人教版 八年級數(shù)學(xué)上冊 第13章軸對稱 13.1-13.4同步測試題(含答案)

人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第13章13.1--13.4同步測試題（含答案）13.1軸對稱一、選擇題1.如圖所示，線段AB，AC的垂直平分線相交于點P，則PB與PC的關(guān)系是()A．PB＞PCC．PB＜PCB．PB＝PCD．PB＝2PC2.點M(3，2)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為()A.(-3，2)B.(3，-2)C.(-3，-2)D.(3，2)3.如果點(m－1，－1)與點(5，－1)關(guān)于y軸對稱，那么m的值為()A．4B．－4C．5D．－54.將一張長與寬的比為2∶1的長方形紙片按圖①②所示的方式對折，然后沿圖③中的虛線裁剪，得到圖④，最后將圖④中的紙片展開鋪平，所得到的圖案是()5.如圖，DE是△ABC中AB邊的垂直平分線，若BC＝6，AC＝8，則△BCE的周長為()A．10B．12C．14D．166.圖中的四個圖形，對稱軸的條數(shù)為4的圖形有()A.1個D.4個B.2個C.3個7.對于△ABC，嘉淇用尺規(guī)進(jìn)行如下操作：如圖，(1)分別以點B和點C為圓心，BA，CA為半徑作弧，兩弧相交于點D；(2)作直線AD交BC邊于點E.根據(jù)嘉淇的操作方法，可知線段AE是()A．△ABC的高線B．△ABC的中線C．邊BC的垂直平分線D．△ABC的角平分線8.[2018·河北]圖是由“○”和“□”組成的軸對稱圖形，則該圖形的對稱軸是直線()A.l1B.l2C.l3D.l49.如圖，以C為圓心，大于點C到AB的距離為半徑作弧，交AB于點D，E，再以D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點F，作射線CF，則()DEA．CF平分∠ACBC．CF平分ABB．CF⊥ABD．CF垂直平分AB10.在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題:如圖，已知△ABC中，AB<BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P，使得PA+PB=BC.下面是四名同學(xué)的作法，其中正確的是()二、填空題11.如圖所示的五角星是軸對稱圖形，它的對稱軸共有________條．12.如圖K－16－10，四邊形ABCD是軸對稱圖形，BD所在的直線是它的對稱軸，AB＝5cm，CD＝3.5cm，則四邊形ABCD的周長為________cm.13.如圖，點P在∠AOB內(nèi)，M，N分別是點P關(guān)于OA，OB的對稱點，連接MN交OA于點E，交OB于點F.若△PEF的周長是20cm，則MN的長是________cm.14.如圖，DE是△ABC的邊AC的垂直平分線，若BC＝9，AD＝4，則BD＝________．15.在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(－1，2)．作點A關(guān)于x軸的對稱點，得到點A1，再將點A1向下平移4個單位長度，得到點A2，則點A2的坐標(biāo)是________．16.如圖，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點E，F(xiàn).若△AEF的周長為10cm，則BC的長為cm.17.畫圖:試畫出下列正多邊形的所有對稱軸，并完成表格.根據(jù)上表，猜想正n邊形有條對稱軸.18.數(shù)學(xué)活動課上，兩名同學(xué)圍繞作圖問題:“如圖①，已知直線l和直線l外一點P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥直線l于點Q.”分別作出了如圖②③所示的兩個圖形，其中作法正確的為圖(填“②”或“③”).三、解答題19.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，若△ABC與△EBC的周長分別是26cm和16cm，求AC的長．20.如圖，將長方形紙片ABCD沿EF折疊，使點A與點C重合，點D落在點G處，EF為折痕．(1)求證：△FGC≌△EBC；(2)若AB＝8，AD＝4，求四邊形ECGF(陰影部分)的面積．21.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC邊的垂直平分線MN經(jīng)過點A.求證：點A在線段CD的垂直平分線上.22.已知：如圖，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線DG交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).(1)求證：BE＝CF；(2)若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周長．人教版九年級數(shù)學(xué)13.1軸對稱課后訓(xùn)練-答案一、選擇題1.【答案】B[解析]如圖，連接AP.∵線段AB，AC的垂直平分線相交于點P，∴AP＝PB，AP＝PC.∴PB＝PC.2.【答案】B3.【答案】B[解析]∵點(m－1，－1)與點(5，－1)關(guān)于y軸對稱，∴m－1＝－5，解得m＝－4.4.【答案】A5.【答案】C[解析]∵DE是△ABC中AB邊的垂直平分線，∴AE＝BE.∵BC＝6，AC＝8，∴△BCE的周長＝BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝14.6.【答案】B[解析]圖①是軸對稱圖形，有6條對稱軸;圖②是軸對稱圖形，有4條對稱軸;圖③是軸對稱圖形，有2條對稱軸;圖④是軸對稱圖形，有4條對稱軸.故對稱軸的條數(shù)為4的圖形有2個.7.【答案】A8.【答案】C[解析]沿著直線l3折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，因此該圖形的對稱軸是直線l3.9.【答案】B10.【答案】C[解析]∵PA+PB=BC，而PC+PB=BC，∴PA=PC.∴點P為線段AC的垂直平分線與BC的交點.顯然只有選項C符合題意.二、填空題11.【答案】5[解析]如圖，五角星的對稱軸共有5條．12.【答案】1713.【答案】2014.【答案】515.【答案】(－1，－6)[解析]∵點A的坐標(biāo)是(－1，2)，作點A關(guān)于x軸的對稱點，得到點A1，∴點A1的坐標(biāo)是(－1，－2)．∵將點A1向下平移4個單位長度，得到點A2，∴點A2的坐標(biāo)是(－1，－6)．16.【答案】10[解析]∵AB，AC的垂直平分線分別交BC于點E，F(xiàn)，∴AE=BE，AF=CF.∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10cm.17.【答案】解:如圖.故填3，4，5，6，n.18.【答案】③三、解答題19.【答案】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.∵△EBC的周長是16cm，∴BC＋BE＋EC＝16cm，即BC＋AE＋EC＝AC＋BC＝16cm.∵△ABC的周長是26cm，∴AB＋AC＋BC＝26cm，∴AC＝AB＝10cm.20.【答案】解：(1)證明：在長方形ABCD中，DA＝BC，∠A＝∠D＝∠B＝∠BCD＝90°.由折疊的性質(zhì)，得GC＝DA，∠G＝∠D＝90°，∠GCE＝∠A＝90°.∴GC＝BC，∠GCF＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠BCE＝90°.∴∠GCF＝∠BCE.又∵∠G＝∠B＝90°，GC＝BC，∴△FGC≌△EBC(ASA)．(2)由(1)知，DF＝GF＝BE，∴S四邊形ECGF＝S△FGC＋S△EFC＝S△EBC＋S△EFC＝S四邊形BCFE＝16.＝＝＝21.【答案】證明：連接AC.∵點A在線段BC的垂直平分線MN上，∴AB＝AC.∵AB＝AD，∴AC＝AD.∴點A在線段CD的垂直平分線上．22.【答案】(1)證明：如圖，連接CD.∵點D在BC的垂直平分線上，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴BE＝CF.(2)在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF.∴AE＝AF＝6.∴△ABC的周長＝AB＋BC＋AC＝(AE＋BE)＋BC＋(AF－CF)＝6＋7＋6＝19.13.2畫軸對稱圖形一、選擇題1.作已知點關(guān)于某直線的對稱點的第一步是()A．過已知點作一條直線與已知直線相交B．過已知點作一條直線與已知直線垂直C．過已知點作一條直線與已知直線平行D．不確定2.點M(－3，2)關(guān)于x軸的對稱點N的坐標(biāo)是()A．(3，2)D．(3，－2)3．在平面直角坐標(biāo)系中，點P(－2，1)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為()A．(－2，－1)B．(2，－1)C．(－2，1)D．(2，1)B．(－3，2)C．(－3，－2)4.下列是四位同學(xué)作△ABC關(guān)于直線MN的軸對稱圖形，其中正確的是()ABCD5．若點A(4，3)，點B(4，－3)，則點A與點B的關(guān)系是()A．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于y軸對稱B．關(guān)于直線x＝－1對稱D．關(guān)于直線y＝－1對稱6．如圖，在小方格中畫與△ABC成軸對稱的三角形(不與△ABC重合)，則這樣的三角形能畫出()A．1個B．2個C．3個D．4個7.下列說法正確的是（）A.任何一個圖形都有對稱軸;B.兩個全等三角形一定關(guān)于某直線對稱;C.若△ABC與△A′B′C′成軸對稱，則△ABC≌△A′B′C′;D.點A，點B在直線l兩旁，且AB與直線l交于點O，若AO=BO，則點A與點B關(guān)于直線l對稱.8.下列圖形：其中所有軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)之和為（）A.13B.11C.10D.89.如圖是一臺球桌面示意圖，圖中小正方形的邊長均相等，黑球放在如圖所示的位置，經(jīng)白球撞擊后沿箭頭方向運動，經(jīng)桌邊反彈最后進(jìn)入球洞的序號是（）A.①B.②C.⑤D.⑥10.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，則下列四個結(jié)論，其中正確的個數(shù)是（）①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD.A.1個B.2個C.3個D.4個二、填空題11．若點A(m，3)與點B(2，n)關(guān)于y軸對稱，則m＝，n＝．12．如圖，△ABO是關(guān)于y軸對稱的軸對稱圖形，點A的坐標(biāo)為(－2，3)，則點B的坐標(biāo)為．13．若點A(x，－5)與點B(2，y)關(guān)于x軸對稱，則yx＝．14．將點A(－2，3)向下平移4個單位長度后得到點B，點B關(guān)于x軸對稱的點C的坐標(biāo)為．15.由一個平面圖形可以得到它關(guān)于某條直線對稱的圖形，這個圖形與原圖形的_________、___________完全一樣.16.下列每對文字圖形中，能看成關(guān)于虛線對稱的有：_________（只需要序號）.17.數(shù)的運算中會有一些有趣的對稱形式，仿照等式①的形式填空，并檢驗等式是否成立.①12×231=132×21;③18×891=__________;三、解答題②12×462=___________;④24×231=___________.17．如圖，給出了一個圖案的一半，其中虛線l是這個圖案的對稱軸，請作出這個圖形關(guān)于l的軸對稱圖形，并說出這個圖案的形狀．18.如圖,在10×10的正方形網(wǎng)格中有一個四邊形和兩個三角形(所有頂點都在方格的格點上).(1)請你畫出以上三個圖形關(guān)于直線MN對稱的圖形;(2)將(1)中畫出的圖形與原圖形看成一個整體圖形,請寫出這個整體圖形對稱軸的條數(shù).19.已知：如圖，點P，Q為∠AOB內(nèi)部兩點，點M，N分別為OA，OB上的兩個動點，作四邊形PMNQ，請作圖說明當(dāng)點M，N在何處時，四邊形PMNQ的周長最小．20．△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；(2)將△ABC向右平移6個單位，作出平移后的△A2B2C2，并寫出△A2B2C2各頂點的坐標(biāo)；(3)觀察△A1B1C1和△A2B2C2，它們是否關(guān)于某條直線對稱？若是，請在圖上畫出這條對稱軸．21.如圖，已知△ABC.(1)畫出△(2)畫出△(3)△，使△，使△．和△ABC關(guān)于直線MN成軸對稱；和△ABC關(guān)于直線PQ成軸對稱：與△成軸對稱嗎？若成，請在圖上畫出對稱軸；若不成，說明理由，人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第十三章13.2畫軸對稱圖形培優(yōu)練習(xí)--參考答案一、選擇題1.作已知點關(guān)于某直線的對稱點的第一步是()A．過已知點作一條直線與已知直線相交B．過已知點作一條直線與已知直線垂直C．過已知點作一條直線與已知直線平行D．不確定【答案】B2.點M(－3，2)關(guān)于x軸的對稱點N的坐標(biāo)是()A．(3，2)B．(－3，2)C．(－3，－2)D．(3，－2)【答案】C3．在平面直角坐標(biāo)系中，點P(－2，1)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為()A．(－2，－1)【答案】DB．(2，－1)C．(－2，1)D．(2，1)4.下列是四位同學(xué)作△ABC關(guān)于直線MN的軸對稱圖形，其中正確的是()ABCD【答案】B5．若點A(4，3)，點B(4，－3)，則點A與點B的關(guān)系是()A．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于y軸對稱【答案】AB．關(guān)于直線x＝－1對稱D．關(guān)于直線y＝－1對稱6．如圖，在小方格中畫與△ABC成軸對稱的三角形(不與△ABC重合)，則這樣的三角形能畫出()A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C7.下列說法正確的是（）A.任何一個圖形都有對稱軸;B.兩個全等三角形一定關(guān)于某直線對稱;C.若△ABC與△A′B′C′成軸對稱，則△ABC≌△A′B′C′;D.點A，點B在直線l兩旁，且AB與直線l交于點O，若AO=BO，則點A與點B關(guān)于直線l對稱.【答案】C8.下列圖形：其中所有軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)之和為（）A.13B.11C.10D.8【答案】B9.如圖是一臺球桌面示意圖，圖中小正方形的邊長均相等，黑球放在如圖所示的位置，經(jīng)白球撞擊后沿箭頭方向運動，經(jīng)桌邊反彈最后進(jìn)入球洞的序號是（）A.①B.②C.⑤D.⑥【答案】A10.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，則下列四個結(jié)論，其中正確的個數(shù)是（）①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD.A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】C二、填空題11．若點A(m，3)與點B(2，n)關(guān)于y軸對稱，則m＝【答案】－23，n＝．12．如圖，△ABO是關(guān)于y軸對稱的軸對稱圖形，點A的坐標(biāo)為(－2，3)，則點B的坐標(biāo)為．【答案】(2，3)13．若點A(x，－5)與點B(2，y)關(guān)于x軸對稱，則yx＝【答案】25．14．將點A(－2，3)向下平移4個單位長度后得到點B，點B關(guān)于x軸對稱的點C的坐標(biāo)為【答案】(－2，1)．15.由一個平面圖形可以得到它關(guān)于某條直線對稱的圖形，這個圖形與原圖形的_________、___________完全一樣.【答案】形狀；大小16.下列每對文字圖形中，能看成關(guān)于虛線對稱的有：_________（只需要序號）.【答案】①⑤17.數(shù)的運算中會有一些有趣的對稱形式，仿照等式①的形式填空，并檢驗等式是否成立.①12×231=132×21;②12×462=___________;④24×231=___________.③18×891=__________;【答案】264×21；198×81；132×42三、解答題18．如圖，給出了一個圖案的一半，其中虛線l是這個圖案的對稱軸，請作出這個圖形關(guān)于l的軸對稱圖形，并說出這個圖案的形狀．【答案】解：如答圖，這個圖案是一個六角星．19.如圖,在10×10的正方形網(wǎng)格中有一個四邊形和兩個三角形(所有頂點都在方格的格點上).(1)請你畫出以上三個圖形關(guān)于直線MN對稱的圖形;(2)將(1)中畫出的圖形與原圖形看成一個整體圖形,請寫出這個整體圖形對稱軸的條數(shù).【答案】(1)所畫圖形如圖所示:(2)這個整體圖形共有4條對稱軸.20.已知：如圖，點P，Q為∠AOB內(nèi)部兩點，點M，N分別為OA，OB上的兩個動點，作四邊形PMNQ，請作圖說明當(dāng)點M，N在何處時，四邊形PMNQ的周長最小．【答案】如圖所示：點M，N即為所求．21．△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；(2)將△ABC向右平移6個單位，作出平移后的△A2B2C2，并寫出△A2B2C2各頂點的坐標(biāo)；(3)觀察△A1B1C1和△A2B2C2，它們是否關(guān)于某條直線對稱？若是，請在圖上畫出這條對稱軸．【答案】(1)圖略．(2)∵△ABC向右平移6個單位，∴A、B、C三點的橫坐標(biāo)加6，縱坐標(biāo)不變，作出△A2B2C2，如圖，A2(6，4)，B2(4，2)，C2(5，1)．(3)△A1B1C1和△A2B2C2是軸對稱圖形，對稱軸為圖中直線l：x＝3.22.如圖，已知△ABC.(1)畫出△(2)畫出△，使△，使△．和△ABC關(guān)于直線MN成軸對稱；和△ABC關(guān)于直線PQ成軸對稱：(3)△與△成軸對稱嗎？若成，請在圖上畫出對稱軸；若不成，說明理由，【答案】解析(1)△如圖所示．(2)△如圖所示．(3)△與△不成軸對稱，因為找不到使△與△對稱的直線．13.3等腰三角形一．選擇題1．已知，在等腰△ABC中，一個外角的度數(shù)為100°，則∠A的度數(shù)不能取的是（）A．20°B．50°C．60°D．80°2．如圖，點D在△ABC的邊AC上，且AD＝BD＝CD，若∠A＝40°，則∠C＝（）A．40°B．50°C．60°D．45°3．一個等腰三角形的兩邊長分別為2dm、9dm，則它的周長是（）A．13dmB．20dmC．13dm或20dmD．無法確定4．等腰三角形一邊長為5，另一邊長為2，則此三角形的周長為（）A．9或12B．12C．9D．105．三個等邊三角形的擺放位置如圖所示，若∠1+∠2＝110°，則∠3的度數(shù)為（）A．90°B．70°C．45°D．30°6．在所給網(wǎng)格中，以格點（網(wǎng)格線的交叉點）A、B連線為一邊構(gòu)造格點等腰三角形ABC，則符合的點C的個數(shù)是（）A．6B．7C．8D．97．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AD＝2.4．A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④8．如圖所示的方格紙中，每個方格均為邊長為1的小正方形，我們把每個小正方形的頂點稱為格點，現(xiàn)已知A、B、C、D都是格點，則下列結(jié)論中正確的是（）A．△ABC、△ABD都是等腰三角形B．△ABC、△ABD都不是等腰三角形C．△ABC是等腰三角形，△ABD不是等腰三角形D．△ABC不是等腰三角形，△ABD是等腰三角形9．如圖，已知等邊△ABC的周長是12，點P是三角形內(nèi)的任意一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，則PD+PE+PF的值是（）A．12B．8C．4D．310．如圖，以△ABC的頂點B為圓心，BA的長為半徑畫弧，交BC邊于點D，連接AD．若∠B＝50°，∠C＝35°，則∠DAC的度數(shù)是（）A．15°B．30°C．50°D．65°二．填空題11．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝60°，且△ABC的周長為24cm，則AB的長為cm．12．如圖，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，EF經(jīng)過點D，且EF∥BC，EF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，如果BE＝2，CF＝3，那么EF的長是．13．如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F．過點F作DF∥BC，交AB于點D，交AC于點E．若BD＝4，DE＝7，則線段CE的長為．14．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，過點D作EF∥BC交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AB＝10，AC＝8，則△AEF的周長是．15．如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ABC的角平分線．若AB＝AC，∠CAD＝26°，則∠ACE＝．三．解答題16．如圖，等腰△ABC中AB＝AC，線段BD把△ABC分成了等腰△ABD和等腰△BCD，且AD＝BD，BC＝DC，求∠A的大?。?7．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的中線，且BD＝CE．（1）求證：點D在BE的垂直平分線上；（2）若∠ABE＝20°，請求出∠BEC的度數(shù)．18．如圖，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，求證AB＝AC．19．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點O在BC邊上運動（O不與B、C重合），連結(jié)AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于點D．（1）當(dāng)OD∥AC時，判斷△AOB的形狀并證明；（2）在點O的運動過程中，△AOD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠BDO的度數(shù)；若不可以，請說明理由．參考答案與試題解析一．選擇題1．【解答】解：當(dāng)100°的角是頂角的外角時，頂角的度數(shù)為180°﹣100°＝80°，另外兩個角的度數(shù)都為50°；當(dāng)100°的角是底角的外角時，兩個底角的度數(shù)都為180°﹣100°＝80°，頂角的度數(shù)為180°﹣2×80°＝20°；故∠A的度數(shù)不能取的是60°．故選：C．2．【解答】解：∵AD＝BD＝CD，∴∠ABD＝∠A，∠C＝∠DBC，∵∠A＝40°，∴∠C＝（180°﹣40°×2）÷2＝50°．故選：B．3．【解答】解：當(dāng)腰長為9dm時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況成立，周長＝9+9+2＝20（dm）；當(dāng)腰長為2dm時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況不成立；所以這個三角形的周長是20dm．故選：B．4．【解答】解：當(dāng)5為等腰三角形的腰長時，2為底邊，此時等腰三角形三邊長分別為5，5，2，周長為5+5+2＝12；當(dāng)5為等腰三角形的底邊時，腰長為2，此時等腰三角形三邊長分別為5，2，2，不能組成三角形，綜上這個等腰三角形的周長為12．故選：B．5．【解答】解：如圖，∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝70°，故選：B．6．【解答】解：如圖：故選：C．7．【解答】解：∵BE是中線，∴AE＝CE，∴△ABE的面積＝△BCE的面積（等底等高的三角形的面積相等），故①正確；∵CF是角平分線，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD為高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正確；∵AD為高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分線，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正確；∵∠BAC＝90°，AD是高，∴S△ABC＝ABAC＝ADBC，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AD＝＝4.8，故④錯誤，故選：B．8．【解答】解：由圖可得，AC＝BC＝∴△ABC、△ABD都是等腰三角形，故選：A．，AD＝BD＝5，9．【解答】解：延長EP、FP分別交AB、BC于G、H，則由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四邊形PGBD，EPHC是平行四邊形，∴PG＝BD，PE＝HC，又△ABC是等邊三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等邊三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，又△ABC的周長為12，∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC＝×12＝4，故選：C．10．【解答】解：∠B＝50°，∠C＝35°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝65°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝95°﹣65°＝30°，故選：B．二．填空題（共5小題）11．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵△ABC的周長為24cm，∴AB＝×24＝8（cm），故答案為：8．12．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED，同理DF＝CF，∴EF＝BE+CF＝5，故答案為：5．13．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，∴BD＝DF＝4，F(xiàn)E＝CE，∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．故答案為：3．14．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，同理可證得DF＝FC，∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝10+8＝18，即△AEF的周長為18，故答案為：18．15．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，AB＝AC，∠CAD＝26°，∴∠CAB＝2∠CAD＝52°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）÷2＝64°．∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE＝32°．故答案為：32°．三．解答題（共4小題）16．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，BC＝DC，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠ABC，∠CBD＝∠CDB，設(shè)∠A＝x°，則∠ABD＝∠A＝x°，∴∠CBD＝∠CDB＝∠A+∠ABD＝2x°，∴∠C＝∠ABC＝3x°，∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∴x+3x+3x＝180，解得x＝，∴∠A＝（）°．17．【解答】（1）證明：連接DE，∵CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC邊上的中線，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴點D在BE的垂直平分線上；（2）解：∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE，∵∠ABE＝20°，∴∠BEC＝60°．18．【解答】證明：∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠2，∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．19．【解答】解：（1）△AOB為直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，∴∠OAC＝∠AOD＝30°，∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，∴△AOB是直角三角形；（2）△AOD的形狀可以是等腰三角形，理由如下：分三種情況：①DA＝DO時，∠OAD＝∠AOD＝30°，∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；②OA＝OD時，∠ODA＝∠OAD＝（180°﹣30°）＝75°13.4《課題學(xué)習(xí)--最短路徑問題》一．選擇題1．如圖，直線l是一條河，P，Q是兩個村莊．計劃在l上的某處修建一個水泵站M，向P，Q兩地供水．現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案（圖中實線表示鋪設(shè)的管道），則所需管道最短的是（）A．B．C．D．2．如圖，直線m表示一條河，M，N表示兩個村莊，欲在m上的某處修建一個給水站，向兩個村莊供水，現(xiàn)有如圖所示的四種鋪設(shè)管道的方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的方案是（）A．C．B．D．3．如圖，已知∠O，點P為其內(nèi)一定點，分別在∠O的兩邊上找點A、B，使△PAB周長最小的是（）A．B．C．D．4．如圖，直線l是一條河，P，Q兩地在直線l的同側(cè)，欲在l上的某點M處修建一個水泵站，分別向P，Q兩地供水．現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，則鋪設(shè)的管道最短的方案是（）A．B．C．D．5．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（4，2），點B坐標(biāo)為（1，﹣3），在y軸上有一點P使PA+PB的值最小，則點P坐標(biāo)為（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）6．如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP＝5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．25°B．30°C．35°D．40°7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個動點，則下列線段的長度等于BP+EP最小值的是（）A．BCB．CEC．ADD．AC8．如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上的一點，在AC上找一點P，使PD+PE的值最小，這個最小值等于線段（）的長度．A．ABB．ACC．BPD．BE9．如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．810．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面積是16，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．6B．8C．10D．12二．填空題11．如圖所示，∠AOB＝30°，角內(nèi)有點P，PO＝10cm，兩邊上各有一點Q，R（均不同于點O），則△PQR的周長最小值是．12．如圖，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一點M，OM＝10cm，現(xiàn)要在OC、OA上分別找點Q、N，使QM+QN最小，則其最小值是．13．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，3），點B（﹣2，1），在x軸上存在點P到A，B兩點的距離之和最小，則P點的坐標(biāo)是．15．如圖，△ABC中，AB＝AC＝13，面積65，AD是∠BAC的角平分線，E是AD上的動點，F(xiàn)是AB邊上的動點，則BE+EF的最小值為．三．解答題16．如圖，P是∠AOB內(nèi)任一點，分別在OA、OB上，求作兩點P1，P2，使△PP1P2的周長最?。ê喴f明作法）．17．河的兩岸成平行線，A，B是位于河兩岸的兩個車間（如圖），要在河上造一座橋，使橋垂直于河岸，并且使A，B間的路程最短確定橋的位置的方法是：作從A到河岸的垂線，分別交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，連接EB，EB交MN于D．在D處作到對岸的垂線DC，垂足為C，那么DC就是造橋的位置．請說出橋造在CD位置時路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．18．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P為CD上的動點，則|PA﹣PB|的最大值為．19．有人會說：“這也太簡單了！”別著急，請看下面這道題（如圖）有一位將軍騎著馬要從A地走到B地，但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近．這道題乍一看似乎無從下手．但經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)此題依然可以利用“兩點之間，線段最短”來解決問題，具體方法為：做B點與河面的對稱點B′，連接AB′，可得到馬喝水的地方C（如圖）．再連接CB得到這道題的解A→C→B．這就是著名的“將軍飲馬”問題．不信的話你可以在河邊任意取一點C′連接AC′和C′B，比較一下就知道了．20．已知：如圖所示，（1）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′，并寫出△A′B′C′三個頂點的坐標(biāo)．（2）在x軸上畫出點P，使PA+PC最小．21．如圖，A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上求一點P，使△PAB的周長最小．22．（1）如圖1，在AB直線一側(cè)C、D兩點，在AB上找一點P，使C、D、P三點組成的三角形的周長最短，找出此點并說明理由．（2）如圖2，在∠AOB內(nèi)部有一點P，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．（3）如圖3，在∠AOB內(nèi)部有兩點M、N，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．參考答案一．選擇題1．解：作點P關(guān)于直線l的對稱點P′，連接QP′交直線l于M．根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項B修建的管道，則所需管道最短．故選：D．2．解：作點M關(guān)于直線m的對稱點P′，連接nP′交直線L于P．根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項D鋪設(shè)的管道，則所需管道最短．故選：D．3．解：分別在∠O的兩邊上找點A、B，使△PAB周長最小的是D選項，故選：D．4．解：作點P關(guān)于直線l的對稱點P′，連接QP′交直線l于M．根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項B修建的管道，所需管道最短．又由垂線段最短，可知鋪設(shè)的管道最短的方案是選項A．故選：A．5．解：如圖所示：作B點關(guān)于y軸對稱點B′點，連接AB′，交y軸于點P，則此時AP+PB＝AP+PB′＝AB′的值最小，∵點B坐標(biāo)為（1，﹣3），∴B′（﹣1，﹣3），∴B′C＝AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴PD＝B′D＝1，∵OD＝|﹣3|＝3，∴OP＝2，∴P（0，﹣2），故選：D．6．解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點P關(guān)于OA的對稱點為D，關(guān)于OB的對稱點為C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵點P關(guān)于OB的對稱點為C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵△PMN周長的最小值是5cm，∴PM+PN+MN＝5，∴DM+CN+MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；故選：B．7．解：如圖連接PC，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PB+PE＝PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度，故選：B．8．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴點D與點B關(guān)于直線AC對稱，連接BE，則線段BE的長就是PD+PE的最小值．故選：D．9．解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E∴當(dāng)點M與M′重合，點N與N′重合時，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為8，AB＝4，∴×4?CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值為4．故選：B．10．解：連接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，∴MA＝MC，∵AD≤AM+MD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故選：C．二．填空題11．解：如圖，作出點P關(guān)于OA的對稱點E，作出點P關(guān)于OB的對稱點F，連接EF，交OA于Q，交OB于R．連接PQ，PR，PE，PF，OE，OF．則PQ＝EQ，PR＝RF，則△PQR的周長＝PQ+QR+PR＝EQ+QR+RF＝EF．∵∠AOP＝∠AOE，∠POB＝∠FOB，∠AOB＝∠AOP+∠POB＝30°，∴∠EOF＝60°，又∵OE＝OP，OF＝OP，∴OE＝OF＝10，即△EOF是等邊三角形，∴EF＝OP＝10，所以△PQR的周長的最小值為10．故答案為：10．12．解：作M關(guān)于OC的對稱點P，過P作PN⊥OA于N，交OC于Q，則此時QM+QN的值最小，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一點M，∴OA、OB關(guān)于OC對稱，∴P點在OB上，∴OP＝OM＝10cm，QM＝PQ，∠PNO＝90°，∵PN＝OP＝×10＝5cm，∴QM+QN＝PQ+QN＝PN＝5cm，故答案為5cm．13．解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故答案為：10．14．解：作A關(guān)于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于P，則此時AP+BP最小，∵A點的坐標(biāo)為（2，3），B點的坐標(biāo)為（﹣2，1），∴C（2，﹣3），設(shè)直線BC的解析式是：y