高數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念演示文稿

高數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念演示文稿第一頁，共四十二頁。高數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念第二頁，共四十二頁。在許多實際問題中，需要從數(shù)量上研究變量的變化速度。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，所有這些在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)。本章將通過對實際問題的分析，引出微分學(xué)中兩個最重要的基本概念——導(dǎo)數(shù)與微分，然后再建立求導(dǎo)數(shù)與微分的運算公式和法則，從而解決有關(guān)變化率的計算問題。第三頁，共四十二頁。導(dǎo)數(shù)和微分是繼連續(xù)性之后，函數(shù)研究的進一步深化。導(dǎo)數(shù)反映的是因變量相對于自變量變化的快慢程度和增減情況，而微分則是指明當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少。重點導(dǎo)數(shù)與微分的定義及幾何解釋導(dǎo)數(shù)與微分基本公式四則運算法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)和參量函數(shù)求導(dǎo)難點導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)，用定義求導(dǎo)，鏈?zhǔn)椒▌t第四頁，共四十二頁。問題的提出導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)小結(jié)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念左、右導(dǎo)數(shù)第五頁，共四十二頁。一、引出導(dǎo)數(shù)概念的兩個實例設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為第六頁，共四十二頁。2.曲線的切線斜率曲線在M點處的切線割線MN的極限位置MT(當(dāng)時)割線MN的斜率切線MT的斜率第七頁，共四十二頁。兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題第八頁，共四十二頁。二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點處可導(dǎo),在點的導(dǎo)數(shù).第九頁，共四十二頁。說明:在經(jīng)濟學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).其它形式第十頁，共四十二頁。若上述極限不存在,在點不可導(dǎo).就說函數(shù)第十一頁，共四十二頁?！铩镪P(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：第十二頁，共四十二頁。注意:★第十三頁，共四十二頁?！锖瘮?shù)在一點的導(dǎo)數(shù)是一個局部性概念，它反映了函數(shù)在該點處的變化快慢，而與臨近點是否可導(dǎo)無關(guān)。存在僅在某一點可導(dǎo)，而在其余點不可導(dǎo)的函數(shù)?！飳?dǎo)數(shù)定義式中的△x必修連續(xù)地趨于零。第十四頁，共四十二頁。三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:例1解第十五頁，共四十二頁。例2解第十六頁，共四十二頁。例3解更一般地例如,第十七頁，共四十二頁。例4解第十八頁，共四十二頁。例5解第十九頁，共四十二頁。四、左、右導(dǎo)數(shù)2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):第二十頁，共四十二頁?！铩铩镒笥覍?dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)★第二十一頁，共四十二頁。例6解第二十二頁，共四十二頁。五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義曲線在點的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點;若切線與x軸垂直.曲線在點處的切線方程:法線方程:第二十三頁，共四十二頁。例7解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為第二十四頁，共四十二頁。2.物理意義非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線運動:路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度.交流電路:電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度.非均勻的物體:質(zhì)量對長度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù)為物體的線(面,體)密度.第二十五頁，共四十二頁。例7.問曲線哪一點有垂直切線?哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應(yīng)則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(0,0)有垂直切線第二十六頁，共四十二頁。六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系證定理若y=f(x)在點可導(dǎo)，則y=f(x)在處一定連續(xù).第二十七頁，共四十二頁。在點處右導(dǎo)數(shù)存在定理2.函數(shù)在點必右連續(xù).(左)(左)由定理1和定理2,可得:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)注意:可導(dǎo)的條件要比連續(xù)強,存在處處連續(xù)但是處處不可導(dǎo)的函數(shù).第二十八頁，共四十二頁。★連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例0例如,反例:在x=0處連續(xù),但不可導(dǎo).第二十九頁，共四十二頁。例如,01第三十頁，共四十二頁。例如,011/π－1/π第三十一頁，共四十二頁。第三十二頁，共四十二頁。七、小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):增量比的極限;3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;4.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.第三十三頁，共四十二頁。思考與練習(xí)1.函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)第三十四頁，共四十二頁。2.設(shè)存在,則3.已知則4.

若時,恒有問是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且第三十五頁，共四十二頁。5.

設(shè),問a取何值時,在都存在,并求出解:故時此時在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).第三十六頁，共四十二頁。作業(yè)P861,5,6,11,16,18第三十七頁，共四十二頁。牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.第三十八頁，共四十二頁。萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》