抽樣分布與估計課件

現(xiàn)代統(tǒng)計與SAS統(tǒng)計推斷的過程樣本總體樣本統(tǒng)計量例如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差等抽樣分布對總體X和給定的，若存在，使，則稱為X分布的上側分位數(shù)或分位數(shù)上側臨介值，使的稱為X分布的雙側分位數(shù)。特別地，若X的分布密度是關于軸對稱的，則它的雙側分位數(shù)是使的例1設求上側分位數(shù)及雙側分位數(shù)。解：上側分位數(shù)分位數(shù)雙側分位數(shù)是：和例2設求上側分位數(shù)及雙側分位數(shù)。解：上側分位數(shù)雙側分位數(shù)分位數(shù)設又是的一個樣本。則因為所以，也服從正態(tài)分布。證法2：由獨立同分布的中心極限定理，又所以例3設是它的一個樣本，求解：正態(tài)總體的樣本均值的抽樣分布自由度記作正態(tài)總體的樣本方差的抽樣分布設又是的一個樣本。則統(tǒng)計量稱服從自由度為的分布，有時也將記作分布——即：服從標準正態(tài)分布的相互獨立的個隨機變量的平方和服從分布。分布的性質(zhì)設且它們相互獨立，則求的分布。解：例4設是它的一個樣本，樣本均值的抽樣分布與中心極限定理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布Xn=16當總體服從正態(tài)分布N~(μ,σ2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態(tài)分布，X的數(shù)學期望為μ，方差為σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心極限定理(centrallimittheorem)當樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布中心極限定理：設從均值為，方差為

2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個任意分布的總體X例5設是它的一個樣本，求的分布。解：使例5設是它的一個樣本，求的分布。使解：例5設是它的一個樣本，求的分布。使解：查表得：即：（上側臨介值：）設且與相互獨立，則隨機變量服從自由度為的分布，記作：正態(tài)總體的樣本均值與標準差之比的抽樣分布該分布的密度函數(shù)圖形類似標準正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形，越大越接近。例6設求上側分位數(shù)及雙側分位數(shù)。解：上側分位數(shù)雙側分位數(shù)正態(tài)總體的樣本均值與標準差之比的抽樣分布正態(tài)總體的樣本均值與標準差之比的抽樣分布設又是的一個樣本。定理5.2則統(tǒng)計量：則統(tǒng)計量：設是的一個樣本定理5.3是的一個樣本。又與相互獨立，其中：兩個正態(tài)總體的樣本方差之比的抽樣分布例7若求的分布。解：因為其中可設是的一個樣本。又與相互獨立，是的一個樣本例8設求統(tǒng)計量：的分布。解：如果隨機變量的概率密度函數(shù)為其中且則稱X服從分布，記作分布與函數(shù)（附錄）稱為函數(shù)。有如下性質(zhì)：當時收斂，且當時有例2由此也可說函數(shù)是階乘的推廣。據(jù)說，這里正是一般定義的由來。分布的一個特殊情形是一指數(shù)分布。如果隨機變量的概率密度函數(shù)為其中且則稱X服從分布，記作很多重要分布是分布的特殊情形。分布的另一特殊情形是分布。抽樣分布(samplingdistribution)總體計算樣本統(tǒng)計量例如：樣本均值、比例、方差樣本抽樣分布與總體分布的關系總體分布正態(tài)分布非正態(tài)分布大樣本小樣本正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)分布樣本均值的數(shù)學期望樣本均值的方差重復抽樣不重復抽樣樣本均值的抽樣分布(數(shù)學期望與方差)樣本均值的抽樣分布(數(shù)學期望與方差)比較及結論：1.樣本均值的均值(數(shù)學期望)等于總體均值2.樣本均值的方差等于總體方差的1/n樣本比例的抽樣分布總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比不同性別的人與全部人數(shù)之比合格品(或不合格品)與全部產(chǎn)品總數(shù)之比總體比例可表示為樣本比例可表示為

比例(proportion)容量相同的所有可能樣本的樣本比例的概率分布當樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似一種理論概率分布推斷總體總體比例的理論基礎 樣本比例的抽樣分布樣本比例的數(shù)學期望樣本比例的方差重復抽樣不重復抽樣樣本比例的抽樣分布(數(shù)學期望與方差)區(qū)間估計的圖示X95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x將構造置信區(qū)間的步驟重復很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平表示為(1-為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相應的為0.01，0.05，0.10置信水平由樣本統(tǒng)計量所構造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間用一個具體的樣本所構造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個置信區(qū)間(confidenceinterval)置信區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-)%區(qū)間包含了%的區(qū)間未包含1-aa/2a/2影響區(qū)間寬度的因素1.總體數(shù)據(jù)的離散程度，用來測度2.樣本容量，3.置信水平(1-)，影響z的大小5.3總體均值的區(qū)間估計正態(tài)總體且方差已知，或正態(tài)總體，方差未知、大樣本正態(tài)總體，方差未知、小樣本一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)符號表示樣本統(tǒng)計量均值比例方差總體均值的區(qū)間估計

(正態(tài)總體、２已知，或非正態(tài)總體、大樣本)總體均值的區(qū)間估計(大樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

未知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似(n

30)總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為重復抽樣不重復抽樣總體均值的區(qū)間估計(例題分析)【例】某種零件的長度服從正態(tài)分布，從某天生產(chǎn)一批零件中按重復抽樣方法隨機抽取9個，測得其平均長度為21.4cm。已知總體標準差為=0.15cm。試估計該批零件平均長度的置信區(qū)間，置信水平為95%解：已知：=0.15cm，n=9，x=21.4，1-=95%即：21.4±0.098=（21.302，21.498），該批零件平均長度的置信區(qū)間為21.302cm~21.498cm之間總體均值的區(qū)間估計(例題分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44克~109.28克之總體均值的區(qū)間估計(例題分析)【例】一家保險公司收集到由36個投保個人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間36個投保人年齡的數(shù)據(jù)233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532總體均值的區(qū)間估計(例題分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲總體均值的區(qū)間估計

(正態(tài)總體、２未知、小樣本)總體均值的區(qū)間估計(小樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

未知小樣本(n<30)使用t

分布統(tǒng)計量總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為t分布

t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的t分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，t分布也逐漸趨于正態(tài)分布Xt

分布與標準正態(tài)分布的比較t分布標準正態(tài)分布t不同自由度的t分布標準正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)Z總體均值的區(qū)間估計(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(小時)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計(例題分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時～1503.2小時5.4

總體比例的區(qū)間估計大樣本重復抽樣時的估計方法大樣本不重復抽樣時的估計方法總體比例的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計1. 假定條件總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Ｚ3.總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體比例的區(qū)間估計(例題分析)【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機抽取了100個下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

估計總體均值時