次序統(tǒng)計量及其分布課件

§5.3次序統(tǒng)計量及其分布定義定義5-3-1:設(shè)為取自總體X的樣本，將其按大小順序排序則稱X(k)為第k個次序統(tǒng)計量(No.kOrderStatistic)特別地，稱（5-3-1）為最小順序統(tǒng)計量(MinimumorderStatistic)稱（5-3-2）為最大順序統(tǒng)計量(MaximumorderStatistic)。例5-3-1：設(shè)總體X的分布為僅取0,1,2的離散均勻分布，其分布列為x012p現(xiàn)從中抽取容量為3的樣本，其一切可能取值有種，現(xiàn)將它們以及由它們所構(gòu)成的次序統(tǒng)計量的一切可能值列在表中(P243)，由此可給出的分布列如下：X(1)012P19/277/271/27X(2)012P7/2713/277/27X(3)012P1/277/2719/27可見這三個次序統(tǒng)計量的分布是不相同的。進一步，我們可以給出兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布，如x(1)和x(2)的聯(lián)合分布列為

x(2)x(1)

01207/279/273/27104/273/272001/27易于看出不等于即x(1)和x(2)是不獨立的。

x

x+xn-kk-11圖5—8x

(k)的取值示意圖樣本的每一分量小于等于x的概率為F(x),落入?yún)^(qū)間(x,x+x]概率為F(x+x)-F(x),落入?yún)^(qū)間(x+x,b]的概率為1-F(x+x)，而將n個分量分成這樣的三組，總的分法有種，于是，若以Fk

(x)記x

(k)的分布函數(shù)，則由多項分布可得兩邊同除以x,并令x→0,即有推論1：最大次序統(tǒng)計量x

(n)的概率密度函數(shù)為推論2：最小次序統(tǒng)計量x

(1)的概率密度函數(shù)為(5-3-4)(5-3-5)例5-3-2:設(shè)總體X的密度函數(shù)為現(xiàn)從該總體中抽得一個容量為5的樣本，試計算解：我們首先應(yīng)求出x

(2)的分布。由總體密度函數(shù)不難求出總體分布函數(shù)為由公式（5-3-3）可以得到x

(2)的密度函數(shù)為（二）多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布僅討論任意二個次序統(tǒng)計量的情形。定理5-3-2：設(shè)總體ξ有密度函數(shù)f(x),a

≤x

≤b,（同樣可設(shè)a=-∞,b=+∞)。并且ξ1,ξ2,…,ξn是取自這一總體的一個樣本，則其任意兩個次序統(tǒng)計量ξ(1)<ξ

(2)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為（5-3-6）證明：對增量y,z以及y<z,事件可以表述為“容量為n的樣本x1,x2,…,xn中有i-1個觀測值小于等于y,一個落入?yún)^(qū)間(y,y+y],j–i-1個落入?yún)^(qū)間(y+y,z],一個落入?yún)^(qū)間(z,z+z],而余下的n—j個大于z+z”i-11j-i-11n-j于是由多項分布得i-11j-i-11n-ji-11j-i-11n-ji-11j-i-11n-jyy+yzz+zi-11j-i-11n-j考慮到F(x)的連續(xù)性，當(dāng)有于是總體分位數(shù)與樣本分位數(shù)（一）總體分位數(shù)定義5-3-2：設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，滿足(5-3-7)的xα稱為X的α—分位數(shù)，如下圖所示。幾種常用分布的分位數(shù)都在書后附表中可以查到。其中N(0,1)是分布函數(shù)表Φ(x)反過來查，而其它幾個分布,則是分別對給出α的幾個的常用值如α=0,0.25,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975等等，列出相應(yīng)分布對應(yīng)值的α分位點。圖5-9給出了四種常用分布的α分位點表示方法，其中N(0,1)的α分位點通常記成uα.圖5-9這里要注意到如下幾個有用的事實。，要求的分位數(shù)xα,可化成求1)若N(0,1)的分位數(shù).此時，故從而2）對于T~t(n)，由密度函數(shù)的對稱性可知即（5-3-8）（5-3-9）（二）樣本分位數(shù)定義5-3-3：設(shè)為取自總體X的次序統(tǒng)計量，稱mp為樣本p分位數(shù)。（Samplep–Quantile)特別地，當(dāng)p=?時，稱mp為樣本中位數(shù)。（5-3-11）（5-3-12）對多數(shù)總體而言，要給出樣本p分位數(shù)的精確分布通常不是一件容易的事，但當(dāng)n→+∞時，樣本p分位數(shù)的漸近分布有比較簡單的表達(dá)式，我們這里不加證明地給出如下定理。定理5-3-4：設(shè)總體密度函數(shù)為f(x),xp為其p分位數(shù)，f(x)在xp

處連續(xù)且f(x)>0,則當(dāng)n→+∞時，樣本p分位數(shù)mp的漸近分布為特別地，對樣本中位數(shù)有（5-3-13）例5-3-2:設(shè)總體X為柯西分布，其密度函數(shù)為其分布函數(shù)為易知，θ是該總體的中位數(shù)，即x

?=θ.設(shè)是來自該總體的樣本，則當(dāng)樣本容量n較大時，樣本中位數(shù)m

0.5的漸近分布為例5-3-4：表5—5是某廠160名銷售人員某月的銷售量數(shù)據(jù)的有序樣本，由該批數(shù)據(jù)可計算得到：五數(shù)概括的圖形表示稱為箱線圖，由箱子和線段組成。圖5-11是該例中樣本數(shù)據(jù)的箱線圖，其作法如下下面就通過一個具體的實例說明之。457476808791929395969899104106111113117120122122124126127127129129130131131133134134135136137137139141141143145148149149149150150153153153153154157160160162163163165165167167168170171172173174175175176178178178179179179180181181188189189191191191192192194194194194195196197197198198198199200201202204204205205206207210214214215215216217218219219221221221221221222223223224227227228229232234234238240242242242244246253253255258282290314319表5—11某廠160名銷售員的月銷售量的有序樣本（1）畫一個箱子，其兩側(cè)恰為第一4分位數(shù)和第三4分位數(shù)，在中位數(shù)位置上畫一條豎線，它在箱子內(nèi)，這個箱子包含了樣本中50%的數(shù)據(jù)；45