結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)多自由度體系的自由振動(dòng)課件

§13-5多自由度體系的自由振動(dòng)5.1自由振動(dòng)分析一.運(yùn)動(dòng)方程的建立及其解自由振動(dòng)分析的目的是確定體系的動(dòng)力特性.可不計(jì)阻尼。1.建立運(yùn)動(dòng)方程(1)剛度法m1m2=++m1m2或記作其中若為自由振動(dòng)則有,于是:簡記為位移向量柔度矩陣荷載向量質(zhì)量矩陣加速度向量若為自由振動(dòng)則有,于是:簡記為設(shè)方程的特解為2.運(yùn)動(dòng)方程的解代入方程,得---頻率方程展開整理后有：---與第一頻率相對(duì)應(yīng)的振型，簡稱第一振型解頻率方程得的兩個(gè)根值小者記作稱作第一頻率也稱作基本頻率;值大者記作稱為第二頻率或高階頻率.將頻率代入振型方程，注意到行列式等于零，振型方程中的兩個(gè)方程是線性相關(guān)的，只有一個(gè)獨(dú)立的方程：同樣處理將頻率代入振型方程---與第二頻率相對(duì)應(yīng)的振型，簡稱第二振型---頻率方程即或記作---振型方程通解特解1特解2其中A1、A2是由初始條件確定的任意常數(shù)。特解1也可寫為特解2也可寫為二.關(guān)于頻率與振型的討論體系按特解振動(dòng)時(shí)有如下特點(diǎn)1)各質(zhì)點(diǎn)同頻同步;2)任意時(shí)刻,各質(zhì)點(diǎn)位移的比值保持不變定義:體系上所有質(zhì)量按相同頻率作自由振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)形狀稱作體系的主振型。幾點(diǎn)說明：1.按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的速度的比值也為常數(shù)，且與位移比值相同。2.發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的.3.振型與頻率是體系本身固有的屬性,與外界因素?zé)o關(guān).幾點(diǎn)說明：1.按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的速度的比值也為常數(shù)，且與位移比值相同。2.發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的.3.振型與頻率是體系本身固有的屬性,與外界因素?zé)o關(guān).4.N自由度體系有N個(gè)頻率和N個(gè)振型頻率方程解頻率方程得N個(gè)從小到大排列依次稱作第一頻率,第二頻率...第一頻率稱作基本頻率,其它為高階頻率.將頻率代入振型方程得N個(gè)振型N個(gè)振型彼此之間是線性無關(guān)的.5。若已知柔度矩陣時(shí)6。求振型、頻率可列幅值方程.振型方程頻率方程按振型振動(dòng)時(shí)m1m2振型可看作是體系按振型振動(dòng)時(shí)，慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移三.求多自由度體系頻率、振型例題例1.求圖示體系的頻率、振型解令1111第一振型第二振型1111第一振型第二振型對(duì)稱系的振型分成兩組:一組為對(duì)稱振型一組為反對(duì)稱振型按對(duì)稱振型振動(dòng)=1l/3按反對(duì)稱振型振動(dòng)11第二振型對(duì)稱系的振型分成兩組:一組為對(duì)稱振型一組為反對(duì)稱振型按對(duì)稱振型振動(dòng)=1l/3按反對(duì)稱振型振動(dòng)對(duì)稱系的振型分成兩組:一組為對(duì)稱振型一組為反對(duì)稱振型按對(duì)稱振型振動(dòng)=1l/3按反對(duì)稱振型振動(dòng)=1l/9（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振型（2）求頻率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式若有例3.求圖示體系的頻率、振型解:令0.5a例4.試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）計(jì)算頻率1a1（2）振型10.27713.61第一振型第二振型例5利用對(duì)稱性簡化圖示結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)的求解。mmmaaaaaaEIEIEI解：

因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)和質(zhì)量分布均勻?qū)ΨQ，其振型也是對(duì)稱和反對(duì)稱的，分別取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算。求對(duì)稱振型求反對(duì)稱振型m2=m/2m1=maaaEIEIaaaEIEIm1=mm2=m/2

以求對(duì)稱振型為例說明[δ]中系數(shù)的求解。首先求出半邊結(jié)構(gòu)在集中質(zhì)量上分別作用有單位集中力產(chǎn)生的彎矩圖。aaa1aaa1(a)