河南理工大學(xué)材料力學(xué)五彎曲應(yīng)力

材料力學(xué)第五章彎曲應(yīng)力2023年2月7日§5–1

概述

§5–2

純彎曲時的正應(yīng)力§5–3橫力彎曲時的正應(yīng)力§5–4彎曲切應(yīng)力§5–5

提高梁強度的主要措施第五章彎曲應(yīng)力§5–1

概述

一、平面彎曲縱向?qū)ΨQ面P1P25.1

概述二、純彎曲

圖示梁AB段橫截面上只有彎矩，而無剪力，該段梁的彎曲稱為純彎曲。

CA與BD

段橫截面上即有彎矩，又有剪力，該兩段梁的彎曲稱為橫力彎曲。FFaaCD++FF+F.a圖5-1AB5.1

概述§5–2

純彎曲時的正應(yīng)力⒈實驗現(xiàn)象一、變形幾何關(guān)系5.2

純彎曲時的正應(yīng)力abcdMMbdac

⑴縱向直線代表一層纖維，變形后為平行曲線。每層變成曲面，同層纖維變形相同。下層纖維受拉伸長，上層纖維受壓縮短；層間變形連續(xù)，中間必有一層即不伸長也不縮短，稱為中性層。

⑵橫線代表一橫截面，變形后仍為直線，但轉(zhuǎn)過一個角度，且仍與縱線正交。橫截面與中性層的交線稱為中性軸。5.2

純彎曲時的正應(yīng)力⒉基本假設(shè)⑴平面假設(shè)：梁的橫截面變形后仍為平面，且與梁變形后的軸線正交；

⑵層間纖維無擠壓。5.2

純彎曲時的正應(yīng)力

縱向線bb變形后的長度為:

bb變形前的長度等于中性層

縱向線bb的應(yīng)變?yōu)榧矗杭儚澢鷷r橫截面上各點的縱向線應(yīng)變沿截面高度呈線性分布。

中性層長度不變,所以3、變形幾何關(guān)系

5.2

純彎曲時的正應(yīng)力2、物理關(guān)系

因為縱向纖維只受拉或壓，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時，由胡克定律有:即：純彎曲時橫截面上任一點的正應(yīng)力與它到中性軸的距離y成正比。也即，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布。5.2

純彎曲時的正應(yīng)力3、靜力學(xué)關(guān)系

對橫截面上的內(nèi)力系，有:根據(jù)靜力平衡條件，純彎曲梁的左側(cè)只有對z軸的力偶矩M，

即：

yyxzdAzC5.2

純彎曲時的正應(yīng)力由:

z

軸通過形心即：中性軸通過形心。由:因為y軸是對稱軸，上式自然滿足。5.2

純彎曲時的正應(yīng)力EIz

梁的抗彎剛度將上式代入由:將彎矩M和坐標(biāo)y按規(guī)定的正負號代入，所得到的正應(yīng)力σ若為正值，即為拉應(yīng)力，若為負值，即為壓應(yīng)力。在具體計算中，可根據(jù)梁變形的情況來判斷，即以中性層為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力，而凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力，此時,M和y可以直接代入絕對值。5.2

純彎曲時的正應(yīng)力在橫截面上離中性軸最遠的各點處，正應(yīng)力最大。令:式中Wz稱為扭彎截面系數(shù)，其單位為m3。CzdCzbh/2h/2zdCD5.2

純彎曲時的正應(yīng)力觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式實驗平面假設(shè)單向受力假設(shè)中性層、中性軸中性軸過橫截面形心EIz稱為抗彎剛度純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的計算公式:M為梁橫截面上的彎矩y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩討論

(1)應(yīng)用公式時,一般將M,y

以絕對值代入.根據(jù)梁變形的情況直接判斷

的正負號.以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力(

為正號).凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力(為負號).(2)最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠的點處則公式改寫為引用記號——抗彎截面系數(shù)（1）當(dāng)中性軸為對稱軸時矩形截面實心圓截面空心圓截面bhzyzdyzDdyzy（2）對于中性軸不是對稱軸的橫截面M應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠的距離和直接代入公式求得相應(yīng)的最大正應(yīng)力§5–3

橫力彎曲時的正應(yīng)力橫力彎曲時，梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力，切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲，橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力，純彎曲時所作的平面假設(shè)和單向受力假設(shè)都不成立。雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但進一步的分析表明,工程中常用的梁,純彎曲時的正應(yīng)力計算公式，可以精確的計算橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力。等直梁橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力公式為5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力一、公式的應(yīng)用范圍

1、

在彈性范圍內(nèi)3、平面彎曲4、直梁2、具有切應(yīng)力的梁二、強度條件：梁內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力強度條件的應(yīng)用(2)設(shè)計截面(3)確定許可載荷(1)強度校核對于鑄鐵等

脆性材料制成的梁,由于材料的且梁橫截面的中性軸

一般也不是對稱軸,所以梁的(兩者有時并不發(fā)生在同一橫截面上)要求分別不超過材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力例題1螺栓壓板夾緊裝置如圖所示.已知板長3a＝150mm，壓板材料的彎曲許用應(yīng)力[σ]＝140MP.試計算壓板傳給工件的最大允許壓緊力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解

(1)作出彎矩圖的最大彎矩為Fa(2)求慣性矩，抗彎截面系數(shù)(3)求許可載荷5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力80y1y22020120z例題2T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示.鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為[t]=30MPa,抗壓許用應(yīng)力為[c]=160MPa.已知截面對形心軸Z的慣性矩為Iz

=763cm4,y1=52mm,校核梁的強度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力RARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kNm2.5kNm解最大正彎矩在截面C上最大負彎矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力例3:圖示圓截面梁，直徑d=200mm，材料的容許正應(yīng)力[]=10MPa，容許切應(yīng)力[]=2MPa。試校核該梁的強度。AB3m1mFA=5kNdFB=10kN解：求支座反力；畫剪力圖和彎矩圖；

最大正應(yīng)力發(fā)生在距A端1.25m截面的上下邊緣； Fs圖⊕⊕○－5kN3kN7kN1.25m5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力AB3m1mFA=5kNdFB=10kN此梁滿足正應(yīng)力強度條件。Fs圖⊕⊕○－5kN3kN7kN1.25m5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力一、梁橫截面上的切應(yīng)力1、矩形截面梁

§5–4

梁的切應(yīng)力及強度條件

(1)兩個假設(shè)(a)切應(yīng)力與剪力平行(b)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布(即矩中性軸等距離處切應(yīng)力相等)

q(x)F1F2mnnmxyzobdxm’m’hn(2)分析方法(a)用橫截面m-m,n-n從梁中截取dx一段.兩橫截面上的彎矩不等.所以兩截面同一y處的正應(yīng)力也不等.(b)假想地從梁段上截出體積元素mB1在兩端面mA1,nB1上兩個法向內(nèi)力不等.q(x)F1F2mmnnxdxyABA1B1dxmnnmxyzoyABA1B1bdxm’m’hnττ’(c)在縱截面上必有沿x

方向的切向內(nèi)力dFs’.故在此面上就有切應(yīng)力τ,ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’根據(jù)假設(shè)橫截面上距中性軸等遠的各點處切應(yīng)力大小相等.各點的切應(yīng)力方向均與截面?zhèn)冗吰叫?取分離體的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’(3)公式推導(dǎo)假設(shè)m-m,n-n上的彎矩為M和M+dM.兩截面上距中性軸y1處的正應(yīng)力為1和2.A*為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積式中：為面積A*對中性軸的靜矩.dx化簡后得由平衡方程A*ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’b矩型截面的寬度yz整個橫截面對中性軸的慣性矩距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩(4)切應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關(guān)系確定y1nBmAxyzOyA1B1m1可見,切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化.zτmaxy=±h/2(即在橫截面上距中性軸最遠處)τ=0y=0(即在中性軸上各點處),切應(yīng)力達到最大值式中,A=bh,為矩形截面的面積.z截面靜矩的計算方法A*為截面面積為截面的形心坐標(biāo)A*2、工字形截面梁假設(shè)求應(yīng)力的點到中性軸的距離為y.研究方法與矩形截面同,切應(yīng)力的計算公式亦為HoyBxbzhd

——腹板的厚度Ozydxy——距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積A*對中性軸的靜矩.τminozyτmaxτmax(a)腹板上的剪應(yīng)力沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律變化.(b)最大剪應(yīng)力也在中性軸上.這也是整個橫截面上的最大剪應(yīng)力.ozyτminτmax式中——中性軸任一邊的半個橫截面面積對中性軸的靜矩.ydzo假設(shè)(a)沿寬度kk’上各點處的剪應(yīng)力均匯交于o’點.(b)各點處切應(yīng)力沿y方向的分量沿寬度相等.在截面邊緣上各點的切應(yīng)力的方向與圓周相切.3、圓截面梁最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上ydzo式中為圓截面的面積4、圓環(huán)形截面梁圖示為一段薄壁環(huán)形截面梁.環(huán)壁厚度為,環(huán)的平均半徑為r0,由于

?r0故可假設(shè)(a)橫截面上剪應(yīng)力的大小沿壁厚無變化.(b)剪應(yīng)力的方向與圓周相切.zyr0δ式中A=2r0為環(huán)形截面的面積橫截面上最大的剪應(yīng)力發(fā)生中性軸上,其值為zyr0δ二、強度條件三、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況（1）梁的跨度較短,M

較小,而FS較大時,要校核剪應(yīng)力.（2）鉚接或焊接的組合截面,其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時,要校核切應(yīng)力.（3）各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差,要校核剪應(yīng)力.F例題4一簡易起重設(shè)備如圖所示.起重量(包含電葫蘆自重)F=30kN.跨長l=5m.吊車大梁AB由20a工字鋼制成.其許用彎曲正應(yīng)力[]=170MPa,許用彎曲切應(yīng)力[]=100MPa，試校核梁的強度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊車梁可簡化為簡支梁力P在梁中間位置時有最大正應(yīng)力.(a)正應(yīng)力強度校核由型鋼表查得20a工字鋼的所以梁的最大正應(yīng)力為+FSmax5mABFC(b)切應(yīng)力強度校核在計算最大剪應(yīng)力時,應(yīng)取荷載F在緊靠任一支座例如支座A處所示,因為此時該支座的支反力最大,而梁的最大切應(yīng)力也就最大.查型鋼表中,20a號工字鋼,有d=7mm據(jù)此校核梁的剪應(yīng)力強度以上兩方面的強度條件都滿足,所以此梁是安全的.解(1)計算支反力做內(nèi)力圖.qBACDElFFaaRARB8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m例題5簡支梁AB如圖所示.l＝2m,a＝0.2m.梁上的載荷為q＝10kN/m,F＝200kN.材料的許用應(yīng)力為[σ]=160MPa,[τ]＝100MPa,試選擇工字鋼型號.(2)根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號查型鋼表,選用22a工字鋼,其Wz＝309cm3（3）校核梁的切應(yīng)力腹板厚度d=0.75cm，由剪力圖知最大剪力為210kN查表得τmax超過[τ]很多，應(yīng)重新選擇更大的界面.現(xiàn)已25b工字鋼進行試算查表得d=1cm所以應(yīng)選用型號為25b的工字鋼.例題6對于圖中的吊車大梁,現(xiàn)因移動荷載F增加為50kN,故在20a號工字鋼梁的中段用兩塊橫截面為120mm10mm而長度2.2mm的鋼板加強加強段的橫截面尺寸如圖所示.已知許用彎曲正應(yīng)力[]=152MPa,許用剪應(yīng)力[]=95MPa.試校核此梁的強度.2.2m200z22012010解加強后的梁是階梯狀變截面梁.所以要校核(3)F移至未加強的梁段在截面變化處的正應(yīng)力(2)F靠近支座時支座截面上的剪應(yīng)力(1)F位于跨中時跨中截面上的彎曲正應(yīng)力(1)校核F位于跨中時截面時的彎曲正應(yīng)力查表得20a工字鋼F62.5kN.m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA最大彎矩值為跨中截面對中性軸的慣性矩為200z22012010略去了加強板對其自身形心軸的慣性矩.抗彎截面系數(shù)(2)校核突變截面處的正應(yīng)力,也就是校核未加強段的正應(yīng)力強度.2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA50.4kN.m該截面上的彎矩為最大從型鋼表中查得20a工字鋼梁不能滿足正應(yīng)力強度條件.為此應(yīng)將加強板適當(dāng)延長.(3)校核階梯梁的切應(yīng)力F靠近任一支座時,支座截面為不利荷載位置請同學(xué)們自行完成計算.§5–5提高梁強度的主要措施一、降低梁的最大彎矩值1、合理地布置梁的荷載按強度要求設(shè)計梁時,主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強度條件FlFl/4Fl/8Fl/4l/4l/22、合理地設(shè)置支座位置當(dāng)兩端支座分別向跨中移動a=0.207l

時aalq0.0214ql2lqql2/2二、增大Wz1、合理選擇截面形狀在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面zDzaaa12a1z工字形截面與框形截面類似.0.8a2a21.6a22a2z2、合理的放置Fbhbh2、對于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等對中性軸不對稱的截面且將翼緣置于受拉側(cè).三、根據(jù)材料特性選擇截面形狀1、對于塑性材料制成的梁,選以中性軸為對稱軸的橫截面zy1y2σcmaxσtmax要使y1/y2接近下列關(guān)系:最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時接近許用應(yīng)力四、采用等強度梁梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等,并均達到材料的許用應(yīng)力,則稱為等強度梁.例如，寬度b保持不變而高度可變化的矩形截面簡支梁,若設(shè)計成等強度梁,則其高度隨截面位置的變化規(guī)律h(x),可按正應(yīng)力強度條件求得.bh(x)zFl/2l/2梁任一橫截面上最大正應(yīng)力為求得但靠近支座處，應(yīng)按剪應(yīng)力強度條件確定截面的最小高度求得bh(x)zFl/2l/2按上確定的梁的外形,就是廠房建筑中常用的魚腹梁.F例題4

Dd直徑為d的鋼絲繩纏繞在直徑為D的圓柱上，已知鋼材料的屈服極限為，若使鋼絲繩纏繞后不產(chǎn)生塑性變形，D的最小值應(yīng)為多少？解：5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力例5

簡支梁由兩塊木板組成（未粘接），兩板光滑接觸，求梁的應(yīng)力。解:各板平面假設(shè)成立即解得5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力如，則粘接后，5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力思5—1.圖示三種截面梁，材質(zhì)、截面內(nèi)Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪種截面最經(jīng)濟。思5—2.簡支梁受均布荷載，求梁下邊緣的伸長量。5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力思5—3.圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長為10mm，E=10GPa，求載荷F的大小。思6—4.我國營造法中，對矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。目錄5.3

橫力彎曲時的正應(yīng)力§5–4

彎曲切應(yīng)力橫力彎曲時，梁橫截面即有彎矩，也有剪力，相應(yīng)也必有切應(yīng)力。一、矩形截面切應(yīng)力基本假設(shè)：⑴截面上各點切應(yīng)力與剪力同向；⑵切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。q(x)F1F25.4

彎曲切應(yīng)力在梁上截一微段dx，再在微段上用水平截面mn截一微元。FsFsMM+dM1122dxmnq(x)F1F2mmnnxdx1‘dx2mnzyh/25.4

彎曲切應(yīng)力1‘dx2mnzyh/212‘yy1bdAFN1FN212dxmnyxz平衡條件：5.4

彎曲切應(yīng)力‘yy1bdAN1N212dxmnyxz同理得因于是得得代入平衡方程得5.4

彎曲切應(yīng)力式中為截面求應(yīng)力那點到截面邊緣所圍面積對中性軸的靜矩。C*byy*h/2h/2zmax橫截面各點切應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布。中性軸上切應(yīng)力最大，上下邊緣切應(yīng)力為零。5.4

彎曲切應(yīng)力5.4

彎曲切應(yīng)力假設(shè)求應(yīng)力的點到中性軸的距離為y.研究方法與矩形截面同,剪應(yīng)力的計算公式亦為hoybxb0zh0翼緣腹板二、工字形截面的切應(yīng)力腹板的切應(yīng)力5.4

彎曲切應(yīng)力b——腹板的厚度Ozydxy——距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積A*對中性軸的靜矩.5.4

彎曲切應(yīng)力Bzb5.4

彎曲切應(yīng)力假設(shè)(a)沿寬度kk’上各點處的剪應(yīng)力均匯交于o’點.(b)各點處切應(yīng)力沿y方向的分量沿寬度相等.在截面邊緣上各點的剪應(yīng)力的方向與圓周相切.3、圓截面梁最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上式中為圓截面的面積ydzo5.4

彎曲切應(yīng)力4、圓環(huán)形截面梁圖示為一段薄壁環(huán)形截面梁.環(huán)壁厚度為,環(huán)的平均半徑為r0,由于

?r0故可假設(shè)(a)橫截面上剪應(yīng)力的大小沿壁厚無變化.(b)剪應(yīng)力的方向與圓周相切.式中A=2r0為環(huán)形截面的面積橫截面上最大的剪應(yīng)力發(fā)生中性軸上,其值為zyr0δ5.4

彎曲切應(yīng)力二、強度條件三、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況（1）梁的跨度較短,M

較小,而FS較大時,要校核剪應(yīng)力；（2）鉚接或焊接的組合截面,其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時,要校核剪應(yīng)力；（3）各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差,要校核剪應(yīng)力。5.4

彎曲切應(yīng)力實心矩形截面梁正應(yīng)力與切應(yīng)力的比較所以，對實心截面梁通常不需要校核剪切強度。5.4

彎曲切應(yīng)力F例題6圖示簡易起重設(shè)備，F(xiàn)=30kN.跨長l=5m.吊車大梁AB由20a工字鋼制成，許用正應(yīng)力[]=170MPa,許用剪應(yīng)力[]=100MPa，試校核梁的強度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊車梁可簡化為簡支梁力F

在梁中間位置時有最大正應(yīng)力.(a)正應(yīng)力強度校核由型鋼表查得20a工字鋼的所以梁的最大正應(yīng)力為5.4

彎曲切應(yīng)力+FSmax5mABFC在計算最大剪應(yīng)力時,應(yīng)取荷載F在緊靠任一支座例如支座A處所示,因為此時該支座的支反力最大,而梁的最大切應(yīng)力也就最大.查型鋼表中,20a號工字鋼,有d=7mm據(jù)此校核梁的剪應(yīng)力強度以上兩方面的強度條件都滿足,所以此梁是安全的.5.4

彎曲切應(yīng)力解(1)計算支反力做內(nèi)力圖.qBACDElFFaaRARB8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m例題7簡支梁AB如圖所示.l＝2m,a＝0.2m.梁上的載荷為q＝10kN/m,F＝200kN.材料的許用應(yīng)力為[σ]=160MPa,[τ]＝100MPa,試選擇工字鋼型號.(2)根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號查型鋼表,選用22a工字鋼,其Wz＝309cm35.4

彎曲切應(yīng)力（3）校核梁的切應(yīng)力腹板厚度d=0.75cm，由剪力圖知最大剪力為210kN查表得τmax超過[τ]很多，應(yīng)重新選擇更大的界面.現(xiàn)已25b工字鋼進行試算查表得d=1cm所以應(yīng)選用型號為25b的工字鋼.5.4

彎曲切應(yīng)力例8(書例5.4)已知：由木板膠合而成的梁。解：求：膠合面上沿