來度量經(jīng)濟(jì)行為主體的風(fēng)險厭惡程度。第四十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/746絕對風(fēng)險厭惡度量對于具有二次連續(xù)可微的效用函數(shù)的經(jīng)濟(jì)行為主體，我們定義如下的風(fēng)險厭惡度量

為阿羅－普拉特絕對風(fēng)險厭惡度量。風(fēng)險容忍度（risktolerance）阿羅－普拉特相對風(fēng)險厭惡度量

第四十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/747

風(fēng)險厭惡度量的性質(zhì)絕對風(fēng)險厭惡度量，主要考察在初始財富相同的條件下，具有不同風(fēng)險厭惡程度的經(jīng)濟(jì)行為主體的風(fēng)險行為特點(diǎn)；相對風(fēng)險厭惡度量，主要考察經(jīng)濟(jì)行為主體隨著個人財富或消費(fèi)的變化，對風(fēng)險資產(chǎn)的投資行為的變化。即當(dāng)財富增加時，其投資于有風(fēng)險資產(chǎn)的財富比例的變化。第四十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/748普拉特定理假設(shè)是兩個二次可微的，嚴(yán)格單調(diào)遞增的凹函數(shù)，那么以下三種表述方式是等價的：命題4

假設(shè)投資者i比k具有更強(qiáng)的風(fēng)險厭惡，若要使他們對風(fēng)險投資進(jìn)行等量投資，則對i來說需求的風(fēng)險溢價要比k所需求大。就是說，風(fēng)險厭惡傾向強(qiáng)的投資者對風(fēng)險投資相對更小。第四十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/749定義(Arrow,1970)

前面都是假定投資者的初始財富不變。現(xiàn)在我們考察隨著個人財富的增加投資者對風(fēng)險資產(chǎn)的投資變化，從而可以觀察投資者對風(fēng)險資產(chǎn)的態(tài)度，是否將風(fēng)險資產(chǎn)視為正常品（normalgoods).第五十頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/750阿羅－普拉特定理：對于遞減絕對風(fēng)險厭惡的經(jīng)濟(jì)行為主體，隨著初始財富的增加，他對風(fēng)險證券的的投資逐漸增大，也就是說，他視風(fēng)險證券為正常品；對于遞增絕對風(fēng)險厭惡的經(jīng)濟(jì)行為主體，隨著初始財富的增加，他對風(fēng)險證券的的投資逐漸減少，也就是說，他視風(fēng)險證券為劣等品；對常數(shù)絕對風(fēng)險厭惡的經(jīng)濟(jì)行為主體，他對風(fēng)險證券的的投資與初始財富的變動無關(guān)。

第五十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/751阿羅－普拉特相對風(fēng)險厭惡度量：

第五十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/752

由前面可知，假若風(fēng)險厭惡是絕對遞減的，投資者隨著他的財富增加將會加大對風(fēng)險的絕對投資量，但是并不清楚相對于總財富的風(fēng)險投資比例是增大、不變還是減少。為了回答這個問題，進(jìn)一步借助相對風(fēng)險厭惡度量概念。命題5對于遞增相對風(fēng)險厭惡的經(jīng)濟(jì)行為主體，風(fēng)險證券需求的財富彈性小于1（即隨著財富的增加，投資于風(fēng)險資產(chǎn)相對于財富的比例下降）；對于常數(shù)相對風(fēng)險厭惡的經(jīng)濟(jì)行為主體，風(fēng)險證券需求的財富彈性等于1；對于遞減相對風(fēng)險厭惡的經(jīng)濟(jì)行為主體，風(fēng)險證券需求的財富彈性大于1。第五十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/7531.8兩基金貨幣分離

對于多種風(fēng)險資產(chǎn)的市場，前面的一些結(jié)論未必成立，若投資者持有同一的風(fēng)險資產(chǎn)組合，而對于不同初始財富水平僅僅改變風(fēng)險資產(chǎn)組合與無風(fēng)險資產(chǎn)之間的比例，那么在多種風(fēng)險資產(chǎn)環(huán)境里前面的簡單比較靜態(tài)結(jié)果仍然有效。

兩基金貨幣分離（twofundmonetaryseparation）：

在多種風(fēng)險資產(chǎn)的市場，若投資者的最優(yōu)證券組合對于不同的財富水平總是無風(fēng)險資產(chǎn)和一個風(fēng)險資產(chǎn)共同基金的線性組合，對于不同初始財富水平僅僅改變風(fēng)險資產(chǎn)組合與無風(fēng)險資產(chǎn)之間的比例。這種現(xiàn)象被稱為兩基金貨幣分離。即最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)投資為

其中為與無關(guān)常數(shù)，此即

第五十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2023/2/754定理（Cass&Stiglitz,1970）假設(shè)資產(chǎn)市場具有多種風(fēng)險資產(chǎn)，存在兩基金貨幣分離現(xiàn)象的充要條件是效用函數(shù)滿足對于所有的z。稱證券組合是部分分離的（partiallyseparated），如果