微積分函數極限連續(xù)

微積分函數極限連續(xù)第一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1哪些主要的科學問題呢?有四種主要類型的問題.Archimedes第二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日2

第一類問題

已知物體移動的距離表為時間的函數的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為時間的函數的公式，求速度和距離。第三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日3

困難在于：十七世紀所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化。例如，計算瞬時速度，就不能象計算平均速度那樣，用運動的時間去除移動的距離，因為在給定的瞬刻，移動的距離和所用的時間都是0，而0/0是無意義的。但根據物理學，每個運動的物體在它運動的每一時刻必有速度，是不容懷疑的。

第一類問題第四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日4

求曲線的切線。這個問題的重要性來源于好幾個方面：純幾何問題、光學中研究光線通過透鏡的通道問題、運動物體在它的軌跡上任意一點處的運動方向問題等。

第二類問題第五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日5

第二類問題

困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個沒有解決的問題。古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點而且位于曲線的一邊的直線”。這個定義對于十七世紀所用的較復雜的曲線已經不適應了。第六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日6

第三類問題

求函數的最大最小值問題。十七世紀初期，伽利略斷定，在真空中以角發(fā)射炮彈時，射程最大。研究行星運動也涉及最大最小值問題。第七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日7

困難在于：原有的初等計算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問題。但新的方法尚無眉目。

第三類問題第八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日8

第四類問題

求曲線的長度、曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一個物體上的引力。第九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日9

困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積，盡管他們只是對于比較簡單的面積和體積應用了這個方法，但也必須添加許多技巧，因為這個方法缺乏一般性，而且經常得不到數值的解答。窮竭法先是被逐步修改，后來由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了。

第四類問題第十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日101.分析基礎:函數,極限,連續(xù)

2.微積分學:一元微積分3.向量代數與空間解析幾何4.無窮級數5.常微分方程主要內容多元微積分第十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日11二、如何學習高等數學?1.認識高等數學的重要性,培養(yǎng)濃厚的學習興趣.2.學數學最好的方式是做數學.聰明在于學習,天才在于積累.學而優(yōu)則用,學而優(yōu)則創(chuàng).由薄到厚,由厚到薄.馬克思恩格斯要辨證而又唯物地了解自然,就必須熟悉數學.一門科學,只有當它成功地運用數學時,才能達到真正完善的地步.華羅庚第十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日121

函數、極限與連續(xù)1.1函數1.2初等函數1.3極限概念1.4極限的計算1.5無窮小量與無窮大量1.6函數的連續(xù)性第十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.1函數1.1.1區(qū)間及鄰域1.1.2函數的定義1.1.3醫(yī)學中常用的函數表示法1.1.4函數的性質第十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.1.1區(qū)間及鄰域區(qū)間(interval)開區(qū)間ab閉區(qū)間ab半開半閉區(qū)間

(a,b]、[a,b)以上區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間無限區(qū)間

(P.1自學)第十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日鄰域(neighborhood)

鄰域是一種特殊的區(qū)間。點a的δ鄰域aa-δa+δδδ點a的空心鄰域aa-δa+δδδ右鄰域(a,a+δ)，左鄰域(a-δ,a)第十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.1.2函數的定義(function)

設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某個范圍D內的每一個確定的值,按照某個對應法則f，y都有（唯一）確定的值與它對應，則稱變量y是確定在D上的x的函數。定義1.1x：自變量

x的取值范圍D：定義域

y：因變量(函數變量)

函數值

y的取值范圍：值域，記為f(D)(function)記為：y=f(x)，x∈D第十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.決定一個函數的因素有哪些？2.如何確定函數的定義域？第十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.1.3醫(yī)學中常用的函數表示法列表法用表格列示出x與y的對應關系。圖像法以數對(x,y)為點的坐標描繪出能反映x解析法用等式表示出x與y的關系。

優(yōu)點：便于查出函數值。

與y的對應關系的曲線。

優(yōu)點：容易觀察函數的變化趨勢。

優(yōu)點：便于從理論上對函數進行定性

研究與定量分析。第十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日醫(yī)學和物理學中常用的分段函數：例符號函數xyo-11例脈沖函數xoy例xyo第二十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.1.4函數的性質奇偶性

設函數y=f(x)，x∈D，D是對稱于原點的數集。若對D上任何x

，如果f(－x)=f(x)，則稱y=f(x)為偶函數；如果f(－x)=－f(x)，則稱y=f(x)為奇函數。偶函數的圖像關于y軸對稱，奇函數的圖像關于原點對稱。第二十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日單調性

設函數y=f(x)，x∈D。若對于D內任意兩個x1，x2，當x1<x2時，總有f(x1)≤f(x2)，則稱函數y=f(x)是D上的單調遞增函數；當x1<x2時，總有f(x1)≥f(x2)，則稱函數y=f(x)是D上的單調遞減函數。

遞增函數的圖像一般是上升的，遞減函數的圖像一般是下降的。第二十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日周期性

設函數y=f(x)，x∈D。若存在常數T，使對D上任何x

，都有

f(x+T)=f(x)則稱y=f(x)為周期函數。并稱T為y=f(x)的一個周期。若在周期函數的所有周期中有一個最小正常數，則稱其為基本周期。第二十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日有界性

設函數y=f(x)，x∈D。若存在正數M，使對D上任何x

，都有

︱f(x)︱≤M則稱f(x)在D上有界，并稱f(x)是D上的有界函數。否則，稱函數f(x)在D上無界。

有界函數的圖像必落在直線y=M

與y=-M之間的帶形區(qū)域內。第二十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.結論“函數y=3x+5是無界函數”正確否?

2.結論“函數y=cosx不是單調函數”正確否？3.考察函數y=1/x

在[1,+∞)的單調性和有界性。第二十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日且證明證:

令則由消去得時其中a,b,c

為常數,且為奇函數.為奇函數.1.

設第二十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日262.

設函數的圖形與均對稱,求證是周期函數.證:由的對稱性知于是故是周期函數,周期為第二十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日271.2初等函數1.2.1基本初等函數1.2.2復合函數1.2.3反函數1.2.4隱函數1.2.5初等函數第二十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.2.1基本初等函數(basicelementaryfunction)P.6表1.2第二十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.2.2復合函數

設y=lnu，u=1-x2。問：能否通過變量u，將y表示成以x為自變量的函數？

當x∈(-1,1)，能通過變量u

將y表示成x的函數：y=ln(1-x2),x∈(-1,1)

當x∈(-∞,-1]∪[1,+∞)時，不能通過變量u

將y表示成x的函數。D*第三十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.2(復合函數)

設y是u的函數y=f(u)，u是x的函數u=φ(x)。D*表示u=φ(x)的定義域中使得函數y=f(u)有意義的全體x的非空集合。則當x∈D*

時，函數u=φ(x)所對應的u值使得函數y=f(u)有確定的值與x相對應，從而得到一個以x為自變量，y為因變量的函數，記為

y=f[φ(x)]，x∈D*

這時，稱y為x

的復合函數。其中，稱y=f(u)為外函數，u=φ(x)為內函數，u

為中間變量。第三十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日復合函數的映射示意圖yuxy=f(u)u=φ(x)y=f[φ(x)]第三十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日說明：復合函數還可以由多個（三個及其以上）基本初等函數經多次復合構成。并不是任何兩個函數都可以復合成有意義的復合函數。如y=ln(u-8)與u=sinx

構成的復合函數y=ln(sinx-8)就沒有意義。第三十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日

寫出由y=eu，u=-2x

復合而成的函數。復合函數為

y=

e

-2x，x∈(-∞,+∞)。例解：例分解復合函數y=lntanx。解：y=lnu

，u=tanx。例分解復合函數y=sin8(8x+sinx)。解：y=u8

，u=sinv

，v=8x+sinx。第三十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.2.3反函數(自學)1.2.4隱函數顯函數由形式

y=f(x)表示的函數。隱函數由方程F(x,y)=0表示的函數。如x2+y2=R2yx+ln(xy)+sin(xy)+8=0第三十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.2.5初等函數(Elementaryfunction)

由基本初等函數經過有限次的四則運算或有限次的復合步驟所構成的，能用一個解析式子表示的函數稱為初等函數。

初等函數是高等數學的主要研究對象。

在高等數學中，把不是初等函數的函數統(tǒng)稱為非初等函數。如：有些分段函數就不是初等函數。第三十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日非初等函數舉例:符號函數當x>0當x=0當x<0取整函數當第三十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日37內容小結1.集合區(qū)間、鄰域定義域對應規(guī)律3.函數的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性4.初等函數的結構2.函數的定義及函數的二要素第三十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日381.3極限概念1.3.1數列極限1.3.2函數極限1.3.3單側極限

極限是一種非初等運算極限以發(fā)展的眼光分析事物(變量)的變化規(guī)律極限是高等數學中一種重要的研究方法

第三十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數學家.他撰寫的《重差》對《九章算術》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數學方法和數學理論上作出了杰出的貢獻.他的“割圓術”求圓周率“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:第四十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日401.3.1數列極限(limitofsequence)

數列極限的實質：考察當n→+∞時，數列{an}的通項an的變化趨勢。引例考察數列{an}的變化趨勢：Ox-11a1a2a3a4……Ox2

1a1a2a4an…3n…Ox-1a2n-1a2n1a3第四十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.3

已知數列{xn}，A是某確定常數。若當數列的項數n無限增大時，數列的項xn與常數A的距離|xn-A|任意小，則稱數列{xn}以常數A為極限，記為或如果一個數列的極限存在，則稱該數列是收斂(converge)的；如果一個數列的極限不存在，則稱該數列是發(fā)散(diverge)的。第四十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義:自變量取正整數的函數稱為數列,記作或稱為通項(一般項).若數列及常數a有下列關系:當n>

N

時,總有記作此時也稱數列收斂

,否則稱數列發(fā)散

.幾何解釋:即或則稱該數列的極限為a,第四十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日43例1.已知證明數列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當時,就有故第四十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例2.已知證明證:欲使只要即取則當時,就有故故也可取也可由N

與有關,但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取第四十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日45收斂性質證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當n>N2時,有1.收斂數列的極限唯一.使當n>N1時,假設從而矛盾.因此收斂數列的極限必唯一.則當n>N

時,故假設不真!滿足的不等式第四十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日462.收斂數列一定有界.說明:

此性質反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.數列第四十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日471.3.2函數極限(limitoffunction)

數列{xn}可表示成函數的形式：y=f(n),n∈Ny=f(x),x∈N這時，自變量的變化趨勢只有一種：x→+∞

而對一般的函數而言，y=f(x),x∈D自變量的變化趨勢有兩種情形：x→+∞、x→-∞、x→∞;x→x0第四十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.4(x趨于無窮大時函數f(x)的極限)

設函數f(x)

在區(qū)間(a,+∞)內有定義，A是某確定常數。若當x→+∞時，f(x)與A的距離|f(x)-A|任意小，則稱函數f(x)

在x→+∞時以常數A為極限，記為或并稱x→+∞時f(x)收斂(converge)；否則，稱x→+∞時f(x)發(fā)散(diverge)。同理，可定義函數f(x)

在x→-∞時以常數A為極限：第四十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義

.設函數大于某一正數時有定義,若則稱常數時的極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線的水平漸近線A

為函數第五十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日50直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當時,有當時,有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，第五十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日51定義1.5(x趨于x0時函數f(x)的極限)

設函數f(x)

在點

x0附近有定義，A是某確定常數。若當自變量x趨于x0時，f(x)與A的距離|f(x)-A|任意小，則稱函數f(x)在x趨于x0時以常數A為極限，記為或并稱x趨于x0時f(x)收斂；否則，稱x趨于x0時f(x)發(fā)散。第五十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.

設函數在點的某去心鄰域內有定義,當時,有則稱常數

A

為函數當時的極限,或即當時,有若記作幾何解釋:極限存在函數局部有界這表明:第五十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日53說明：函數極限的實質：考察當x→x0時，函數f(x)的變化趨勢：若x→x0時函數f(x)收斂，則x→x0時f(x)必定趨向于某一個確定的數；若x→x0時函數f(x)發(fā)散，則x→x0時f(x)不趨向于任何確定的數?！皒→x0”表示x從x0的兩側任意接近x0

。但有時也需考慮x從x0的某一側任意接近x0時，函數f(x)的極限情況。第五十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.

證明證:故取當時,必有因此第五十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日55例不存在不存在不存在不存在第五十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日x→0

時，在–1和1之間無限震蕩。第五十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.3.3單側極限(one-sidedlimit)定義1.6(單側極限)

設函數f(x)

在區(qū)間(x0,x0+δ)

內有定義，A是某確定常數。若x從x0的右側趨于x0時，f(x)與A的距離|f(x)-A|任意小，則稱函數f(x)

在x趨于x0時以常數A為右極限(right-sidedlimit)，記為或同理，左極限：(left-sidedlimit)第五十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例考察符號函數sgnx在x=0處的單側極限。解：sgnx的圖像如右圖：oxy1-1則右極限左極限x→0時，sgnx的變化趨勢如何？是否有極限？可得出什么結論？第五十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定理1.1(單側極限與一般極限的關系)

當x→x0時，函數f(x)極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，即or第六十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.

設函數討論時的極限是否存在.解:

利用定理3.因為顯然所以不存在.第六十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日61

問a為何值時，所給函數在x=2處極限存在?例解：左極限右極限欲使函數在x=2處有極限，必有4+2a=20,a=8.第六十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日研究函數在x→x0極限時，是否要考慮f(x)在x=x0時的性態(tài)？為什么？若f(x0+0)和f(x0-0)都存在，當x趨于x0時，

f(x)的極限一定存在嗎？如何利用f(x0+0)和f(x0-0)來判斷當x趨于x0時，f(x)的極限不存在？

第六十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.4極限的計算1.4.1極限的四則運算法則1.4.2兩個重要極限第六十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.4.1極限的四則運算法則

具體的運算法則見P.18定理。以下面幾個例子來說明極限的運算法則:定理1.2(極限的四則運算法則)則有定理.

若定理

.若則有定理.若且B≠0,則有第六十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.

求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因第六十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日66例6

.

求解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式第六十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日67一般有如下結果：為非負常數)第六十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日68例例=-1例第六十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日思考及練習1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問第七十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日703.

求解法1原式=解法2令則原式=第七十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日714.

試確定常數a

使解:令則故因此第七十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日721.4.2兩個重要極限

兩個重要極限是極限的證明及計算中的重要內容。重要極限及其變形也是各類考試的考點。第七十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日圓扇形AOB的面積證:當即亦即時，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注第七十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日74當時注第七十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日75例=-1例=1例=3第七十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.

求解:例.

求解:

令則因此原式第七十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日77例第七十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.

求解:

原式=例.

已知圓內接正n

邊形面積為證明:證:說明:計算中注意利用第七十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日79第八十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日2.證:當時,設則第八十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日81當則從而有故說明:

此極限也可寫為時,令第八十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日82例例例第八十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.求解:

原式=第八十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日84例.

求解:

令則因此原式且第八十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日85例.求解:

原式=第八十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日861.5無窮小量與無窮大量1.5.1無窮小量1.5.2無窮小量階的比較1.5.3無窮大量第八十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.5.1無窮小量

如果定義1.7(無窮小量)則稱f(x)是x→x0時的無窮小量(infinitesimal).說明：

類似地，可定義在自變量的其它變化情形下的無窮小量：

x→∞，x→x0+

，x→x0-，…

稱以0為極限的數列為無窮小數列。第八十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例因為所以當x→1時函數x-1為無窮小量。因為所以當x→∞

時函數1/x為無窮小量。無窮小量是很小的數嗎？數零是不是無窮小量？第八十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日無窮小的性質

當x→x0時，如果f(x)、g(x)均為無窮小，則當x→x0時，有:

f(x)±g(x)為無窮小。推廣：有限個無窮小的代數和是無窮小。有界變量(常量、無窮小量)與無窮小的積是無窮小。

兩個無窮小的和、差與積仍是無窮小。兩個無窮小的商呢？如：x→0時，3x、x2、sinx

都是無窮小，但第九十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日其中為時的無窮小量.定理.(無窮小與函數極限的關系)證:當時,有對自變量的其它變化過程類似可證.第九十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日911.5.2無窮小量階的比較

對無窮小量進行階的比較是為了考察兩個無窮小量趨于0的速度。

設f(x)、g(x)為x→x0時的無窮小，如果則稱x→x0時，f(x)是比g(x)高階的無窮??；則稱x→x0時，f(x)是比g(x)低階的無窮?。挥洖椋篺(x)=o(g(x))(x→x0)第九十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日則稱x→x0時，f(x)與g(x)是同階的無窮小。特別地，當k=1時，稱f(x)與g(x)是等價無窮小。記為：f(x)=O(g(x))(x→x0)

記為：f(x)~g(x)(x→x0)

第九十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例如

,

當～時～～又如

，故時是關于x的二階無窮小,～且第九十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日94例因為所以，當x→0時，x2

是比3x

高階的無窮小量,即x2=o(3x)(x→0)又則當x→3時,x2-9是與x-3同階的無窮小量，x2-9=O(x-3)(x→3)第九十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例當x→0時，a

取何值使得解：要使必須a=2第九十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日擴展：定理設且存在，則在求極限中的應用：例求解：當時，sinx~x,故P.24例3第九十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例1.求解:原式例2.求解:第九十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日981.5.2無窮大量定義1.8(無窮大量)如果則稱函數變量f(x)是x→x0時的無窮大量(infinitelygreat)

。說明：

不可將無窮大(∞)與很大的數混為一談；

無窮大數列；

無窮大與無窮小的關系。第九十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.6函數的連續(xù)性1.6.1連續(xù)的概念1.6.2函數的間斷點1.6.3連續(xù)函數的性質與初等函數的連續(xù)性第一百頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.6.1連續(xù)的概念變量的增量(increment)函數的連續(xù)性定義1.9(函數的連續(xù)性定義1)

設y=f(x)在x0的某鄰域內有定義。自變量的增量Δx=x-x0,函數的增量

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。則稱函數y=f(x)在x0處連續(xù)。(continuityoffunction)x0f(x0)x0+△xf(x0+△x)△yf(x)若第一百零一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例證明

y=sinx在點x∈(-∞,+∞)

連續(xù)。證明：由定義1.9知,y=sinx在任意點x∈(-∞,+∞)連續(xù)，稱sinx在區(qū)間(-∞,+∞)內是連續(xù)的。

類似地,y=cosx

在區(qū)間(-∞,+∞)內是連續(xù)的。第一百零二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.10(函數的連續(xù)性定義2)說明：(1)函數y=f(x)在點x0及附近有定義；幾何意義：定義要點：函數曲線在x=x0處是“連”著的。在求極限中的應用：(2)函數y=f(x)在點x0處極限存在；(3)函數y=f(x)在點x0處極限值等于函數值

f(x0),即：

求連續(xù)函數的極限時,極限符號與連續(xù)函數符號可以交換順序。因此，只要求出函數值即可。第一百零三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.11(函數的左、右連續(xù)性)

設函數y=f(x)在區(qū)間(x0-δ,x0]內有定義，如果f(x0)=f(x0-0)，則稱函數在點x0左連續(xù)。同理，可定義右連續(xù)。xyx0xyx0定理1.3(連續(xù)的充分必要條件)左連續(xù)右連續(xù)第一百零四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.12(函數在區(qū)間內(上)連續(xù))

如果函數y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內的每一點都連續(xù)，則稱y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內連續(xù)。如果函數y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內連續(xù)，且在區(qū)間左端點a右連續(xù)，在區(qū)間右端點b左連續(xù)，則稱y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)。說明：

區(qū)間內(上)的連續(xù)函數的圖像是一條沒有間斷的曲線。第一百零五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.6.2函數的間斷點函數的間斷點：

如果函數y=f(x)在點x0不連續(xù)，則稱點x0為函數y=f(x)的間斷點(pointofdiscontinuity)。怎樣判斷點x0為函數y=f(x)的間斷點：(1)函數在點x0是否有定義；(2)函數在點x0處的左、右極限均是否存在并相等；(3)函數在點x0處的極限值是否等于該點的函數值。函數間斷點的分類：

間斷點分為兩類。第一百零六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日第一類間斷點：

設x0為函數y=f(x)的間斷點，如果f(x)在間斷點x0處的左、右極限都存在(不論f(x)在x0處是否有定義)，則稱x0是f(x)的第一類間斷點．xyx0xyx0第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點可去間斷點跳躍間斷點xyx0第一百零七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日顯然為其可去間斷點.為其跳躍間