【名師一號(hào)】高中數(shù)學(xué) 2.2.1直線與平面平行的判定 A必修2

§2.2直線?平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定1自學(xué)導(dǎo)引(學(xué)生用書P33)21.了解直線與平面的位置關(guān)系,并學(xué)會(huì)用符號(hào)和圖形來(lái)表示它們.2.了解直線與平面平行的定義,并掌握直線與平面平行的判定定理,會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言來(lái)描述它們.3.結(jié)合具體問(wèn)題體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,重視空間與平面的相互轉(zhuǎn)化.3課前熱身(學(xué)生用書P33)4

1.定義如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行.表示式:a與α沒(méi)有公共點(diǎn)__________.2.判定定理如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面________.表示式:a∥α平行5名

師

講

解(學(xué)生用書P33)

61.直線與平面平行的判定方法主要有:(1)利用定義:證直線與平面無(wú)公共點(diǎn)(需用反證法).(2)利用直線和平面平行的判定定理,即線線平行 線面平行.(3)利用平面與平面平行,得到直線與平面平行.即若α∥β,a α,則a∥β.72.“平行于同一平面的兩直線平行”對(duì)嗎?如下圖所示,顯然正方體AC中下底面的三條棱a、b、c都平行于上底面α,側(cè)面上的直線d也平行于α,但a∥c,a∩b于A,a與d異面.即平行于同一平面的兩條直線相交?平行?異面的各種關(guān)系都可能出現(xiàn).83.“若平面外的一條直線與平面平行,那么它和平面內(nèi)的所有直線平行”對(duì)嗎?不對(duì).若平面外一直線和已知平面平行,則在這個(gè)平面內(nèi)可以找到無(wú)數(shù)條互相平行的直線與平面外的這條直線平行,但不是平面內(nèi)的所有直線與它平行.如上圖所示,b∥α,但b BC.9典例剖析(學(xué)生用書P33)

10題型一直線?平面的位置關(guān)系例1:對(duì)于不重合的兩條直線m、n和平面α,下列命題中的真命題是()11解析:如圖所示,在長(zhǎng)方體AC1中,設(shè)平面ABCD為α,AB為m,CC1為n,易知n與α相交,∴A錯(cuò);若B1C1為n,則有n∥α,∴C錯(cuò);記A1B1為m,B1C1為n,則m與n相交,∴D錯(cuò).∴排除A?C?D,故B正確.答案:B規(guī)律技巧:此類題目屬于位置關(guān)系的判定題,并且用符號(hào)語(yǔ)言表示,是高考考查立體幾何的主要形式.其解題策略是借助長(zhǎng)方體等作為模型,利用排除法求解.12變式訓(xùn)練1:在正方體ABCD—A1B1C1D1中與平面D1AC不平行的是()A.A1B B.BB1C.BC1 D.A1C1答案:B13題型二直線和平面平行的判定例2:正方體ABCD-A1B1C1D1中,E?G分別是BC?C1D1的中點(diǎn),如下圖.求證:EG∥平面BB1D1D.14分析:要證明EG∥平面BB1D1D,根據(jù)線面平行的判定定理,需要在平面BB1D1D內(nèi)找到與EG平行的直線,要充分借助于E?G為中點(diǎn)這一條件.15證明:取BD的中點(diǎn)F,連結(jié)EF?D1F.∵E為BC的中點(diǎn),∴EF為△BCD的中位線,則EF∥DC,且 .∵G為C1D1的中點(diǎn),∴D1G∥CD且 ,∴EF∥D1G且EF=D1G,∴四邊形EFD1G為平行四邊形,∴D1F∥EG,而D1F平面BDD1B1,EG平面BDD1B1,∴EG∥平面BDD1B1.16規(guī)律技巧:在證明直線與平面平行的問(wèn)題中,關(guān)鍵是尋找面內(nèi)與已知直線平行的直線,常利用平行四邊形?三角形中位線?平行公理等.17變式訓(xùn)練2:如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,S?E?G分別是B1D1?BC?SC的中點(diǎn),求證:直線EG∥平面BDD1B1.18證明:如圖所示,連結(jié)SB.∵E?G分別是BC?SC的中點(diǎn),∴EG∥SB.又∵ ,∴直線EG∥平面BDD1B1.19例3:正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE?BD上各有一點(diǎn)P?Q,且AP=DQ.求證:PQ∥平面BCE.分析:解法1:證明線面平行,可用線面平行的判定定理.20證明:如圖所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,連結(jié)MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB,21∴AE=BD.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN,∴∴PMQN.∴PQ∥MN.22解法2:線面平行可以轉(zhuǎn)化為線線平行,而線線平行可通過(guò)“線段對(duì)應(yīng)成比例”得到.連結(jié)AQ并延長(zhǎng)交BC于K,連結(jié)EK,只需證出 即可.23證明:如圖所示,由AD∥BC,AK∩BD=Q知,△ADQ∽△KBQ,∴另一方面,由題設(shè)知,AE=BD,且AP=DQ.∴PE=QB,∴∴PQ∥EK.又PQ 平面BCE,EK 平面BCE.∴PQ∥平面BCE.24變式訓(xùn)練3:如圖,在三棱錐P—ABC中,點(diǎn)O?D分別是AC?PC的中點(diǎn).求證:OD∥平面PAB.25證明:在△ACP中,∵O為AC的中點(diǎn),D為PC的中點(diǎn),∴OD∥AP.∵ .∴OD∥平面PAB.26易錯(cuò)探究27例4:以下命題(其中a,b表示直線,α表示平面).①若a∥b,bα,則a∥α;②若a∥α,b∥α,則a∥b;③若a∥b,b∥α,則a∥α;④若a∥α,bα,則a∥b.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是________.錯(cuò)解:③④錯(cuò)因分析:對(duì)線面平行的判定定理理解不透,線面位置關(guān)系不清楚,分析不到位.

28正解:命題①中,a還可能在平面α內(nèi);②中直線a,b還有可能相交或異面;③中a也有可能在平面α內(nèi);④中a與b也可能異面,所以4個(gè)命題都是錯(cuò)誤的.答案:①②③④29技能演練(學(xué)生用書P35)30 基礎(chǔ)強(qiáng)化1.若直線m不平行于平面α,且m α,則下列結(jié)論成立的是()A.α內(nèi)所有直線與m異面B.α內(nèi)存在唯一的直線與m平行C.α內(nèi)的直線與m相交D.α內(nèi)不存在與m平行的直線答案:D312.如果平面外一條直線上有兩點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等.那么這條直線與這個(gè)平面的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.以上都不對(duì)答案:C32答案:C3.設(shè)AB,BC,CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段,則經(jīng)過(guò)它們中點(diǎn)的平面和直線AC的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.AC在此平面內(nèi)解析:畫一個(gè)空間四邊形.易知選A.答案:A334.如果兩直線a∥b,且a∥平面α,則b與α的位置關(guān)系()A.相交 B.b∥α答案:D345.已知直線a⊥b,a∥平面α,則直線b與平面α的位置關(guān)系是()A.b∥αB.b αC.b與α相交D.以上都有可能答案:D356.如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E為A1B1的中點(diǎn),則直線AE與平面BB1D1D的位置關(guān)系是________.相交367.經(jīng)過(guò)兩條異面直線a?b之外的一點(diǎn)P,可作________個(gè)平面與a?b都平行.1378.已知E?F?G?M分別是四面體的棱AD?CD?BD?BC的中點(diǎn).求證:AM∥平面EFG.證明:如右圖所示,連結(jié)MD交GF于N,連結(jié)EN.∵GF為△BCD的中位線,∴N為MD的中點(diǎn).∴EN為△AMD的中位線.∴EN∥AM.∵AM 平面EFG,EN 平面EFG,∴AM∥平面EFG.38能力提升399.如下圖在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn),求證:PB∥平面AEC.40證明:連結(jié)BD與AC相交于O,連結(jié)EO,∵ABCD為平行四邊形,∴O是BD的中點(diǎn),又E為PD的中點(diǎn),∴EO∥PB.∵4110.如圖所示,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E?F?P?Q分別是BC?C1D1?AD1?BD的中點(diǎn).(1)求證:PQ∥平面DCC1D1;(2)求PQ的長(zhǎng);(3)求證:EF∥平面BB1D1D.42解:(1)證明:連結(jié)D1C,∵P?Q分別為AD1?AC的中點(diǎn),∴PQ∴PQ∥面DCC1D1.(2)∵43(3)證明:取B1D1的中點(diǎn)Q1,連結(jié)Q1F?Q1B,∵F為D1C1的中點(diǎn),Q1F

BE.∴四邊形Q1FEB為平行四邊形,EF∥Q1B,∴∴EF∥面BB1D1D.44品味高考(學(xué)生用書P35)4511.(重慶高考)若P是平面α外一點(diǎn),則下列命題正確的是()A.過(guò)P只能作一條直線與α相交B.過(guò)P可作無(wú)數(shù)條直線與平面α垂直C.過(guò)P只能作一條直線與平面α平行D.過(guò)P可作無(wú)數(shù)條直線與平面α平行解析:過(guò)點(diǎn)P只能作一條直線與平面α垂直,可以作無(wú)數(shù)條直線與α相交,可以作無(wú)數(shù)條直線與α平行.因此,A、B