初中數(shù)學(xué)浙教版九年級下冊第2章直線與圓的位置關(guān)系三角形的內(nèi)切圓(n)

2．3三角形的內(nèi)切圓1.等邊三角形內(nèi)切圓的半徑r與它外接圓的半徑R的比值為eq\f(1,2)．2．直角三角形的兩條直角邊長分別為3cm和4cm，則它的外接圓的半徑是cm，內(nèi)切圓的半徑是__1__cm.3．如果一個三角形的周長為10，面積為S，內(nèi)切圓的半徑為r，那么r∶S＝__1∶5__．4．三角形的內(nèi)心具有的性質(zhì)是(B)A．內(nèi)心到三個頂點的距離相等B．內(nèi)心到三邊的距離相等C．內(nèi)心是三角形三條垂直平分線的交點D．內(nèi)心有可能在內(nèi)切圓的外部(第5題)5．如圖，O是△ABC的內(nèi)心，過點O作EF∥AB，與AC，BC分別交于點E，F(xiàn)，則(C)A．EF>AE＋BFB．EF<AE＋BFC．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF6．已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20cm，則AC的長為(C)A．40cmB．35cmC．20eq\r(3)cmD．18eq\r(3)cm7．已知等腰直角三角形的外接圓半徑為5，則內(nèi)切圓半徑為(C)A．5eq\r(2)＋5B．12eq\r(2)－5C．5eq\r(2)－5D．10eq\r(2)－108．如圖，已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別是點D，E，F(xiàn)，且∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4.求∠DEF∶∠EDF∶∠EFD.(第8題)【解】連結(jié)OE，OF，則∠BEO＝∠BFO＝90°，∴∠EOF＝360°－90°×2－180°×eq\f(3,9)＝120°，∴∠EDF＝60°.同理，∠DEF＝70°，∠EFD＝50°.∴∠DEF∶∠EDF∶∠EFD＝70°∶60°∶50°＝7∶6∶5.9．如圖，等邊△ABC的內(nèi)切圓⊙O面積為9π，求△ABC的周長l.(第9題)【解】設(shè)等邊△ABC與內(nèi)切圓⊙O的切點分別為E，F(xiàn)，G，如圖所示，連結(jié)OB，OF.∵⊙O的面積為9π，∴OF＝3.∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝60°.∵BE，BF都是⊙O的切線，∴BE＝BF，∠OBF＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∵OF⊥BC，∴BF＝3eq\r(3).同理，CF＝3eq\r(3)，即BC＝6eq\r(3).∴△ABC的周長l＝3×6eq\r(3)＝18eq\r(3).10．如圖，已知點E是△ABC的內(nèi)心，∠A的平分線交BC于點F，且與△ABC的外接圓交于點D.(1)求證：DE＝DB＝DC；(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，求DE的長．(第10題)【解】(1)∵點E是△ABC的內(nèi)心，∴∠4＝∠5，∠2＝∠3.又∵∠1＝∠5，∠4＝∠6，∴∠1＝∠6，∴BD＝CD.∵∠DBE＝∠1＋∠2，∠DEB＝∠3＋∠4，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE.∴DE＝DB＝CD.(2)∵DF∶FA＝1∶3，∴DF∶AD＝1∶4.∴eq\f(DF,8)＝eq\f(1,4)，∴DF＝2.∵∠BDF＝∠ADB，∠1＝∠5＝∠4，∴△DBF∽△DAB，∴eq\f(DB,DA)＝eq\f(DF,DB)，∴DB2＝DA·DF.∴DB2＝8×2＝16，∴DE＝DB＝4cm.(第11題)11．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝12cm，BC＝16cm.⊙O1，⊙O2分別為△ABC，△ADC的內(nèi)切圓，點E，F(xiàn)為切點，則EF的長是__4__cm.【解】由勾股定理可求得AC＝20.由r＝eq\f(a＋b－c,2)可得O1E＝4.由AE＝AB－r，得AE＝8.同理，F(xiàn)C＝8.∴EF＝AC－AE－FC＝4.(第12題)12．如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6.經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CA，CB分別交于點P，Q，則線段PQ的長度的最小值為(B)A．B．C．5D．【解】設(shè)AB與動圓切于點D.∵AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，∴PQ為動圓直徑．∴當(dāng)CD為動圓直徑時，動圓直徑最小，而此時CD＝eq\f(6×8,10)＝，∴PQ＝CD＝.(第13題)13．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC與∠ABC的平分線相交于點I，延長AI交⊙O于點D，連結(jié)BD，DC.(1)求證：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半徑為10cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面積．【解】(1)∵AI和BI分別是∠BAC和∠ABC的平分線，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴BD＝CD，∠DBC＝∠2＝∠1.∵∠DBI＝∠DBC＋∠4，∠DIB＝∠3＋∠1.又∵∠3＝∠4，∠DBC＝∠1，∴∠DBI＝∠DIB.∴BD＝DI.∴DB＝DC＝DI.(2)∵∠BAC＝120°，∴∠1＝∠2＝∠BCD＝60°.∵BD＝DC，∴△DBC是正三角形．∵⊙O的半徑為10cm，即BO＝DO＝CO＝10cm，∴BD＝10eq\r(3)cm.∴S△BDC＝eq\f(\r(3),4)×(10eq\r(3))2＝75eq\r(3)(cm2)．14．如圖，在銳角△ABC中，BC＝5，sin∠BAC＝eq\f(4,5)，點I為三角形ABC的內(nèi)心，AB＝BC，求AI的長．(第14題)【解】連結(jié)CI，BI，且延長BI交AC于點F，過點I作IG⊥BC于點G，IE⊥AB于點E.∵AB＝BC＝5，點I為△ABC的內(nèi)心，∴BF⊥AC，AF＝CF.在Rt△ABF中，∵sin∠BAC＝eq\f(4,5)＝eq\f(BF,AB)，∴BF＝4.∴AF＝eq\r(BA2－BF2)＝3，∴AC＝6.∵點I是△ABC的內(nèi)心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE＝IF＝IG.∴S△ABC＝eq\f(1,2)(