第六章(內(nèi)插)數(shù)字高程模型

第六章數(shù)字高程模型的內(nèi)插數(shù)字高程模型教學(xué)目的與要求

通過本章的學(xué)習(xí)，讓大家掌握DEM內(nèi)插的各種方法的原理和過程，包括整體內(nèi)插、局部內(nèi)插，逐點(diǎn)內(nèi)插。第2頁本章重點(diǎn)與難點(diǎn)本章重點(diǎn)

內(nèi)插分類

內(nèi)插的各種方法本章難點(diǎn)

各種內(nèi)插方法

第3頁數(shù)字高程模型內(nèi)容提要第一節(jié)內(nèi)插方法的分類第二節(jié)整體內(nèi)插第三節(jié)分塊內(nèi)插第四節(jié)逐點(diǎn)內(nèi)插法1.1內(nèi)插方法的分類

內(nèi)插是數(shù)字高程模型的核心問題，它貫穿在DEM的生產(chǎn)、質(zhì)量控制、精度評(píng)定和分析應(yīng)用等各個(gè)環(huán)節(jié)。DEM內(nèi)插就是根據(jù)若干相鄰參考點(diǎn)的高程求出待定點(diǎn)上的高程值，在數(shù)學(xué)上屬于插值問題。任意一種內(nèi)插方法都是基于原始地形起伏變化的連續(xù)光滑性，或者說鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)間有很大相關(guān)性才可能由鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)內(nèi)插出待定點(diǎn)的高程。第5頁數(shù)字高程模型1.1內(nèi)插方法的分類按內(nèi)插點(diǎn)的分布范圍，可以將內(nèi)插分為三類。整體內(nèi)插分塊內(nèi)插逐點(diǎn)內(nèi)插根據(jù)二元函數(shù)逼近數(shù)學(xué)面和參考點(diǎn)的關(guān)系，內(nèi)插又可以分為兩種。純二維內(nèi)插曲面擬合內(nèi)插第6頁數(shù)字高程模型1.1內(nèi)插方法的分類二維插值要求曲面通過內(nèi)插范圍的全部參考點(diǎn)，曲面擬合則不要求曲面嚴(yán)格包括參考點(diǎn)，但該方法要求擬合面相對(duì)于已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的高差的平方和最小，即遵從最小二乘法則?？梢姡瑑?nèi)插的中心問題在于鄰域的確定和選擇適當(dāng)?shù)牟逯岛瘮?shù)。第7頁數(shù)字高程模型DEM內(nèi)插分類1.2整體內(nèi)插第8頁數(shù)字高程模型整體內(nèi)插的擬合模型整體內(nèi)插的擬合模型是由研究區(qū)域內(nèi)所有采樣點(diǎn)的觀測值建立的。整體內(nèi)插主要通過多項(xiàng)式函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，因此又稱整體函數(shù)法內(nèi)插。這些函數(shù)模型的特點(diǎn)是不能提供內(nèi)插區(qū)域的局部特性，因此該方法常被用于模擬大范圍的宏觀變化趨勢。1.2整體內(nèi)插第9頁數(shù)字高程模型整體內(nèi)插的擬合模型數(shù)學(xué)表達(dá)式設(shè)描述研究區(qū)域的曲面形式為下列二元多項(xiàng)式：式中有n個(gè)待定系數(shù)C

ij(i，J＝0，1，2，…，m)，為了解求這些系數(shù)，可量取研究范圍內(nèi)不同平面位置的n個(gè)參考點(diǎn)三維坐標(biāo)：P1(x1,y1,z1)，P2(x2，y2，z2),P3(x3，y3,z3)，…，Pn(xn,yn,zn)，將其代入方程從而使n階線性方程組有惟一解將待插點(diǎn)的坐標(biāo)代入式中，可得到待定點(diǎn)的高程值。1.2整體內(nèi)插第10頁數(shù)字高程模型整體內(nèi)插方法整體函數(shù)內(nèi)插法的優(yōu)點(diǎn)是易于理解，因?yàn)楹唵蔚匦翁卣鲄⒖键c(diǎn)比較少，選擇低次多項(xiàng)式來描述就可以了。但當(dāng)?shù)孛矎?fù)雜時(shí)，需要增加參考點(diǎn)的個(gè)數(shù)。選擇高次多項(xiàng)式固然能使數(shù)學(xué)面與實(shí)際地面有更多的重合點(diǎn)，但由于多項(xiàng)式是自變量冪函數(shù)的和式，參考點(diǎn)的增減或移位都需對(duì)多項(xiàng)式的所有參數(shù)做全面調(diào)整，從而參考點(diǎn)間會(huì)出現(xiàn)難以控制的振蕩現(xiàn)象，使函數(shù)極不穩(wěn)定。1.2整體內(nèi)插第11頁數(shù)字高程模型整體內(nèi)插方法另外，整體內(nèi)插法中需要解求高次的線性方程組，參考點(diǎn)測量誤差的微小擾動(dòng)都可能引起高次多項(xiàng)式參數(shù)的很大變化，使高次多項(xiàng)式插值很難得到穩(wěn)定解。由于整體內(nèi)插法的上述缺點(diǎn)，實(shí)際工作中很少用于直接內(nèi)插。它的主要用途是在某種局部內(nèi)插方法對(duì)區(qū)域進(jìn)行內(nèi)插前，從數(shù)據(jù)中去除—些不符合總體趨勢的宏觀地物特征。2.1分塊內(nèi)插第12頁數(shù)字高程模型由于實(shí)際的地形是很復(fù)雜的，整個(gè)地形不可能用一個(gè)多項(xiàng)式來擬合，因此DEM內(nèi)插中一般不用整體函數(shù)內(nèi)插，而采用局部函數(shù)內(nèi)插(即分塊內(nèi)插較宜)。2.1分塊內(nèi)插第13頁數(shù)字高程模型分塊內(nèi)插是把參考空間分成若干分塊，對(duì)各分塊使用不同的函數(shù)。要考慮的問題是各相鄰分塊函數(shù)問的連續(xù)性問題。分塊的大小根據(jù)地貌復(fù)雜程度和參考點(diǎn)的分布密度決定。一般相鄰分塊間要求有適當(dāng)寬度的重疊，以保證相鄰分塊間能平滑、連續(xù)地拼接。典型的局部內(nèi)插有線性內(nèi)插、多項(xiàng)式內(nèi)插、雙線性內(nèi)插和樣條函數(shù)內(nèi)插等。特別是基于TIN和正方形格網(wǎng)的剖分法雙線性內(nèi)插是DFM分析與應(yīng)用中最常用的方法。2.1分塊內(nèi)插（線性內(nèi)插）線性內(nèi)插是首先使用最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)確定一個(gè)平面，繼而求出內(nèi)插點(diǎn)的高程值的方法?；赥IN的內(nèi)插廣泛采用這種簡便的方法。第14頁數(shù)字高程模型算法的基本思想6/6/2011數(shù)字高程模型第15頁第16頁2.1分塊內(nèi)插（雙線性內(nèi)插）雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插是使用最靠近插值點(diǎn)的四個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)組成一個(gè)四邊形，進(jìn)而確定一個(gè)雙線性多項(xiàng)式來內(nèi)插待插點(diǎn)的高程?；诟窬W(wǎng)的內(nèi)插廣泛采用這種方法。設(shè)確定的函數(shù)形式為：其中是所求的參數(shù),設(shè)四個(gè)點(diǎn)

第17頁數(shù)字高程模型算法的基本思想6/6/2011數(shù)字高程模型第18頁如果數(shù)據(jù)參考點(diǎn)呈正方形格網(wǎng)分布，則可以直接使用雙線性內(nèi)插公式：式中，A，B，C，D為正方形四個(gè)格網(wǎng)點(diǎn)，l是格網(wǎng)邊長。2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）為保證各分塊曲面間的光滑性，按照彈性力學(xué)條件使所確定的n次多項(xiàng)式曲面與其相鄰分塊的邊界上所有n—1次導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，這n次多項(xiàng)式就稱為樣條函數(shù)?？梢杂脴訔l函數(shù)內(nèi)插法對(duì)規(guī)則格網(wǎng)數(shù)據(jù)的高程重新插值。樣條函數(shù)插值克服了高次多項(xiàng)式插值可能出現(xiàn)的振蕩現(xiàn)象，具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性。同時(shí)，如果某個(gè)點(diǎn)位置發(fā)生變化時(shí)，只需要修改局部曲線，而不必重新計(jì)算整條曲線，這點(diǎn)要優(yōu)于趨勢面分析方法。 第19頁數(shù)字高程模型算法的基本思想2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）任一矩形ABCD可構(gòu)成雙三次曲面方程式中有16個(gè)待定系數(shù)，須列出16個(gè)線性方程，才能確定它們的數(shù)值。已知A，B，C，D四個(gè)角點(diǎn)，將它們的三維直角坐標(biāo)量測值代人式中，可列出4個(gè)線性方程，其余12個(gè)方程根據(jù)下述力學(xué)條件建立，這些力學(xué)條件為：

第20頁數(shù)字高程模型(1)相鄰面片拼接處在X和Y方向的斜率都應(yīng)保持連續(xù)；(2)相鄰面片拼接處的扭矩連續(xù)。2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）問題的關(guān)鍵是設(shè)法求得三次曲面的一階導(dǎo)數(shù)和二階混合導(dǎo)數(shù)。設(shè)R為沿x軸方向的斜率，s是沿y袖方向的斜率，扭矩為T，則：

第21頁數(shù)字高程模型2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）可使用不同的方法求得四個(gè)角點(diǎn)的R，S，T值．較為簡單的是使用差商來代替導(dǎo)數(shù)。使用等權(quán)一階差商中數(shù)求任一網(wǎng)格點(diǎn)A(i，j)的導(dǎo)數(shù)的公式可寫為：

第22頁數(shù)字高程模型2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）因此，對(duì)于任一角點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，需要使用它周圍8個(gè)角點(diǎn)高程求出。這樣，在ABCD矩形當(dāng)中，已知四角點(diǎn)高程ZA、ZB、Zc、ZD，以及它們的導(dǎo)數(shù)值RA，RB，RC，RD，SA，SB，SC，SD。和TA、TB、TC、TD就可建立16個(gè)方程，求解后得出曲面方程系數(shù)代入方程，就可解算某一點(diǎn)的高程。根據(jù)上述定義求得的曲面在相鄰邊上的一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，因此，整個(gè)區(qū)域的曲面連接是光滑的。

第23頁數(shù)字高程模型2.1分塊內(nèi)插（二元樣條函數(shù)內(nèi)插）與整體內(nèi)插不同，樣條函數(shù)保留了微地物特征，擬合時(shí)只需與少量數(shù)據(jù)點(diǎn)配準(zhǔn)，因此內(nèi)插速度快，同時(shí)也保證了分塊間連接處為平滑連續(xù)的曲面。這意味著樣條函數(shù)內(nèi)插法可以修改曲面的某一分塊而不必重新計(jì)算整個(gè)曲面。應(yīng)該指出的是，在分塊上展鋪樣條曲面時(shí)，對(duì)相鄰多項(xiàng)式分片曲面間的拼接，采用了彈性力學(xué)條件，而地表分塊不是狹義的彈性殼體，并不具備采用彈性力學(xué)條件的前提，所以，盡管樣條函數(shù)法有比較嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)，但未必是數(shù)字高程插值的良好數(shù)學(xué)模型。

第24頁數(shù)字高程模型2.1分塊內(nèi)插（多面疊加內(nèi)插法）多面疊加法是美國依阿華州大學(xué)Hardy教授于1977年提出的，它的基本思想是任何一個(gè)規(guī)則的或不規(guī)則的連續(xù)曲面均可以由若干個(gè)簡單面(或稱單值數(shù)學(xué)面)來疊加逼近。具體做法是在每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上建立一個(gè)曲面，然后在z方向上將各個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面按一定比例疊加成一張整體的連續(xù)曲面，使之嚴(yán)格地通過各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

第25頁數(shù)字高程模型6/6/2011數(shù)字高程模型第26頁這里Q(x，y，xi，yi)為參加插值計(jì)算的簡單數(shù)學(xué)面，又稱多面函數(shù)的核函數(shù)；n為簡單數(shù)學(xué)面的張數(shù)．或多層疊加面的層數(shù)，它的值與分塊擴(kuò)充范圍內(nèi)參考點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等Ki(i＝1，2，3，…,n)為待定參數(shù)，它代表了第i個(gè)核函數(shù)對(duì)多層疊加面的貢獻(xiàn)。為了計(jì)算方便，多層疊加面中的n個(gè)核函數(shù)一般選用同一類型的簡單函數(shù)，通常是圍繞豎向軸旋轉(zhuǎn)的曲面，這條豎軸正好通過某一參考點(diǎn)。第27頁2/7/2023數(shù)字高程模型第28頁[X,Y]=meshgrid(-8:.5:8);;Z=6+(X.^2+Y.^2).^(2/3);mesh(X,Y,Z)6/6/2011數(shù)字高程模型第29頁2.1分塊內(nèi)插（多面疊加內(nèi)插法）多面疊加內(nèi)插法在實(shí)際應(yīng)用中，有以下一些常用的核函數(shù)選擇方法：

(1)Arthur，Q(d)＝exp(-25d2／a2)，其中d為兩點(diǎn)之間的距離，a為一參數(shù)，為各數(shù)據(jù)點(diǎn)間最大距離。

(2)呂言法，以三次曲面為核函數(shù)，Q(d)＝1+d3。

(3)針對(duì)上述Hardy選用的二次函數(shù)進(jìn)行各種改進(jìn)，由值為o，o．6和10進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得出了的結(jié)果。它表明值越大內(nèi)插的曲面(圖中僅繪出沿x方向的曲線)越平滑。

第30頁數(shù)字高程模型6/6/2011數(shù)字高程模型第31頁該函數(shù)的改進(jìn)形式的函數(shù)如下：式中(dki)min2表示數(shù)據(jù)點(diǎn)i與距離最近的數(shù)據(jù)點(diǎn)k的距離。當(dāng)n＝m時(shí)，Q矩陣也不是對(duì)稱矩陣，因?yàn)樵诿總€(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上有各自的參數(shù)(dki)min。利用該核函數(shù)可以很好地考慮地貌結(jié)構(gòu)線的作用，此時(shí)只要沿地貌結(jié)構(gòu)線上取一組密集數(shù)據(jù)點(diǎn)(或先內(nèi)插出來)，就會(huì)產(chǎn)生很小的(dki)min值，結(jié)果在雙曲面頂端產(chǎn)生一個(gè)大的斜率，由此保證了內(nèi)插曲面上突變性的轉(zhuǎn)折。對(duì)多層疊加面的解算，可通過將m個(gè)參考點(diǎn)的三維坐標(biāo)代入．得一誤差方程組，按最小二乘法解求待定系數(shù)(m＞n)。6/6/2011第32頁數(shù)字高程模型2.1分塊內(nèi)插（多面疊加內(nèi)插法）多面疊加的一個(gè)重要的優(yōu)點(diǎn)是：如果希望對(duì)地形增加各種約束和限制，則可以設(shè)計(jì)某一函數(shù)將其增加到多面疊加的函數(shù)體內(nèi)。比如希望在內(nèi)插中考慮地面坡度的信息，就可以設(shè)計(jì)具有坡度特性的函數(shù)。在數(shù)字高程模型中，如果在數(shù)據(jù)點(diǎn)密度較小和數(shù)據(jù)點(diǎn)精度很高的情況下，要優(yōu)先采用多面疊加的內(nèi)插方法。但在一般情況下，地球表面特征都很復(fù)雜，難以確定某一特定函數(shù)嚴(yán)格表示地形變化(人工地物除外)。另外這種方法處理煩瑣，計(jì)算量大，因而多面疊加方法并不常用。

第33頁數(shù)字高程模型2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）最小二乘配置內(nèi)插法是一種基于統(tǒng)計(jì)的、廣泛用于測量學(xué)科中的內(nèi)插方法。在測量中，某一個(gè)測量值包含著三部分：

(1)與某些參數(shù)有關(guān)的值。由于它是這些參數(shù)的函數(shù)，而這個(gè)函數(shù)在空間是一個(gè)曲面，被稱為趨勢面。

(2)不能簡單地用某個(gè)函數(shù)表達(dá)的值．稱為系統(tǒng)的信號(hào)部分。(3)觀測值的偶然誤差，或稱為隨機(jī)噪聲。

第34頁數(shù)字高程模型2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）當(dāng)去掉趨勢面之后，如果觀測值包含信號(hào)和噪聲兩部分(且信號(hào)與噪聲期望均為0，兩者的協(xié)方差也為零)，則可獲得信號(hào)估值的殘差平方和為最小的線性內(nèi)插方法，包括內(nèi)插、濾波和推估，統(tǒng)稱最小二乘配置。數(shù)字高程模型滿足該條件，故可以使用此法內(nèi)插。

第35頁數(shù)字高程模型2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）首先假設(shè)任一分塊地表都會(huì)有一張能反應(yīng)其基本形態(tài)的趨勢面。趨勢面通常用簡單的冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式來表示，對(duì)復(fù)雜的地表面來講，它具有削平、填平實(shí)際曲面的作用。

第36頁數(shù)字高程模型6/6/2011數(shù)字高程模型第37頁圖中第i號(hào)參考點(diǎn)的實(shí)測高程數(shù)據(jù)記為Hi，投影到趨勢面的參考點(diǎn)i的高程記為hi,從趨勢面起算的參考點(diǎn)的高程記為Zi。Zi包含兩個(gè)部分：實(shí)際地面與參考面的較差、和參考點(diǎn)高程的量測誤差ri.2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）Zi、Si、ri應(yīng)滿足的條件是E(Zi)＝E(Si))＝E(ri)＝0。ri稱做噪聲，純系偶然誤差Si稱做信號(hào)。由于趨勢面的數(shù)學(xué)規(guī)律性，Si將對(duì)一定范圍內(nèi)的內(nèi)插點(diǎn)高程產(chǎn)生系統(tǒng)性影響。換句話說，信號(hào)Si具有局部相關(guān)性，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常是用協(xié)方差來描述這種相關(guān)性的。

第38頁數(shù)字高程模型Zi＝Si十ri2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）若這一個(gè)子區(qū)域內(nèi)共有n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，則每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都能列出一個(gè)觀測值方程式，對(duì)于n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，根據(jù)相關(guān)平差原理，列出、(i＝1，2，…，n)的誤差方程組的矩陣形式如下：Z＝S十R＝H一AW

第39頁數(shù)字高程模型從趨勢面起算的高程向量趨勢面上對(duì)應(yīng)的高程向量參考點(diǎn)高程觀測向量n為分塊擴(kuò)充范圍內(nèi)參考點(diǎn)的個(gè)數(shù)。按最小二乘法相關(guān)平差方法求解，得到趨勢面系數(shù)向量：

任一內(nèi)插點(diǎn)P的信號(hào)為用待插點(diǎn)在趨勢面上的高程hp’加上待插點(diǎn)的信號(hào)sp’，即得所求待插點(diǎn)的高程Hp’：

2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）第40頁數(shù)字高程模型Z的協(xié)方差陣最小二乘配置法數(shù)字高程分塊內(nèi)插的關(guān)鍵問題之一是如何建立z或s的協(xié)方差矩陣，也就是如何解決信號(hào)相關(guān)性規(guī)律的問題。由數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論得知，二維各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程的協(xié)方差僅與不同點(diǎn)間的水平距離有關(guān)；最小二乘配置法內(nèi)插高程時(shí)，認(rèn)為信號(hào)和趨勢面起算高程的協(xié)方差僅與點(diǎn)間的水平距離有關(guān)：距離愈近，協(xié)方差愈大，超過一定的距離．協(xié)方差趨近于零值。高斯函數(shù)正好滿足函數(shù)值隨距離縮短而增大的條件，所以習(xí)慣上以高斯函數(shù)作為相關(guān)函數(shù)，用來計(jì)算協(xié)方差。

2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）第41頁數(shù)字高程模型6/6/2011數(shù)字高程模型第42頁隨機(jī)過程(StochasitcProcess)是一連串隨機(jī)事件動(dòng)態(tài)關(guān)系的定量描述。隨機(jī)過程論與其他數(shù)學(xué)分支如位勢論、微分方程、力學(xué)及復(fù)變函數(shù)論等有密切的聯(lián)系，是在自然科學(xué)、工程科學(xué)及社會(huì)科學(xué)各領(lǐng)域研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要工具。隨機(jī)過程論目前已得到廣泛的應(yīng)用，在諸如天氣預(yù)報(bào)、統(tǒng)計(jì)物理、天體物理、運(yùn)籌決策、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機(jī)過程的理論來建立數(shù)學(xué)模型。

一般來說，把一組隨機(jī)變量定義為隨機(jī)過程。在研究隨機(jī)過程時(shí)人們透過表面的偶然性描述出必然的內(nèi)在規(guī)律并以概率的形式來描述這些規(guī)律，6/6/2011數(shù)字高程模型第43頁一個(gè)實(shí)際的隨機(jī)過程是任意一個(gè)受概率支配的過程，例子有：①看做是受孟德爾遺傳學(xué)支配的群體的發(fā)展；②受分子碰撞影響的微觀質(zhì)點(diǎn)的布朗運(yùn)動(dòng)，或者是宏觀空間的星體運(yùn)動(dòng)；③賭場中一系列的賭博；④公路一指定點(diǎn)汽車的通行。6/6/2011數(shù)字高程模型第44頁數(shù)學(xué)上的隨機(jī)過程是由實(shí)際隨機(jī)過程概念引起的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。人們研究這種過程，是因?yàn)樗菍?shí)際隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)模型，或者是因?yàn)樗膬?nèi)在數(shù)學(xué)意義以及它在概率論領(lǐng)域之外的應(yīng)用。數(shù)學(xué)上的隨機(jī)過程可以簡單的定義為一組隨機(jī)變量，即指定一參數(shù)集，對(duì)于其中每一參數(shù)點(diǎn)t指定一個(gè)隨機(jī)變量x(t)。如果回憶起隨機(jī)變量自身就是一個(gè)函數(shù)，以ω表示隨機(jī)變量x(t)的定義域中的一點(diǎn)，并以x(t，ω)表示隨機(jī)變量在ω的值，則隨機(jī)過程就由剛才定義的點(diǎn)偶(t，ω)的函數(shù)以及概率的分配完全確定。如果固定t，這個(gè)二元函數(shù)就定義一個(gè)ω的函數(shù)，即以x(t)表示的隨機(jī)變量。如果固定ω，這個(gè)二元函數(shù)就定義一個(gè)t的函數(shù)，這是過程的樣本函數(shù)。一個(gè)隨機(jī)過程的概率分配通常是由指定它的隨機(jī)變量的聯(lián)合分布來給定的，這些聯(lián)合分布以及由它們誘導(dǎo)出來的概率可以解釋為樣本函數(shù)的性質(zhì)的概率。6/6/2011數(shù)字高程模型第45頁一個(gè)隨機(jī)過程的概率分配通常是由指定它的隨機(jī)變量的聯(lián)合分布來給定的，這些聯(lián)合分布以及由它們誘導(dǎo)出來的概率可以解釋為樣本函數(shù)的性質(zhì)的概率。例如，如果t0是一個(gè)參數(shù)值，樣本函數(shù)在t0取正值的概率是隨機(jī)變量x(t0)有正值的概率。在這個(gè)水平上的基本定理：任意指定的自身相容的聯(lián)合概率分布對(duì)應(yīng)一隨機(jī)過程。平穩(wěn)過程這類隨機(jī)過程中的任意有限多外隨機(jī)變量的聯(lián)合分布不受參數(shù)平移的影響，即x(t1+h)，…，x(tn+h)的分布與h無關(guān)。

6/6/2011數(shù)字高程模型第46頁平穩(wěn)隨機(jī)過程

狹義平穩(wěn)概念：所謂平穩(wěn)隨機(jī)過程，是指它的任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。也就是說，如果對(duì)于任意的n和τ，隨機(jī)過程ξ(t)的n維概率密度函數(shù)滿足

則稱ξ(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。該平穩(wěn)稱為嚴(yán)格平穩(wěn)，狹義平穩(wěn)或嚴(yán)平穩(wěn)。6/6/2011數(shù)字高程模型第47頁如果一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，只要滿足一些較寬的條件，其集平均(統(tǒng)計(jì)平均值和自相關(guān)函數(shù)等)實(shí)際上可以用一個(gè)樣本函數(shù)在整個(gè)時(shí)間軸上的平均值來代替，這就是各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)性

概念：對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過程，如果統(tǒng)計(jì)平均＝時(shí)間平均，這個(gè)隨機(jī)過程就叫做各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程。

最小二乘配置法有嚴(yán)密的數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論依據(jù)，但大量的試驗(yàn)結(jié)果表明，它未必能在數(shù)字地面模型內(nèi)插應(yīng)用中取得良好的擬合效果，原因主要是以下兩點(diǎn)：

(1)應(yīng)用最小二乘配置法的前提是處理對(duì)象必須屬于遍歷性平穩(wěn)隨機(jī)過程。但實(shí)際地表起伏現(xiàn)象都十分復(fù)雜，各類地貌形態(tài)未必都符合各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，地面點(diǎn)間趨勢面起算高程的相關(guān)度量未必僅與距離有關(guān)。實(shí)際上，大多數(shù)地貌變化都不是各向同性的，地表起伏的相關(guān)性不僅與距離有關(guān)，也與方向有關(guān)。如果前提條件不符合，就難以保證得到良好的內(nèi)插質(zhì)量。(2)確定趨勢面和協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)是一個(gè)循環(huán)迭代過程。當(dāng)?shù)諗克俣嚷龝r(shí)，其計(jì)算量可能比大多數(shù)高程內(nèi)插算法都大，因而此方法并不實(shí)用。

2.1分塊內(nèi)插（最小二乘配置法）第48頁數(shù)字高程模型6/6/2011數(shù)字高程模型第49頁有限元法是以離散方式處理連續(xù)量的一種數(shù)學(xué)方法，它的思路是將一定范圍的連續(xù)整體分割成為有限個(gè)單元(如三角形、正方形等)的集合。相鄰單元邊界的端點(diǎn)稱做結(jié)點(diǎn)，通過解求各個(gè)結(jié)點(diǎn)處的物理量來描述物理量的整體分布。

2.1分塊內(nèi)插（有限元法）第50頁數(shù)字高程模型有限元法通常采用分片光滑的奇次樣條作為各個(gè)單元的內(nèi)插函數(shù)，已經(jīng)用于數(shù)字高程模型內(nèi)插的有雙線性B樣條和雙三次B樣條兩種，其整體解是一系列基函數(shù)的線性組合，形式為解求上述函數(shù)的全部系數(shù)．須列出與所求問題等價(jià)的二次泛函數(shù)取極小值的條件，建立并計(jì)算系數(shù)向量的線性方程組，使上式有確定解。有限元法的計(jì)算量取決于分塊內(nèi)結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而不是像上述其他分塊內(nèi)插方法那樣主要與參考點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)。所以單元?jiǎng)澐衷郊?xì)．有限元法的計(jì)算量越大。

2.1分塊內(nèi)插（有限元法）第51頁數(shù)字高程模型分塊內(nèi)插的分塊范圍在內(nèi)插過程中一經(jīng)確定，其形狀、大小相位置都保持不變，凡落在分塊上的待插點(diǎn)都用展鋪在該分塊上的惟一確定的數(shù)學(xué)面進(jìn)行內(nèi)插。逐點(diǎn)內(nèi)插法是以待插點(diǎn)為中心、定義一個(gè)局部函數(shù)去擬合周圍的數(shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)點(diǎn)的范圍隨待插點(diǎn)位置的變化而移動(dòng)，因此又稱移動(dòng)曲面法。

2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法第52頁數(shù)字高程模型對(duì)于每個(gè)待插的點(diǎn)，可選取其鄰近的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(可稱其為參考點(diǎn))擬合一多項(xiàng)式曲面擬合的曲面可選用如下的形式：

Z＝AX2十BX2十CY2十DX十EY十F式中：X，Y，Z是各參考點(diǎn)的坐標(biāo)值，A，B，C，D，E，F(xiàn)為待定的參數(shù)。由n個(gè)選定的參考點(diǎn)用最小二乘法進(jìn)行求解多項(xiàng)式中的各參數(shù)。

2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（移動(dòng)擬合法）第53頁數(shù)字高程模型移動(dòng)擬合法的關(guān)鍵在于解決下面兩個(gè)問題：(1)如何確定待插點(diǎn)的最小鄰域范圍以保證有足夠的參考點(diǎn)；(2)如何確定各參考點(diǎn)的權(quán)重。選擇鄰近點(diǎn)一般考慮兩個(gè)因素：(1)范圍，即采用多大面積范圍內(nèi)的參考點(diǎn)來計(jì)算被插點(diǎn)的數(shù)值；(2)點(diǎn)數(shù)，即選擇多少參考點(diǎn)參加計(jì)算。這兩個(gè)因素的確定要根據(jù)具體情況而定。

2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（移動(dòng)擬合法）第54頁數(shù)字高程模型動(dòng)態(tài)圓半徑方法：從數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均密度出發(fā)．確定圓內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)(平均要有10個(gè))，以解求圓的半徑，其公式為：N為總點(diǎn)數(shù)，A為總面積。這種方法實(shí)際上綜合考慮了點(diǎn)數(shù)和范圍兩個(gè)因素。

2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（移動(dòng)擬合法）第55頁數(shù)字高程模型按方位取點(diǎn)法：有時(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布并不理想這時(shí)可以以格網(wǎng)點(diǎn)為中心把平面平均分成n個(gè)扇面，從每個(gè)扇面內(nèi)取一點(diǎn)作加權(quán)平均這就克服了數(shù)據(jù)點(diǎn)偏向的缺點(diǎn)。

2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（移動(dòng)擬合法）第56頁數(shù)字高程模型按方位取點(diǎn)法：觀測點(diǎn)的相互位置越接近，其相似性越強(qiáng)；距離越遠(yuǎn)，則相似性越小。因此．不同的采樣點(diǎn)由于相對(duì)于待插點(diǎn)的距離不同，對(duì)待插點(diǎn)的高程插值影響程度是不同的。所以，在移動(dòng)擬合時(shí)，我們一般采用與距離相關(guān)的權(quán)函數(shù)．常用的權(quán)函數(shù)有：2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（移動(dòng)擬合法）第57頁數(shù)字高程模型加權(quán)移動(dòng)平均方法利用插值點(diǎn)周圍樣點(diǎn)的數(shù)值來計(jì)算插值點(diǎn)的數(shù)值，其計(jì)算公式如下：式中，

為已測得的第i個(gè)位置的屬性值；

為第i個(gè)位置屬性值的權(quán)重；X0為待插值的位置；n為已知樣點(diǎn)的數(shù)目。2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（加權(quán)移動(dòng)平均法）上面討論的選點(diǎn)方式中．存在一個(gè)很重要卻經(jīng)常被忽略的問題：參考點(diǎn)坐標(biāo)或參考點(diǎn)所在坐標(biāo)系統(tǒng)的微小變化都會(huì)使選點(diǎn)結(jié)果差別很大，結(jié)果可能造成數(shù)字高程模型表面的不連續(xù)。造成這個(gè)問題的原因在于僅以距離為基礎(chǔ)進(jìn)行選點(diǎn)和定義權(quán)重，而事實(shí)上距離難以很好地描述空間相鄰性。顯然，對(duì)于離散數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的空間相鄰性描述，需要給出一種較好的數(shù)學(xué)表達(dá)，Voronoi圖就是一種很好的工具。

2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（Voronoi圖法）第63頁數(shù)字高程模型上面討論的選點(diǎn)方式中．存在一個(gè)很重要卻經(jīng)常被忽略的問題：參考點(diǎn)坐標(biāo)或參考點(diǎn)所在坐標(biāo)系統(tǒng)的微小變化都會(huì)使選點(diǎn)結(jié)果差別很大，結(jié)果可能造成數(shù)字高程模型表面的不連續(xù)。造成這個(gè)問題的原因在于僅以距離為基礎(chǔ)進(jìn)行選點(diǎn)和定義權(quán)重，而事實(shí)上距離難以很好地描述空間相鄰性。顯然，對(duì)于離散數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的空間相鄰性描述，需要給出一種較好的數(shù)學(xué)表達(dá)，Voronoi圖就是一種很好的工具。

2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（Voronoi圖法）第64頁數(shù)字高程模型6/6/2011數(shù)字高程模型第66頁插入點(diǎn)x后產(chǎn)生的新的關(guān)于x的Voronoi多邊形，記為v

x

。該多邊形與原始鄰接Voronoi多邊形相交，相交部分即為定權(quán)依據(jù)。設(shè)點(diǎn)x的相鄰點(diǎn)集為p1,p2……pn．pi為點(diǎn)x的任何一個(gè)相鄰點(diǎn)，pi所在的Voronoi多邊形記為Vp。可以看出，當(dāng)點(diǎn)x無限接近點(diǎn)pi時(shí)，兩多邊形完全重合，對(duì)點(diǎn)pi賦全權(quán)；若采樣點(diǎn)x逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)pi，相交區(qū)域以及公共邊界都將隨之縮小，當(dāng)進(jìn)一步遠(yuǎn)離最終分離，這時(shí)點(diǎn)A的權(quán)重為0，對(duì)點(diǎn)x的內(nèi)插將不再產(chǎn)生影響。從上述討論可以看出，權(quán)的確定是一個(gè)連續(xù)的過程，符合權(quán)函數(shù)的要求。

2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（Voronoi圖法）第67頁數(shù)字高程模型選點(diǎn)定權(quán)之后，便可以進(jìn)行加權(quán)平均的計(jì)算。將鄰接點(diǎn)pi的Voronoi多邊形與多邊形vx的相交區(qū)域記為vi(i=1，2，3，…，n)，A的高程記為Hi，用每一個(gè)鄰接點(diǎn)的高程Hi乘以各自相應(yīng)的相交區(qū)域vi的面積，相加后除以整個(gè)相交區(qū)域vx的面積，就得點(diǎn)x的高程插值。

2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（Voronoi圖法）第68頁數(shù)字高程模型一維線性的Voronoi圖內(nèi)插

2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（Voronoi圖法）第69頁數(shù)字高程模型一維線性的Voronoi圖內(nèi)插

2.2逐點(diǎn)內(nèi)插法（Voronoi圖法）第70頁數(shù)字高程模型Voronoi地圖可以了解到每個(gè)采樣點(diǎn)控制的區(qū)域的范圍，也可以體現(xiàn)出每個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)區(qū)域內(nèi)插的重要性。利用Voronoi地圖中就可以找出一些對(duì)區(qū)域內(nèi)插作用不大且可能影響內(nèi)插精度的采樣點(diǎn)值，可以將它剔除。用聚類和熵的方法生成的Vonoroi圖可也可用來幫助識(shí)別可能的離群值。自然界中，距離相近的事物比距離遠(yuǎn)的事物具有更大的相似性。熵值是量度相鄰單元相異性的一個(gè)指標(biāo)。因此，局部離群值可以通過高熵值的區(qū)域識(shí)別出來。同樣，一般認(rèn)為某個(gè)特定單元的值至少應(yīng)與它周圍單元中的某一個(gè)的值相近。因此聚類方法也能將那些與它們周圍單元不相同的單元識(shí)別出來。探索性數(shù)據(jù)分析:Voronoi圖/泰森多邊形