第五章 插值法

函數(shù)常被用來描述客觀事物變化的內(nèi)在規(guī)律——數(shù)量關系，如宇宙中天體的運行，地球上某地區(qū)平均氣溫的變化等等，但在生產(chǎn)和科研實踐中碰到的大量的函數(shù)中，不僅僅是用解析表達式表示的函數(shù)，還經(jīng)常用數(shù)表和圖形來表示函數(shù)，其中函數(shù)的數(shù)表形式在實際問題中應用廣泛，主要原因是有相當一部分函數(shù)是通過實驗或觀測得到的一些數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)只是某些離散點xi上的值（包括函數(shù)值f(xi)，導數(shù)值f

(xi)等,i=0,1,2,…,n),雖然其函數(shù)關系是客觀存在的，但卻不知道具體的解析表達式，因此不便于分析研究這類數(shù)表函數(shù)的性質，也不能直接得出其它未列出點的函數(shù)值，我們希望能對這樣的函數(shù)

用比較簡單的表達式近似地給出整體的描述。

如行星在太空中的定位問題：當行星在空間運行時，可通過精密觀測儀器在不同的時間ti(i=1,2,…)觀測到行星所在位置S(ti)，無論花費多少人力物力，所得到的只是一批離散數(shù)據(jù)(ti,S(ti)),i=1,2,…)，而行星是在作連續(xù)運動，它在任一時間t（與ti不同）的位置S(t)，我們只能再去通過觀測得到，插值逼近是利用這組離散數(shù)據(jù)(ti,S(ti))構造一個簡單的便于計算的近似函數(shù)（解析表達式），用它可求任何時間的函數(shù)值（稱為插值），對這個近似解析表達式也能求導，討論其各種性質。又如：據(jù)資料記載，某地區(qū)每隔10年進行一次人口普查，自1930年到1990年的統(tǒng)計結果如下：

另一方面，有些函數(shù)，雖然有解析表達式，但因其過于復雜，不便于計算和分析，同樣希望構造一個既能反映函數(shù)的特性又便于計算的簡單函數(shù)，近似代替原來的函數(shù)。

如在積分中，當f(x)很復雜，要計算積分I是很困難的，構造近似函數(shù)使積分容易計算，并且使之離散化能上機計算求出積分I，都要用到插值逼近。

年份:1930194019501960197019801990人口（百萬）:123132151180203227252通過對上述數(shù)據(jù)的觀察和分析，我們希望能估計出這六十年期間任何一年（例如1965年）的人口總數(shù)，或者預測2010年該地區(qū)的人口數(shù)量。利用插值方法就可以解決這一類問題。代數(shù)插值

解決上述問題的方法有兩類：一類是對于一組離散點(xi,f(xi))(i=0,1,2,…,n)，選定一個便于計算的函數(shù)形式(x)，如多項式，分段線性函數(shù)，有理式，三角函數(shù)等，要求(x)通過點(xi)=f(xi)(i=0,12,…,n),由此確定函數(shù)(x)作為f(x)的近似。這就是插值法。另一類方法在選定近似函數(shù)的形式后，不要求近似函數(shù)過已知樣點，只要求在某種意義下它在這些點上的總偏差最小。這類方法稱為曲線（數(shù)據(jù)）擬合法，將在下一章介紹。

本章主要討論構造插值多項式的幾種常用的方法及其誤差用插值法求函數(shù)的近似表達式時，首先要選定函數(shù)的形式?？晒┻x擇的函數(shù)很多，常用的是多項式函數(shù)。因為多項式函數(shù)計算簡便，只需用加、減、乘等運算，便于上機計算，而且其導數(shù)與積分仍為多項式。

用多項式作為研究插值的工具，稱為代數(shù)插值，其基本問題是：已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上n+1個不同點x0,x1,…,xn處的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,…,n),求一個次數(shù)不超過n的多項式：使其滿足在給定點處與f(x)相同，即滿足插值條件：

n(x)稱為插值多項式，xi(i=0,1,2,…,n)稱為插值節(jié)點，[a,b]稱為插值區(qū)間。

從幾何上看（如圖5-1所示），n次多項式插值就是過n+1個點yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，作一條多項式曲線y=(x)近似曲線y=f(x):yxy0yny2x0x1x2xny1（圖5-1）因此，所謂插值，即是在x0,x1,…,xn中任意插入一個x，要求對應的f(x)，具體做法是按上述方法構造n(x)以n(x)近似f(x)。

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插值法是求函數(shù)值的一種逼近方法，是數(shù)值分析中的基本方法之一，作為基礎，后面微分，積分，微分方程在進行離散化處理時，要用到，作為一種逼近方法，本身也有廣泛的應用價值，如在拱橋建設中，拱軸，拱腹的設計節(jié)點與具體施工設計點常常可能不重合。如圖5-2所示。假定：設計給出的節(jié)點為xi=2,4,6,8,10，……，施工設計拱架點為xi=1.5,3.5,5.5,8,10,……部分節(jié)點不重合，此時y=f(xi)如何求？這就是插值問題。246810xy（圖5-2）

又如在軟土地區(qū)修建鐵路，公路，將不可避免地會出現(xiàn)后期沉降（工后沉降）問題，其工后沉降的大小，沉降速率都直接影響鐵路，公路的養(yǎng)護運營，行車速度等，因此要對其進行嚴格控制。通過對已建成路基面標高（路肩）進行測量觀測，可得到一批數(shù)據(jù)，對這些數(shù)據(jù)進行分析（包括作插值），可推算出：①某一時刻路基沉降（如3年，5年）的沉降值；②不同時期路基沉降速率；③最終沉降值。代數(shù)插值應用舉例插值用于數(shù)碼相機增加圖像的分辯率：

如果要將一幅數(shù)碼圖像放大，也就是使其具有更多的像素，而多出來的像素原本是不存在的,需要根據(jù)周圍像素的色值計算出來，這個計算的過程即為插值。實際中，f(x)多樣，復雜，通常只能觀測到一些離散數(shù)據(jù)；或者f(x)過于復雜而難以運算。這時我們要用近似函數(shù)g(x)來逼近f(x)。自然地，希望g(x)通過所有的離散點概念x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)定義：為定義在區(qū)間上的函數(shù)，為區(qū)間上n+1個互不相同的點，為給定的某一函數(shù)類。求上的函數(shù)滿足問題是否存在唯一如何構造

當不斯地增加插值節(jié)點，那么插值函數(shù)列是否收斂被插函數(shù)。

注2:一次多項式插值---過兩點直線;二次多項式插值---過三點拋物線;不用待定系數(shù)法---(1)計算量大;(2)不易討論誤差;注1：如果要求插值多項式的次數(shù)一定要小于n－1，一般不存在。但如果要求插值多項式的次數(shù)超過n次，則存在但不唯一。

上面定理告訴我們，不管用何種方法構造插值多項式，次數(shù)不超過n次的滿足插值條件的多項式是同一個多項式。下面分別介紹幾種構造插值多項式的方法。

1：插值多項式的唯一性表明，對同一組節(jié)點，它們的插值多項式是唯一的，可能由不同的方法，會得到不同形式的插值多項式，但它們之間一定可以相互轉化，一定會相同，當然誤差也一樣。2：n+1組節(jié)點只能確定一個不超過n次的多項式，若>n

次，如設為n+1(x)，則有n+2有待定參數(shù)a0,a1,…,an,an+1需確定，而n+1個組節(jié)點，只構成n+1個插值條件，即構成n+1個方程，只能確定n+1個變量的方程組。3：上述證明是構造性的（給出解決問題的方法）即以通過解線性方程組來確定插值多項式，但這種方法的計算量偏大，計算步驟較多，容易使舍入誤差增大。因此實際計算中不采用這種方法，而用下面介紹的幾種常用的方法。

§2Lagrange插值公式

對(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)按插值條件（5-2）構造n次插值多項式，有幾種方法，可得相應的插值多項式，下面從最簡單的情形開始。

n=1時，只有兩個節(jié)點，x0,x1，對應于y0,y1，由前所述，插值多項式應設為1(x)=a0+a1x，且滿足插值條件：所以，n=1時兩個節(jié)點的插值多項式為：（緊接下屏）

其幾何意義，就是以過兩點(x0,y0)，(x1,y1)的直線y=1(x)近似曲線y=f(x)，故這種插值又稱為線性插值，如圖5-3所示：x圖5-3

x0x1由于1(x)為直線，由過兩點的直線的點斜式可得：

顯然，1(x)，N1(x)與L1(x)都是同一條直線，應相同，也可以驗證1(x)，N1(x)和L1(x)滿足插值條件（5-2）。線性插值多項式的上述幾種形式中，式（5-6）與式（5-7）由于形式上較簡單，將以它們?yōu)榛A，推廣到n+1個節(jié)點的一般情況，分別得到牛頓插值多項式Nn(x)和拉格朗日插值多項式Ln(x)。

為了將兩點插值公式L1(x)推廣到一般情況，引入插值基函數(shù)l0(x)，l1(x)，則：

L1(x)是兩個函數(shù)值的線性組合，組合系數(shù)為兩個插值基函數(shù)：

式（5-7）揭示了拉格朗日插值方法的特點，即將插值多項式表示為插值節(jié)點x0，x1對應的函數(shù)值y0，y1的線性組合，而組合系數(shù)就是插值基函數(shù)l0(x),l1(x)。所以插值問題可分解為基函數(shù)的插值問題。這里，l0(x),l1(x),l2(x)是二次插值基函數(shù)，應滿足插值條件：當n=2時，已知函數(shù)表如下，,求滿足插值條件L2(xi)=yi(i=0,1,2,)的二次的插值多項式L2(x)xx0x1x2y(x)y0y1y2

按此插值條件，每個基函數(shù)的零點都是插值節(jié)點，借助零點構造多項式，可寫出三個插值基函數(shù)。例如，由于x1,x2為l0(x)的兩個零點，故可設：同理可得：所以：L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2滿足插值條件（5-2）由多項式插值的唯一性知，L2(x)即為所求的二次插值多項式，由于其幾何意義為以拋物線L2(x)近似曲線y=f(x)，如圖5-4所示，故又稱為拋物插值。

將上述利用插值基函數(shù)求插值多項式的方法推廣到一般情況，當節(jié)點增多到n+1個時，對(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)

設n次插值多項式：xx1x2x0y圖5-4即li(x)有n個零點xj(j=0,1,…,n,j

i)且li(xi)=1，故它必定是以下形式：其中l(wèi)i(x)為插值基函數(shù)(i=0,1,2,…n)，它們的次數(shù)不超過n，且滿足：代入（5-9）式，得:定理２：設f(x)在［a,b］上存在n階連續(xù)導數(shù)，在（a,b）上存在n+1階導數(shù)，是Lagrange插值多項式，則對任何，插值余項為：

證：設易知有n+2個零點由x是(a,b)上的任意一點注:定理2中余項表達式只有在f(x)存在n+1階導數(shù)時才能應用。由于不能具體給出，故應用公式有困難。但如果在(a,b)中有界，則余項誤差容易估計.誤差還與有關.Lagrange插值的優(yōu)缺點無承襲性。增加一個節(jié)點，所有的基函數(shù)都要重新計算優(yōu)點：形式對稱易編程序

例：例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50并估計誤差?！?LagrangePolynomial解：n=1分別利用x0,x1以及x1,x2計算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/的實際誤差0.01001利用sin500.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/的實際誤差0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的x所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值例[證明]上式的左端為插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)均為1。顯然，函數(shù)f(x)1在這n+1個節(jié)點取值為1，即yi=f(xi)1(i=0,1,…,n)由式（5-10）知，它的n次Lagrange插值多項式為：對任意x，插值余項為：所以：例[證明]對任意x，插值余項為：3.Newton型多項式插值

Lagrange插值多項式是從直線的對稱式出發(fā)，利用插值基函數(shù)的方法得到的，但從計算的角度來說，直線的點斜式（5-6）更為方便，因此，能否由此出發(fā)，構造一類計算簡單的插值公式呢？

這是一個遞推公式，它表明當增加一個節(jié)點時，新的插值多項式只在原插值多項式基礎上增加一項，這種情況如果能推廣到n次多項式Nn(x)，則Nn(x)可寫作為：

上述插值多項式的系數(shù)a0,a1,…,an如何求，是否有規(guī)律？事實上，這些系數(shù)的確定，可利用插值條件：稱為k階差商稱為1階差商定義：差商由歸納：此處用到差商的一個性質：（用歸納法易證）對稱性：定義關鍵：找不同的元素相減作分母Newton插值構造1、先構造差商表例子2、利用差商表的最外一行，構造插值多項式誤差性質3差商的性質（1）各階差商均具有線性性質，即若f(x)=a

(x)+b

(x)，則對任意常數(shù)k，都有：（2）k階差商f[x0,x1,…,xk]可表成f(x0),f(x1)…,f(xk)的線性組合：（3）各階差商均具有對稱性，即改變節(jié)點的位置，差商值不變，如:（4）若f(x)是n次多項式，則一階差商f[x,xi]是n1次多項式。

事實上，如果f(x)是n次多項式，則p(x)=f(x)

f(xi)也是n次多項式，且p(xi)=0,xi為其零點p(x)可分解為p(x)=(xxi)pn1(x)，其中pn1(x)為n1次多項式，所以：為n1次多項式。由各階差商的定義，依次可得:記：（緊接下屏）顯然，Nn(x)是至多n次的多項式。而由：即得f(xi)=Nn(xi)(i=0,1…,n)。這表明Nn(x)滿足插值條件（5-2），因而它是f(x)的n次插值多項式。這種形式的插值多項式稱為Newton插值多項式。所需差商為表5-1第一條斜線上的含x0的各階差商。

Newton插值的優(yōu)點是：每增加一個節(jié)點，插值多項式只增加一項，即：因此便于遞推運算。而且Newton插值的計算量小于Lagrange插值。由插值多項式的唯一性可知，n次Newton插值多項式與n次Lagrange插值多項式是相等的，即Nn(x)=Ln(x)，它們只是表示形式不同。因此Newton余項與Lagrange余項也是相等的，即：由此可得差商與導數(shù)的關系：解：先造差商表由Newton公式得四次插值多項式為：

牛頓基本插值公式對結點是否等距沒有限制.不過當結點等距時前述牛頓插值公式可進行簡化.下面我們用差分的方法給出Newton前插和Newton后插的計算公式，此法特別適宜于用計算器計算。首先介紹差分概念.§4差分及其插值公式

為步長的一階向前差分

1.定義設一.差分叫步長為步長的k階向前差分

為在以為步長的一階向前差分

……m階叫步長……一般:一階二階(1)差分可表為函數(shù)值的線性組合

二.性質:證明:用歸納法

證明:用歸納法

3.差分表(實用)三等矩結點插值公式:將Newton插值公式

中的差商用性質(2)換為差分,可整理為如下的Newton向前插值公式設（5.6）截斷誤差可表示為(5.7)例：給出了y=cosx的函數(shù)表從x=0到此為0.6，h=0.1。計算cos0.048的值（其真值cos0.048≈0.99884822）。解：利用函數(shù)值表作差分表：

由x=0.048靠近表頭，我們從誤差項中有知道，用靠近0.048的點作為插值節(jié)點較好，此時t=0.48 現(xiàn)如果我們要計算cos0.575怎樣算？由于0.575靠近表尾，顯然用后面的節(jié)點作插值節(jié)點比較合理。為了也能象Newton前插公式那樣具有承襲性，為此我們再介紹Newton后插公式。在Newton插值公式中，我們已經(jīng)看到節(jié)點的大小順序是不作要求，現(xiàn)對節(jié)點按如下次序作插值，顯然

稱上公式為Newton后插公式。其中用到的各階差分就是差分表中最下一行上的各對應值

例：給出了y=cosx的函數(shù)表從x=0到此為0.6，h=0.1。計算cos0.575的值（而真值cos0.575≈0.8391923）。解：利用函數(shù)值表作差分表：

用后插公式

例：已知由插值節(jié)點(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)構造的3次插值多項式P3(x)的x3的系數(shù)為6，試確定數(shù)據(jù)y.§4Hermite插值不少實際問題不但要求插值

函數(shù)在節(jié)點上與原來的函數(shù)相等

（滿足插值條件），而且還要求

在節(jié)點上的各階導數(shù)值也相等，

滿足這種要求的插值多項式，稱

為Hermite插值多項式記為H(x)，

本節(jié)主要討論已知節(jié)點的函數(shù)值

和一階導數(shù)的情形。4.1Hermite插值

設已知函數(shù)y=f(x)在n+1個互異節(jié)點x0,x1,…,xn上的函數(shù)值yi=f(xi)

(i=0,1,2,…n)和導數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,2,…n)，要求一個不超過2n+1次的多項式H(x)，使其滿足：這樣的H(x)稱為

Hermite插值多項式。

引例（續(xù)1）引例（續(xù)2）引例的誤差估計：

注意到x1是H(x)的二階零點，

x0,x2為其一階零點，所以：為確定(x)，作輔助函數(shù)：∵當t=x時，可選擇(x)，使(x)=0∴t=x,x0,x2為(t)的一階零點，t=x1為二重零點。因此(t)共五重零點，反復使用羅爾中值定理（對重零點也適合）可得到：存在x，使(4)(x)=0，即：由于H(t)是t的三次多項式，∴H(4)(x)=0

推廣至n+1個點的yi,yi時，利用構造插值基函數(shù)的方法，照上述引例，可設：其中hi(x)和Hi(x)(i=0,1,2,…,n)滿足：（1）hi(x),Hi(x)(i=0,1,2,…,n)都是不超過2n+1次的多項式；下面分別確定hi(x)和Hi(x)：對hi(x)：x=xj(ji)為其二重零點，故應含有因式(xxj)2(ji)，因此可以設為請注意：直觀上應設hi(x)為：這樣來確定a,b較麻煩，上述引入li(x)后，較簡單。∵hi(x)還應滿足：對Hi(x):對Hi(x):由于x=xj(ji)為其二重零點，xi為一重零點，故可設:這樣，代回去得:特別地，當n=1時，有:兩個節(jié)點的三次Hermite插值多因此n=1的三次Hermite插值多項式可用標準化的基函數(shù)表示為：更便于上機使用，上式中h=x1-x0。

通常稱之為“標準化”的基函數(shù)，而上述三次Hermite插值基函數(shù)可由其表示出：4.2誤差估計和引例類似，可導出Hermite插值的誤差估計。定理6.2設x0,x1,…,xn為區(qū)間[a,b]上的互異節(jié)點，H(x)為f(x)的過這組節(jié)點的2n+1次Hermite插值多項式。若f(x)在[a,b]上2n+2連續(xù)可導，則對x[a,b]插值余項為：特別地，n=1的三次Hermite插值余項為：注意與引例的誤差估計式，與Lagrange插值的誤差估計式相比較。例6按下表求Hermite插值：例7設：已知函數(shù)f(x)的如下值:f(-1)=-2，f(0)=-1，f(1)=0，f(0)=0，求不超過3次的Hermite插值多項式H(x)4.3Hermite插值的一般形式求一個不超過n+m+1次的多項式H(x)使得:與前面的討論類似，可以證明這樣的Hermite插值多項式是唯一存在的，其余項為:

這里的一般形式即是在節(jié)點處的一階導數(shù)值沒有全部給出，與前面引例相似，舉例說明方法。給定(xi,yi)i=0,1,2,…,n及某些節(jié)點上的導數(shù)值（而不是全部導數(shù)值）Hermite插值問題的一般形式是：

例8按下表求Hermite插值多項式：解法一：這里有5個條件，所以插值多項式不超過4次，用構造插值基函數(shù)hi(x)(i=0,1,2)和Hi(x)(i=0,1)的方法，它們分別應滿足：解法2：∵x=0為二階零點，故可設插值多項式為

代入條件：所求四次Hermite插值多項式為：解法3:還可直接設五次方程求解§5多項式插值的缺陷與分段插值5.1多項式插值的缺陷在插值方法中，為了提高插值多項式的逼近程度，

常常需要增加節(jié)點個數(shù)，即提高多項式的次數(shù)，當插

值節(jié)點增多，插值多項式的次數(shù)逐步提高時，是否逼

近程度也越來越好呢？一般總認為Ln(x)的次數(shù)n越高，

逼近f(x)的程度越好，實際上并非如此。因為：（1）節(jié)點的增多固然使插值函數(shù)Ln(x)在更多的地方

與f(x)相等，但另一方面在兩個插值節(jié)點之間Ln(x)不

一定能很好地逼近f(x)，有時差異還很大，即高次插

值收斂性得不到保證。（2）從計算的含入誤差看，高次插值可能會產(chǎn)生嚴

重的誤差積累，即穩(wěn)定性得不到保證。下面分別舉例說明。多項式插值的缺陷舉例

例如，在區(qū)間[-1,1]上給定函數(shù)f(x)=1/(1+25x2)，并將區(qū)間[-1,1]分為n等分，以Pn(x)表n+1個節(jié)點的n次插值多項式，圖5-4給出了f(x)及P10(x)的圖象，從中可以看出，P10(x)在端點附近，誤差很大，如f(0.95)=0.24244，而P10(0.95)=1.92363，并且還可畫出P4(x)相比較，P10(x)在區(qū)間中間能較好地逼近f(x)，比P4(x)好得多，但在端點附近P10(x)的波動很大，可以證明：Pn(x)只在|x|≤0.726內(nèi)收斂于f(x)。在0.726<|x|≤1內(nèi)Pn(x)與f(x)偏離很大，不收斂于f(x)。高次多項式插值產(chǎn)生的這種不收斂現(xiàn)象稱為龍格（Runge）現(xiàn)象。yx0.5圖5-41再以Lagrange插值為例，討論其穩(wěn)定性。不妨設數(shù)據(jù)yi誤差yi，假定計算過程中不再產(chǎn)生誤差，此時，Lagrange插值多項式為：故插值的實際誤差為：上式中右端第一項即為插值余項，而第二項為：

這就是節(jié)點數(shù)據(jù)的誤差yi所引起的插值誤差?？梢姡瑈i通過插值基函數(shù)li(x)而全面擴散，而插值基函數(shù)li(x)在基本插值區(qū)間[x0,xn]內(nèi)是上下波動的，在區(qū)間外，則按距離的n次冪放大，如圖5-5所示。當變大時，其波動頻率與振幅也隨之增大。此時插值過程對節(jié)點數(shù)據(jù)誤差非常敏感并將其放大，這就是說高次插值不具有數(shù)值穩(wěn)定性。（緊接下屏）多項式插值的缺陷舉例（續(xù)2）x0x1x2x3x4x5x6x7xy圖5-5實際上在以Ln(x)近似f(x)時，由誤差估計式：幾點啟示

（3）因為高次插值不能用，而實際情況需要將給定的節(jié)點全部都用上(區(qū)間長度所需要），此時常采用分段低次多項式插值。以上分析給我們幾點啟示：（1）增加節(jié)點并不一定能保證在兩節(jié)點之間插值函數(shù)Ln(x)能很好地逼近f(x)，即高次插值（如7，8次上）在實際應用中很少被采用。（2）插值多項式逼近f(x)時，當f(x)為多項式時效果非常好，誤差為零，而上述Runge現(xiàn)象中f(x)為有理函數(shù)，能否尋求用有理分式（而不用多項式）作插值函數(shù)。啟示（4）（4）由于高次插值可能不收斂，若要精度高，能否考慮尋找一新的逼近函數(shù)P(x)，它不是插值函數(shù)（不滿足插值條件），但卻仍然是一簡單函數(shù)，比如仍為多項式，但P(x)在xi處不一定等于f(x)，而是要求在整個區(qū)間上每一點處P(x)都能在誤差允許范圍內(nèi)逼近f(x)，比如要求其在節(jié)點xi處的偏差ri=P(xi)yi(i=0,1,2,…,n)按某種標準最小以反映所給數(shù)據(jù)的總體趨勢，消除局部波動的影響。

由于高次插值不能用而引出了上面幾點討論，對出現(xiàn)的問題進行分析而導致新的方法，新理論的產(chǎn)生，這也正我們在后面學習中的新起點。5.2分段多項式插值在大范圍且節(jié)點較多的情況下，常采用分段低

次多項式插值，大致可分為兩類，一類為局部化分

段插值，即把插值區(qū)間分段后，在每個小區(qū)間上直

接構造低次插值多項式，也叫簡單分段插值；另一

類是非局部化分段插值，即在整個區(qū)間上構造分段

插值多項式，如樣條插值。下面介紹幾種簡單分段插值：以下幾種分段插值都設為：1、分段線性插值

已知yi=f(xi)

(i=0,1,…,n)，在每個子區(qū)間[xi,xi+1]上分別作線性插值(i=0,1,…,n1)。P1(x)在[a,b]上為分段一次多項式，它滿足插值條件：P1(xi)=yi(i=0,1,…,n)，在節(jié)點處連續(xù)，P1(x)的圖形為一折線，如圖5-6，其幾何意義就是用折線去逼近曲線f(x)。x0x1x2x3x4xyo圖5-62、分段拋物插值

P2(x)為[a,b]上的分段二次多項式，它滿足插值條件P2(xi)=yi(i=0,1,…,n)，在節(jié)點x2k處連續(xù)。分段線性插值誤差例9構造函數(shù)y=lnx在x[1,10]上的等距數(shù)表，應如何選取步長h，才能在利用該數(shù)表進行分段線性插值時，使誤差不超過10-6/2。

分段插值的余項及收斂性和穩(wěn)定性（2）收斂性設f(x)在[a,b]上連續(xù)，則可以證明，

當h0時，上述分段插值多項式P1(x)，

P2(x)，H(x)等都一致收斂于f(x)。（3）穩(wěn)定性簡單分段插值具有突出的局部性質，

其每個節(jié)點至多只影響到直接銜接的兩

個子區(qū)間而不遠及，因而，節(jié)點的數(shù)據(jù)

誤差基本上不擴散，不放大。所以，簡

單分段插值具有高度的數(shù)值穩(wěn)定性?！?樣條插值

分段插值具有良好的穩(wěn)定性和收斂性，有效地避免了龍格現(xiàn)象的發(fā)生，且算法簡單，因此在實際應用中占有重要地位，但是，其光滑性較差。前面所介紹的方法只保證函數(shù)連續(xù)或其一階導數(shù)連續(xù)，滿足不了許多工程技術提出的對插值函數(shù)的光滑性有較高要求的計算問題。

例如，船體、飛機的機翼外形，內(nèi)燃機的進、排氣門的凸輪曲線，都要求曲線具有較高的光滑程度，不僅要連續(xù)，而且要有連續(xù)的曲率，即二階導數(shù)連續(xù)。對于分段插值，要增加光滑度，就要采用更高階的導數(shù)值，而這一點實際應用中往往是很難提供的。為解決這一類問題，導致產(chǎn)生了樣條插值。6.1樣條函數(shù)的概念

所謂樣條（Spline）本來是工程設計中使用的一種繪圖工具，它是一種富有彈性的細長木條，在飛機或輪船制造過程中，被用于描繪光滑的外形曲線。使用時，用壓鐵將其固定在一些給定的型值點上，在其它地方任其自然彎曲，并稍作調整，使樣條具有滿意的形狀（各段接口處呈光滑狀），然后沿樣條畫出曲線，稱為樣條曲線，它實際上是由分段三次曲線拼接而成，在連接點即型值點上，不僅函數(shù)自身是連續(xù)的，而且它的一階和二階導數(shù)也是連續(xù)的.由此抽象出數(shù)學模型稱為樣條函數(shù)。給定區(qū)間[a,b]的一個劃分a=x0<x1<…<xn

=b，如果函數(shù)S(x)滿足（1）在每個小區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上S(x)是m次多項式；（2）S(x)在[a,b]上具有m1階連續(xù)導數(shù)。則稱S(x)為關于上述劃分的m次樣條函數(shù)。顯然，按此定義，折線是一次樣條函數(shù)。而用“樣條”繪出的圖形為三次樣條函數(shù)曲線，也是最常用的樣條函數(shù)。那么，確定一個三次樣條函數(shù)需要多少個條件呢？由上述樣條函數(shù)定義（1）中知，S(x)在每個小區(qū)間[xi,xi+1]上是一個三次多項式，因此需要確定4個待定常數(shù)，一共有n個小區(qū)間，故應確定4n個參數(shù)。由定義中條件（2），S(x)應在n1個內(nèi)點上具有二階連續(xù)導數(shù)，即應滿足條件：共有3(n1)個條件。因此，要確定一個三次樣條函數(shù)，還需要另增加4n3(n1)=n+3個條件。

利用樣條函數(shù)進行插值，即取插值函數(shù)為樣條函數(shù)，稱為樣條插值。

例如分段線性插值是一次樣條插值。已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的n+1個節(jié)點a=x0<x1<…<xn=b上的值yj=f(xj)(j=0,1,…,n)，求插值函數(shù)S(x)使其滿足：

（1）S(xj)=yj(j=0,1,…,n)；（2）在每小區(qū)間[xj,xj+1](j=0,1,…,n-1)上S(x)是三次多項式，記為Sj(x)；（3）S(x)在[a,b]上二階連續(xù)可微。則S(x)稱為f(x)的三次樣條插值函數(shù)，它通過上述給定點，為二階連續(xù)可導的分段三次多項式函數(shù)。（1）給定兩端點處的導數(shù)值S(a)=y0，S(b)=yn，特別地，當y0=yn=0時，樣條曲線在端點處呈水平狀。（2給定兩端點處的二階導數(shù)S(a)=y0，S(b)=yn，

特別地，當y0=yn=0時，稱為自然邊界條件。（3）如果f(x)是以b

a為周期的周期函數(shù)，則S(x)也是應具有同樣周期的周期函數(shù)，在端點處應滿足S(a+0)=S(b0)，S(a+0)=S(b0).由定義，這里增加了n+1個插值條件，要確定S

(x)還需要補充兩個條件。通常會根據(jù)問題的具體情況。在區(qū)間的兩個端點處給出條件，稱為邊界條件。常用的邊界條件有以下三種：可以證明，在上述三種邊界條件下，三次樣條插值問題的解是存在且唯一的。三種邊界條件都有它們的實際背景和力學意義。三次樣條插值舉例已知函數(shù)f(x)在三個點處的值為f(1)=1,f(0)=0,

f(1)=1，在區(qū)間[1,1]上，求f(x)在自然邊界條件下的三次樣條插值多項式。例10三次樣條插值舉例（續(xù)）這種解法稱為待定系數(shù)法，當n較大時，由于要解4n階的線性方程組，工作量太大，因此，一般不采用待定系數(shù)法，而考慮另外的較簡單的方法，即取節(jié)點上的導數(shù)或二階導數(shù)值為參數(shù)，來導出三次樣條插值函數(shù)的表達式。1.以節(jié)點處的二階導數(shù)值為參數(shù)的三次樣條插值函數(shù)

其中積分常數(shù)c1,c2可由插值條件Sj(xj)=yj，Sj(xj+1)=yj+1確定：（緊接下屏）

這就是在每個小區(qū)間Sj(x)的表達式（M表達式）建立M表達式

建立關于M的關系式

下面建立關于M的關系式（等式，即方程組）確定Mj，插值條件已用，假定二階導數(shù)已知，即二階連續(xù)條件已用，因此要用一階導數(shù)連續(xù)來建立等式。對Sj(x)求一次導得：因為是在[xj,xj+1]上，所以可代入x=xj，x=xj+1

（緊接下屏）建立關于M的關系式（續(xù)1）Sj-1是xj的左邊區(qū)間[xj1,xj]上的函數(shù)，故有等式：建立關于M的關系式（續(xù)2）整理得：式（5-22）稱為M關系式，對于所有內(nèi)點j=1,2,…,n1成立。式（5-22）展開后為n

1個方程含有n+1個參數(shù)M0,M1,…Mn,按其力學意義，稱為三彎矩方程，系數(shù)j,j,cj可預先求出來。M關系式的三種邊界條件

要由上述M關系式確定所有參數(shù)，需要根據(jù)問題的具體情況，利用邊界條件補充兩個方程。下面就三種邊界條件，分別進行討論。1）如果問題要求S(x)滿足邊界條件（1）由式（5-20）得

化簡得：M關系式的三種邊界條件（續(xù)1）

式（5-25）與（5-23）聯(lián)立，即得到關于n+1個參數(shù)M0,M1,…,Mn的n+1階線性方程組，其矩陣形式為：（2）如果問題要求S(x)滿足連界條件（2）即給出了：此時方程組（5-23）實際上只有n

1個未知數(shù)，這仍是三對角方程組，可直接用追趕法求解。M關系式的三種邊界條件（3）如果問題要求S(x)滿足周期邊界條件（3），f(x)以b

a為周期，則S(x)也以b

a為周期，即在端點處應滿足：可轉化為兩個方程，補充到（5-23）中。

以上式作為最后一個方程進行整理，注意到M0=Mn有：（緊接下屏）M關系式的三種邊界條件（續(xù)3）并且因M0=Mn所以將（5-23）中第一個方程

1M0+2M1+2M2=c1改寫為這樣，將式（5-27）代回（5-23）中并與（5-26）聯(lián)立，得到n階方程組：

在上述三種情況下的線性方程組是三對角或廣義三對角的，其系數(shù)矩陣均為嚴格對角占優(yōu)，因此方程組有唯一的一組解M0,M1,…,Mn，求出后代入“M表達式”（5-19），即得三次樣條函數(shù)，方程組中每個方程都連系三個Mi，參數(shù)Mi在力學上的意義為細梁在xi截面處的彎矩，因此上述方法又稱為三彎矩插值法。2.以節(jié)點處的導數(shù)值為參數(shù)的三次樣條插值函數(shù)

同前面討論類似，也可以假定[xj,xj+1]上的一階導數(shù)S