影響單擺實(shí)驗(yàn)誤差的幾個(gè)因素探析

影響單擺實(shí)驗(yàn)誤差的幾個(gè)因素探析第一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日“基礎(chǔ)知識(shí)部分”一、誤差概念一、測(cè)量誤差的基本概念基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)第二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日真值1.真值在一定條件下，任何一個(gè)物理量的大小都是客觀存在的，都有一個(gè)移的客觀量值，稱為真值。以表示。不依人的意志為轉(zhuǎn)a嚴(yán)格的完善測(cè)量難以做到，故真值就不能確定。約定真值：理論真值：理論設(shè)計(jì)值，公理值，理論公式計(jì)算值。計(jì)量約定值：國(guó)際計(jì)量大會(huì)規(guī)定的各種基本單位值，基本常數(shù)值。標(biāo)準(zhǔn)器件值：高級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器件值作為較低級(jí)儀表的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)值。算術(shù)平均值：測(cè)量次數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，測(cè)量值的算術(shù)平均值趨于真值。第三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日誤差2.測(cè)量誤差a指測(cè)量值與待測(cè)量的真值之差。若某物理量的測(cè)量結(jié)果為，其真值為，則測(cè)量誤差定義為：根據(jù)誤差的性質(zhì)，測(cè)量誤差可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。x第四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日系統(tǒng)誤差是重復(fù)測(cè)量中保持恒定或以可預(yù)知(1)系統(tǒng)誤差（簡(jiǎn)稱系差）系差特點(diǎn)：確定性、有規(guī)律性、可修正性。系差來(lái)源：儀器不完善或使用不當(dāng)；環(huán)境的恒定因素；理論或方法誤差；實(shí)驗(yàn)者生理或心理的固有特點(diǎn)等。方式變化的誤差分量。第五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日已定、未定系差系差分類：（按其可掌握程度分）已定系差指誤差取值的變化規(guī)律及其符號(hào)和絕對(duì)值都能確切掌握的誤差分量。修正公式為：已修正結(jié)果=測(cè)量值（或平均值）已定系差-未定系差指不能確切掌握誤差取值的變化規(guī)律及其符號(hào)和絕對(duì)值的系差分量。儀表的基本允許誤差主要屬于未定系差。第六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)誤差(2)偶然誤差是重復(fù)測(cè)量中以不可預(yù)知的方式變化的誤差分量。偶然誤差特點(diǎn)：隨機(jī)性、服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。偶然誤差服從正態(tài)分布規(guī)律。正態(tài)分布偶然誤差的特征下面介紹其中的兩個(gè)基本概念：實(shí)驗(yàn)值及平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差概念第七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日正態(tài)分布正態(tài)分布偶然誤差的特征若對(duì)某物理量作無(wú)數(shù)次重復(fù)測(cè)量，服從正態(tài)分布時(shí)x測(cè)量值出現(xiàn)的概率密度為f(x(，f(x(x拐點(diǎn)拐點(diǎn)ss68.3%mm+m稱為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差表征測(cè)量的分散性-Si1nxinlim∞n=平均值稱為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差第八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D示ssmm+m-68.3%m-s2m+s295.4%m99.7%x-s3x+s3xxf(x(正態(tài)概率分布f(x(xxsx+sx-測(cè)量的分散性較大f(x(xssxx+x-測(cè)量的分散性較小第九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)差基本特征f(x(x拐點(diǎn)拐點(diǎn)ss68.3%mm+m-正態(tài)分布偶然誤差有四個(gè)基本特征絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率近于零；偶然誤差的算術(shù)平均值隨著測(cè)量次數(shù)單峰性絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的率大；的增加而減小，最后趨近于零。絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的幾率相等；對(duì)稱性有界性抵償性歸納第十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)偏差實(shí)驗(yàn)值及平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差概念測(cè)量值的算數(shù)平均值=Si1nxin1x實(shí)際上測(cè)量次數(shù)總是有限的，在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，n通常取≤n≤105，一般采用下述定義式進(jìn)行評(píng)估平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差=xs=nSi21n(xi)nx1=n()xs（表征同一被測(cè)量的各個(gè)測(cè)量列平均值的分散性）多次實(shí)驗(yàn)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差Si21n(xi)nx1==xs（表征隨機(jī)誤差引起測(cè)得值的分散性）xi第十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日二、不確定度概念二、測(cè)量不確定度的基本概念第十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日必要性真值誤差因此，誤差無(wú)法按其定義式精確求出，理論上是對(duì)真值而言一般不可能準(zhǔn)確知道不應(yīng)將任何一個(gè)確定的已知值稱作誤差。誤差的估計(jì)值或數(shù)值指標(biāo)應(yīng)采用另一個(gè)專門名稱，這個(gè)名稱就是不確定度現(xiàn)實(shí)可行的辦法就只能根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量條件進(jìn)行推算（包括統(tǒng)計(jì)推算和其它推算），去求得誤差的估計(jì)值。第十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日定義用來(lái)表征被測(cè)量的真值所處的量值散布范圍內(nèi)的評(píng)定。即表示由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能確定的程度。不確定度通常用表示。u不確定度所反映的是可能存在的誤差分布范圍，即偶然誤差分量和未定系差分量的聯(lián)合分布范圍。u內(nèi)的概率約等于或大于0.95。表示真值在區(qū)間()xu—，xu+某個(gè)被測(cè)量的直接測(cè)量結(jié)果表達(dá)式：x+=xu—x第十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日兩類分量不確定度有A、B兩類分量：A類分量uA偶然誤差引起（重復(fù)測(cè)量時(shí)）用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法計(jì)算的分量B類分量ujBj(=1,2,...(系統(tǒng)誤差引起是用其它方法（非統(tǒng)計(jì)方法）評(píng)定的分量。兩類分量用方和根法合成：+2Sj((ujB=uA2u第十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日A類分量計(jì)算1.直接測(cè)量結(jié)果不確定度的評(píng)定A(1)類分量的計(jì)算uA重復(fù)測(cè)量次數(shù)為n時(shí)，uA由平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差S求得，即第十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日B類分量計(jì)算B(2)類分量的計(jì)算uB實(shí)驗(yàn)中直接測(cè)量的B類分量uB近似取儀器誤差限值,是認(rèn)為uB主要由儀器的廠家給出的儀器誤差限值或最大允許誤差△I，實(shí)際上就是一種未定系差。取誤差性質(zhì)決定的。Xms%儀器米尺最小刻度的一半螺旋測(cè)微器最小刻度的一半游標(biāo)卡尺精度（尺上標(biāo)明）數(shù)字顯示儀器顯示的最小單位電表量程級(jí)別常用儀器的rIrI第十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果表達(dá)不確定度用下式計(jì)算u(3)物理量直接測(cè)量結(jié)果的表達(dá)+=xu—X（單位）ur=ux稱為相對(duì)不確定度ur稱為不確定度u，X如果是多次直接測(cè)量，則式中為平均值xx+2Sj((ujB=uA2u第十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日間接測(cè)量不確定度2.間接測(cè)量結(jié)果的不確定度合成設(shè)間接被測(cè)量為Y，有m個(gè)直接被測(cè)量，分別為X1，X2，…，Xm，它們之間的函數(shù)關(guān)系為)Y=f)...X1X2Xm,,其全微分式=Si=1mef)X)iXieYddXi對(duì)于有限小量=Si=1mef)X)iXieYXi△△其標(biāo)準(zhǔn)差的合成式sY=Si=1mesXi2f)X)iXie第十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日傳遞公式由SY=Si=1keSXi2f)X)iXie可求不確定度(1)測(cè)量不確定度的傳遞公式uY=Si=1keuXi2f)X)iXie是各直接測(cè)量量的不確定度uXiXi=Si=1keflnuXi2XieuYY2若中各量間是積商關(guān)系f)X)i用相對(duì)不確定度來(lái)合成更方便第二十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算步驟(2)間接測(cè)量結(jié)果不確定度的評(píng)估間接測(cè)量結(jié)果不確定度的計(jì)算步驟①。先求出各直接測(cè)量量的平均值、不確定度的A、B兩類分量，再求出各直接測(cè)量量的不確定度uXi根據(jù)和XiY的函數(shù)關(guān)系式寫出的全微分表達(dá)式Y(jié)；；不確定度的傳遞公式用已述Y求的或uYYuY。uY=Si=1keuXi2f)X)iXie用時(shí)，如果某一分量小于最大分量（或合成結(jié)果）的1/5到1/6，可將這一分量看作是可忽略的微小分量而將其刪除。第二十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果表達(dá)間接測(cè)量結(jié)果的表達(dá)②間接測(cè)量結(jié)果的表示方法與直接測(cè)量類似，+=yu—Y（單位）Yur=uyY最佳估值（平均值）代入函數(shù)關(guān)系式求得。為間接測(cè)量量的最佳估值，由各直接測(cè)量的y寫成以下形式：第二十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例：測(cè)圓柱體體積V測(cè)圓柱體直徑d和高度hh/cm3.2503.2523.2583.2563.2583.250d/cm2.8142.8242.8202.8242.8202.818計(jì)算：使用計(jì)算器圓柱體體積公式：將d和h的測(cè)得值代入上式，求出體積V：第二十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算：(1)求d的u(d)從多次測(cè)量

從鋼直尺合成(2)求h的從多次測(cè)量從游標(biāo)卡尺，合成第二十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日(3)V的標(biāo)準(zhǔn)不確定度：測(cè)量結(jié)果為

第二十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例一r求密度例已知=(213.040.05)gm±m(xù)hdd量具:h0~125mm分度0.02mm游標(biāo)卡尺80.3880.3780.3680.3780.3680.38mm測(cè)量數(shù)據(jù)量具:0~25mm一級(jí)千分尺19.46519.46619.46519.46419.46719.466mm測(cè)量數(shù)據(jù)單位單位（1）求h及huh=Si1nin1h=80.37mm解法提要第二十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日續(xù)=hsSi21n(hi)n1=h=Si2161=hi)80.37)6=0.0036mmhu=+Bu2Au2=+220.00360.02=0.012mmh=h(80.370.02)mm±hu=±（2）求及udd=Si1nin1=19.466mmdd=sSi21n(in1==Si2161=hi)19.466)6=0.00049mmddd(n()6()n))6((/3第二十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日續(xù)=+Bu2u2=+220.000490.004=0.0042mm=(19.4660.005)mm±u=±dudAdd（3）求r=r±urr=4mpdh2=8.927cmg.-3r=ur(u(mm2+(2(udd2×+(u(2hh=0.048%=ru(r(ur=rru(r(=8.927×0.048%=0.0043cmg.-3r=r±ur=

(8.9270.005)±cmg.-3/3第二十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例二D1D2h例已知=(3.6000.004)cm±D1=(2.8800.004)cm±D2=(2.5750.004)cm±hV求體積解法提要h=V4p(D2-D1(229.436=cm3lnV=ln4p+ln(D2-D1(22+lnhelnVeD2=D22(D2-D1(22,elnVeD1=D12(D2-D1(22,-elnVeh=h1第二十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日=Si=1keflnuXi2XieuYY2應(yīng)用公式即=uYYSi=1keflnuXi2Xie2((2得+D12D2-D122=uVV((2(D22D2-D122(2D22u((D12u+2hh122u=(38.1+24.4+2.4(106_=106_64.9=(uV(ruVV=106_64.9=0.0081=0.81%uV=V0.0081=0.00819.436=0.076cm3=0.08cm3V=

(9.440.08)±cm3續(xù)第三十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日三、數(shù)據(jù)處理知識(shí)三、數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)與方法第三十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明1.有效數(shù)字測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字２.數(shù)據(jù)處理一般方法有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則列表法作圖法逐差法線性回歸法第三十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日有效數(shù)字問(wèn)題舉例闡述基本原則：uX+-X僅含一位有效數(shù)字。（采用保險(xiǎn)性“進(jìn)位法”，即非零全入法取舍）。uX01%0可保留兩位有效數(shù)字。ur根據(jù)確定有效數(shù)字位數(shù)。u其末位有效數(shù)字應(yīng)與對(duì)齊。u（采用統(tǒng)計(jì)性四舍五入法，即“四舍余五入，整五湊偶入”進(jìn)行取舍）。結(jié)果表達(dá)中的有效數(shù)字取舍問(wèn)題結(jié)果表達(dá)中的有效數(shù)字取舍問(wèn)題第三十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日舉例若135.351mmXX則取()mm+-0.3135.4135.350mmX若X則取()mm+-0.3135.4135.250mmX若X則取()mm+-0.3135.2例如：若由測(cè)量和計(jì)算得uX135.341mm0.22mm結(jié)果表達(dá)應(yīng)取成：+-XXu135.3()+-mm0.3uX01%00.23%ur第三十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日作圖基本要求必須用坐標(biāo)紙作圖1.圖線名稱如：U-T圖線;R-T圖線等。2.坐標(biāo)名稱及單位如：U(mv),T(K);R(),T(C)等。W3.分度恰當(dāng)，布圖勻稱在不損失測(cè)量數(shù)據(jù)有效數(shù)字的前提下，并考慮到圖線布局勻稱性，合理設(shè)定坐標(biāo)分度。4.給出最小格值圖例如：T:1mm1.0K,U:1mm5mV等.5.若圖線為直線，在求直線斜率時(shí)應(yīng)注意在直線上選取的兩個(gè)計(jì)算點(diǎn)相距不能太近，以免損失有效數(shù)字。要標(biāo)明計(jì)算點(diǎn)及其坐標(biāo)值，如（110.0,775),(240.0,385).測(cè)量點(diǎn)也應(yīng)有明確標(biāo)記，如等。對(duì)作圖的基本要求對(duì)作圖的基本要求第三十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日舉例TK100.0150.0200.0250.0300UVm400500600700800TU~曲線T：1mm=1.0KU:1mm=5mV(110.0,775)(240.0,385)UraTr385-775240.0-110.0-3.00(mV/K)例：測(cè)得某二極管正向電壓隨溫度的變化數(shù)據(jù)為UTU()VmTK)(110.0125.0140.0............245.0776730690379試作關(guān)系圖，并求溫度系數(shù)TU~UraTr（即圖線斜率）第三十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日二、實(shí)驗(yàn)要求二、實(shí)驗(yàn)課具體要求第三十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)課三個(gè)環(huán)節(jié)

1.課前預(yù)習(xí)

2.課堂實(shí)習(xí)

3.課后小結(jié)每堂實(shí)驗(yàn)課都包括三個(gè)環(huán)節(jié)：第三十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日課前預(yù)習(xí)在原始記錄紙上設(shè)計(jì)好數(shù)據(jù)表，寫出預(yù)習(xí)報(bào)告

了解所用儀器的結(jié)構(gòu)及使用注意事項(xiàng)；

1.課前預(yù)習(xí)

認(rèn)真閱讀教材，明確本次實(shí)驗(yàn)的目的和任務(wù)；

正確理解實(shí)驗(yàn)測(cè)量所依據(jù)的原理、公式及采用的方法；

（包括實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、原理及?shù)據(jù)表格），老師要檢查。第三十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日課堂實(shí)習(xí)2.課堂實(shí)習(xí)

遵守實(shí)驗(yàn)室規(guī)則（不要遲到），按進(jìn)度表順序進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；遵守儀器操作規(guī)則，嚴(yán)肅認(rèn)真，獨(dú)立操作；實(shí)驗(yàn)完畢后，原始數(shù)據(jù)交老師簽字認(rèn)可，整理好桌面儀器。因病、事不能上課者，必須出具醫(yī)院或院系辦證明，否則按曠課論。第四十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日課后小結(jié)3.課后小結(jié)

實(shí)驗(yàn)報(bào)告要用物理系統(tǒng)一的報(bào)告紙撰寫，要求字體工整、文理通順、圖表規(guī)矩、結(jié)論明確。報(bào)告內(nèi)容包括：實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、數(shù)據(jù)記錄與處理、結(jié)果與討論。要盡量用自己的語(yǔ)言寫。下次實(shí)驗(yàn)交前次實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

第四十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)報(bào)告示例用單擺測(cè)定重力加速度【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?．了解決定單擺運(yùn)動(dòng)周期的各種因素及關(guān)系。2．用單擺測(cè)定重力加速度?！緝x器用具】單擺裝置（鋼球直徑約2cm，擺線長(zhǎng)可調(diào)）、秒表（精度0.1s）、游標(biāo)卡尺（CT200-312型，0-15cm，精度0.02mm）、鋼卷尺（0-200cm，精度0.1cm）。第四十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日【實(shí)驗(yàn)原理】其中l(wèi)為擺長(zhǎng)，即擺線支點(diǎn)到小球質(zhì)心的距離；g為實(shí)驗(yàn)地的重力加速度。當(dāng)θ很小時(shí)，對(duì)式（1）取零級(jí)近似，擺動(dòng)周期近似為

單擺由一條細(xì)線和一只小球組成。細(xì)線一端固定，另一端連接小球。細(xì)線幾乎沒(méi)有彈性，小球直徑比線長(zhǎng)小得多，且細(xì)線質(zhì)量比小球質(zhì)量小得多。若把小球偏離平衡位置，使擺線與鉛垂線成θ角，釋放小球。在地球重力場(chǎng)的作用下，小球圍繞平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。擺動(dòng)周期為

若測(cè)出擺長(zhǎng)及周期，即可計(jì)算出實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)的重力加速度。測(cè)量周期時(shí)，為了提高測(cè)量精度減小誤差，可連續(xù)測(cè)量單擺擺動(dòng)多個(gè)周期的總時(shí)間，再除以擺動(dòng)次數(shù)來(lái)求出單次擺動(dòng)的時(shí)間，即周期。

第四十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】1．測(cè)量不同擺長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的周期。1）如圖1所示，用鋼卷尺測(cè)量支點(diǎn)到小球上下端點(diǎn)的距離、計(jì)算擺長(zhǎng)2）分別調(diào)節(jié)擺長(zhǎng)約等于（60、70、80、90、100）cm，保持初始擺角，用秒表測(cè)量單擺連續(xù)擺動(dòng)50個(gè)周期的時(shí)間。對(duì)應(yīng)每個(gè)擺長(zhǎng)，重復(fù)測(cè)量5次。圖1擺長(zhǎng)測(cè)量示意圖2．利用擺長(zhǎng)約等于100cm的結(jié)果計(jì)算重力加速度。

3．保持實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2的擺長(zhǎng)不變，用秒表測(cè)量初始擺角時(shí)，單擺連續(xù)擺動(dòng)10個(gè)周期的時(shí)間，并討論擺角較大時(shí)的擺動(dòng)情況。第四十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日【測(cè)量數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)處理】1．測(cè)量不同擺長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的周期，數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。表1不同擺長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的周期擺長(zhǎng)

初始擺角

50個(gè)周期的時(shí)間周期

1234560.300.04377.9078.1578.0077.9078.1578.020.0561.56040.001170.300.04384.2584.4084.3084.1084.3584.280.0511.68560.001079.800.04389.9089.7089.7589.5589.6589.710.0581.79420.