第十二講關(guān)于虛擬變量的回歸

誠(chéng)信試驗(yàn)

一位經(jīng)濟(jì)學(xué)家A為了研究誠(chéng)信，在10個(gè)地方作誠(chéng)信試驗(yàn)。在不同的商店買東西，每一次都付兩次錢，看有多少人拒絕第二次付款。連試了9個(gè)店主，沒(méi)有一個(gè)人拒絕第二次付款。態(tài)度最好的那個(gè)店主，也只是淡淡地說(shuō)：“你真是個(gè)好人。”那神情不知道是贊揚(yáng)還是嘲笑。1

最后一次，A找了個(gè)熟人進(jìn)行試驗(yàn)。到一老同學(xué)開(kāi)的店買了一瓶礦泉水。幾分鐘后，A再次進(jìn)店說(shuō):“哎呀，老同學(xué)，我剛才忘了給錢?！崩贤瑢W(xué)說(shuō)：“算我送給你喝吧?！盇想把試驗(yàn)進(jìn)行到底，就說(shuō)“那怎么行？”掏出兩塊錢遞過(guò)去。老同學(xué)竟伸手來(lái)接，A真不想松手。（？）2就在那張錢一半在A手里，一半在老同學(xué)手里時(shí)，老同學(xué)的兒子叫到“媽媽，阿姨不是給過(guò)錢了嗎？那張錢還在你手里呢?！钡拇_，老同學(xué)手里正拿著A剛給的兩元錢。老同學(xué)非常尷尬的松開(kāi)手。A很后悔用熟人來(lái)做試驗(yàn)，尷尬地走出了飲料店。剛到街上，就聽(tīng)到那個(gè)講實(shí)話的小男孩在店里放聲大哭，一定是老同學(xué)在打他了。3誤解一次A先生乘公交車回家，上車后發(fā)現(xiàn)錢包里沒(méi)有一元零鈔，一著急，掏出一張十元大鈔投進(jìn)投幣口。想想挺窩囊，便與司機(jī)商量，能否守在門口，將后面乘客本應(yīng)投進(jìn)投幣口的錢作為找零據(jù)為己有？司機(jī)同意了（盡管有些不耐煩）。4到下一站時(shí)，很多人爭(zhēng)著上車。A檔在門口，對(duì)第一位乘客說(shuō)：“把錢給我?！睂?duì)方一愣：“憑啥？”三言兩語(yǔ)也解釋不清，我就說(shuō)：“給我就行了，別的不用管。”對(duì)方瞅瞅司機(jī)，司機(jī)點(diǎn)頭默許。于是，一元錢到手。依法炮制，很快收了八個(gè)一元錢。我心里暗自高興，一種輕松的感覺(jué)漸漸涌上心頭。5這時(shí)，上來(lái)一位大漢，虎背熊腰，剃著板寸，露著刺青。見(jiàn)我攔著他，怒道：“干嘛？哥們兒?！蔽艺f(shuō)：“一會(huì)兒再跟你說(shuō)，先把錢給我?！睂?duì)方眼珠子都圓了：“說(shuō)啥呢？”我說(shuō)：“把錢給我！”對(duì)方張大了嘴，沖司機(jī)問(wèn)：“這小子干嗎的？”大漢堵在門口，后面的人上不來(lái)，而車廂里的乘客急著發(fā)車，大家七嘴八舌地嚷起來(lái)了：“啰唆什么呢！快給錢！”6大漢很快癟了下去。只見(jiàn)他從口袋里掏出一個(gè)錢包遞過(guò)來(lái)，哭喪著臉說(shuō)：“老大，身上就這點(diǎn)錢，你們?nèi)硕?，我服了！?關(guān)于虛擬變量的回歸1、虛擬變量的性質(zhì)2、對(duì)一個(gè)定量變量和一個(gè)兩分定性變量的回歸3、對(duì)一個(gè)定量變量和一個(gè)多分定性變量的回歸4、對(duì)一個(gè)定量變量和兩個(gè)定性變量的回歸5、一個(gè)例子：“兼職”經(jīng)濟(jì)學(xué)6、檢驗(yàn)回歸模型的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性7、比較兩個(gè)回歸：虛擬變量法8、比較兩個(gè)回歸：進(jìn)一步說(shuō)明9、交互作用效應(yīng)10、虛擬變量在季節(jié)分析中的應(yīng)用11、分段線性回歸12、在時(shí)間序列和橫截面數(shù)據(jù)的合并中使用虛擬變量13、虛擬變量方法的一些技術(shù)問(wèn)題8一、虛擬變量的性質(zhì)虛擬變量，是一種離散結(jié)構(gòu)的量，用來(lái)描述所研究變量的發(fā)展或變異而建立的一類特殊變量，常用來(lái)表示職業(yè)、性別、季節(jié)、災(zāi)害、經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)變化、受教育程度等的影響。此外它還有一些其他的名稱，如指標(biāo)變量、二值變量、范疇變量、定性變量和二分變量。量化虛擬變量的方法通常是賦值“1”和“0”。在回歸模型中，對(duì)定量變量和虛擬變量的估計(jì)方法是一樣。9如果一個(gè)模型中的自變量全都是虛擬變量，通常對(duì)這種模型的分析方法稱之為方差分析。（為什么把這種模型稱為方差分析模型？）一個(gè)教授年薪的模型：其中表示教授的年薪10根據(jù)所給數(shù)據(jù)可以估計(jì)出如下結(jié)果：估計(jì)方法與前面說(shuō)講的方法沒(méi)有區(qū)別。由于這個(gè)模型與單因素方差分析統(tǒng)計(jì)模型的原理及所要表達(dá)的統(tǒng)計(jì)意義一致，因此這個(gè)最簡(jiǎn)單的虛擬變量模型也稱之為方差分析模型111213二、一個(gè)定量變量和一個(gè)兩分定性變量仍然用上面的例子，只是引入教齡作為解釋變量。有如下模型：

表示教齡，其他定義如前。這個(gè)模型的系數(shù)估計(jì)用ols即可完成。1415主要以下幾點(diǎn)需要注意：1、雖然有男、女兩個(gè)分類，但是只用一個(gè)虛擬變量。更通用的規(guī)則是：如果一個(gè)定性變量有m個(gè)類別，則引入m-1個(gè)虛擬變量。2、虛擬變量的取值是隨意，但是一旦取定之后要能合理地解釋其意義。3、被賦予零值的那個(gè)類別通常稱為基底。它是用以和其他類別作比較的一個(gè)基礎(chǔ)。4、虛擬變量的系數(shù)稱為級(jí)差截距系數(shù)，它表示取值1的類別的截距值和基底類的截距值相比有多大差別。16三、一個(gè)定量變量和一個(gè)多分定性變量假設(shè)在橫截面數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，分析個(gè)人保健支出對(duì)個(gè)人收入和教育水平的回歸。教育水平是定性變量，分為三類：低于中學(xué)、中學(xué)和大學(xué)。模型中引入兩個(gè)虛擬變量。模型如下：其中＝保健年度支出＝年度收入

1718四、一個(gè)定量變量和兩個(gè)定性變量回顧前面學(xué)院教授薪金回歸模型，現(xiàn)在假定除了教齡和性別之外，膚色也是一個(gè)重要的薪金決定因素。膚色假定只有兩種情況：黑和白。于是模型改寫為：其中表示學(xué)院教授的薪金表示教齡

19假定，則可以得到以下回歸：黑人女教授平均薪金：黑人男教授平均薪金：白人女教授平均薪金：白人男教授平均薪金：20五、一個(gè)例子：“兼職”經(jīng)濟(jì)學(xué)在國(guó)外，把持有兩份工作的人稱為“夜襲者”。Shisko和Rostker為了發(fā)現(xiàn)是什么因素影響這些人的工薪。根據(jù)318名夜襲者的數(shù)據(jù)建立了如下回歸模型：表示夜襲工資，表示主業(yè)工資，race＝0白人，race＝1非白人；urban=0非城里人，urban＝1城里人；reg＝0非西部，reg＝1西部；hisch=0非畢業(yè)，hisch＝1中學(xué)畢業(yè)；age表示年齡。21當(dāng)所有虛擬變量都為0時(shí)，可以得到白人、非城鎮(zhèn)、非西部、非中學(xué)畢業(yè)夜襲者的平均小時(shí)工薪模型：當(dāng)所有虛擬變量都為1時(shí)，可以得到非白人、城鎮(zhèn)、西部、中學(xué)畢業(yè)夜襲者的平均小時(shí)工薪模型：22六、檢驗(yàn)回歸模型的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定前面的虛擬變量模型只考慮了影響回歸截距的情形，這一節(jié)將分析存在變斜率的虛擬變量模型。仍然用聯(lián)合王國(guó)儲(chǔ)蓄－收入數(shù)據(jù)。（數(shù)據(jù)：略）數(shù)據(jù)分為兩期：重建時(shí)期：重建后時(shí)期：其中Y表示儲(chǔ)蓄，X表示收入。23這兩個(gè)回歸模型可能有以下四種情形：1、和；兩個(gè)回歸相同。(重復(fù)回歸)2、但；平行回歸，截距不同。3、但；相匯回歸，截距相同，斜率不同。4、且；相異回歸，所有這些情形都說(shuō)明模型發(fā)生了結(jié)構(gòu)性變化，下面將用虛擬變量模型來(lái)處理結(jié)構(gòu)性變化。2425七、比較兩個(gè)回歸：虛擬變量法將儲(chǔ)蓄－收入模型中兩期數(shù)據(jù)進(jìn)行合并，重新建立以下回歸模型：和同前，觀測(cè)值屬于重建時(shí)期；觀測(cè)值屬于重建后時(shí)期。假定E(ui)=026根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得到如下結(jié)果：各個(gè)系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上都是顯著的?？梢钥隙▋蓚€(gè)時(shí)期的回歸是相異的。重建時(shí)期重建后時(shí)期272829303132八、比較兩個(gè)回歸：進(jìn)一步說(shuō)明虛擬變量技術(shù)在實(shí)際中有很多的應(yīng)用，下面是一個(gè)關(guān)于英國(guó)失業(yè)和空缺的例子。從1958年第4季度到1971年第2季度的失業(yè)率與職位空缺率的關(guān)系。通過(guò)散點(diǎn)圖可以看出在1966年4季度前后曲線發(fā)生了明顯的變動(dòng)。作者認(rèn)為這是因?yàn)楣h的失業(yè)補(bǔ)貼政策發(fā)生了重大變化，致使失業(yè)等待時(shí)間更長(zhǎng)，給定的空缺所對(duì)應(yīng)的失業(yè)人數(shù)更多。33建立以下模型：UN=失業(yè)率，％V=職位空缺率。％D=1從1966年4季度開(kāi)始以后的時(shí)期＝0

1966年4季度以前的時(shí)期估計(jì)得到如下結(jié)果：34353637九、交互作用效應(yīng)再考慮這樣一個(gè)模型：其中表示衣著方面的年度開(kāi)支表示收入該模型隱含的假定是，在兩種教育水平之間性別的級(jí)差效應(yīng)保持不變，在兩種性別之間教育的級(jí)差效應(yīng)保持不變。38這種假定顯然是站不住腳的。顯然上過(guò)大學(xué)的男性與女性在衣著方面支出差距比沒(méi)上過(guò)大學(xué)的肯定大或者說(shuō)不一樣。這就是存在所謂的交互效應(yīng)。簡(jiǎn)單一點(diǎn)，上過(guò)大學(xué)和性別這兩個(gè)因素對(duì)衣著支出的影響不是獨(dú)立的，他們相互影響，也即交互效應(yīng)。39模型修正為：＝女性的級(jí)差效應(yīng)＝大學(xué)畢業(yè)的級(jí)差效應(yīng)＝女大學(xué)畢業(yè)生的級(jí)差效應(yīng)交互作用虛擬變量的系數(shù)是否在統(tǒng)計(jì)上顯著，可通過(guò)平常的t檢驗(yàn)加以驗(yàn)證。錯(cuò)誤地忽略一個(gè)顯著的交互作用項(xiàng)將導(dǎo)致模型設(shè)定上的偏誤。40十、虛擬變量在季節(jié)分析中的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)有時(shí)會(huì)呈現(xiàn)一種季節(jié)波動(dòng)。這一點(diǎn)在時(shí)間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)比較多。當(dāng)然現(xiàn)在有很多方法來(lái)消除季節(jié)波動(dòng)，下面主要講述用虛擬變量方法怎么解決季節(jié)波動(dòng)的問(wèn)題。例子：美國(guó)制造業(yè)的利潤(rùn)－銷售額行為其中＝利潤(rùn)，＝銷售額

41根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，估計(jì)結(jié)果如下：結(jié)果表明只有銷售額和第二季度的系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上顯著。因此可以重新考慮以下模型，只引入一個(gè)虛擬變量以區(qū)別第二季度和其他季度。42新的模型估計(jì)結(jié)果如下：注意：這里我們所建立的模型都沒(méi)有考慮銷售額的斜率系數(shù)是否隨著季節(jié)變化，只是考慮了截距項(xiàng)的變化。關(guān)于這一點(diǎn)可以通過(guò)乘積性虛擬變量技術(shù)加以檢驗(yàn)4344十一、分段線性回歸虛擬變量的另一種用途。

在銷售沒(méi)有達(dá)到給定銷售水平之前以一種方式支付傭金，在銷售額達(dá)到給定銷售水平之后以另一種方式支付傭金。45根據(jù)所給條件建立如下回歸：＝給定銷售水平，又稱為結(jié)點(diǎn)。＝1如果＝0如果達(dá)到銷售水平以前的平均傭金達(dá)到銷售水平以后的平均傭金4647十二、在時(shí)間序列和橫截面數(shù)據(jù)的合并中使

用虛擬變量混合回歸Grunfeld研究總投資()與廠商的價(jià)值(

)和資本存量(

)之間的關(guān)系一個(gè)例子。研究對(duì)象分別是通用汽車、西屋電氣和通用電氣。研究、、之間的關(guān)系有如下三種方式：１、對(duì)每一個(gè)廠商進(jìn)行時(shí)間序列回歸：通用汽車：西屋電氣：48２、對(duì)每一年做一個(gè)橫截面回歸。但是在本例中樣本過(guò)少，只有3個(gè)廠商。如果有15～20或以上，這也是一種思路。３、把所有樣本數(shù)據(jù)聚合，做一個(gè)回歸：i=1,2t=1,2,…,20.這就是混合回歸的一個(gè)例子，這個(gè)回歸假定了回歸參數(shù)不隨時(shí)間變化，并且在各個(gè)橫截面之間沒(méi)有差異，不存在異方差。49在僅考慮這樣一種情形：通用汽車和西屋電氣的投資函數(shù)有不同截距，但有相同的斜率，并且誤差項(xiàng)都滿足經(jīng)典假設(shè)。模型可改寫為：

其中對(duì)通用汽車的觀測(cè)值??；否則取零。如果是統(tǒng)計(jì)上的顯著的，這就意味這著通用汽車投資函數(shù)的截距不同于西屋電氣投資函數(shù)的截距。具體估計(jì)結(jié)果如下：50十三、虛擬變量方法的一些技術(shù)問(wèn)題1、在半對(duì)數(shù)回歸中的虛擬變量的解釋回顧前面的關(guān)于線性到對(duì)數(shù)回歸模型的討論。加入虛擬變量之后的模型變?yōu)椋浩渲校綄W(xué)院教授的起薪，＝教齡，D＝1男性，D=0女性。對(duì)于的解釋前面已經(jīng)介紹的很清楚了?，F(xiàn)在關(guān)鍵要考慮虛擬變量的系數(shù)的解釋。51這方面的解釋可以參照霍爾沃森和帕姆奎斯特的建議：均值的相對(duì)變化取所估的虛擬喜事的反對(duì)數(shù)再?gòu)闹袦p１。書上舉了一個(gè)學(xué)院教授薪金與教齡和性別的假想例，估計(jì)結(jié)果如下：重點(diǎn)是看虛擬變量的解釋：在其他情況不變的情況下，男教授的平均薪金比女教授高出＝0.1435，即14.35％。522、避免虛擬變量陷阱的另一種方法再考慮前面的教授薪金模型：把模型改寫為：在去掉截距項(xiàng)之后，數(shù)據(jù)不再有完全共線性的問(wèn)題。其實(shí)仔細(xì)看上面的模型就是一個(gè)過(guò)原點(diǎn)回歸模型。這個(gè)模型雖然可以避免多重共線性的問(wèn)題，但是要注意他的并不總是有意義。遵循我們前面的規(guī)則：如果有m個(gè)類別，就選擇(m-1)個(gè)虛擬變量。533、虛擬變量與異方差前面所考慮的模型都沒(méi)有考慮異方差的問(wèn)題，包括在分段回歸中，如果兩個(gè)時(shí)期的回歸方程都不一樣，怎么保證他們有相同的殘差方差？也許求得系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上顯著，而實(shí)際上卻并不如此。當(dāng)然，對(duì)于異方差的問(wèn)題，我們已經(jīng)有很好的工具來(lái)解決這一問(wèn)題544、虛擬變量與自相關(guān)考慮以下涉及時(shí)間序列數(shù)據(jù)的模型：

其中第一時(shí)期的觀測(cè)值??；而對(duì)第二時(shí)期的觀測(cè)值取。再假定誤差項(xiàng)按一階自回歸方式生成。即：。滿足標(biāo)準(zhǔn)假定。對(duì)于一階自相關(guān)可以用一階迭代法解決。但是對(duì)于虛擬變量，有另外一套解決辦法55馬達(dá)拉的建議：１、在第一時(shí)期的全部觀測(cè)取值為零；在第二期中，對(duì)第一個(gè)觀測(cè)值為，但對(duì)其余觀測(cè)值取為1。２、將變量變換為。將失去一個(gè)觀測(cè)值。３、在第一時(shí)期的全部觀測(cè)取的值為零（注意在第一時(shí)期里為零）；在第二時(shí)期里，第一個(gè)觀測(cè)值取，并置第二時(shí)期的其余觀測(cè)值為56海能裝那么多水