初中數(shù)學(xué)滬科版八年級(jí)下冊(cè)第16章二次根式 公開課比賽一等獎(jiǎng)

專訓(xùn)1.常見二次根式化簡(jiǎn)求值的九種技巧名師點(diǎn)金：在有理數(shù)中學(xué)習(xí)的法則、性質(zhì)、運(yùn)算律、公式等在二次根式中仍然適用，在運(yùn)算的最后注意結(jié)果要化成最簡(jiǎn)形式．在進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，一定要注意所給出的條件或題中的隱含條件，根據(jù)題目的特點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)慕忸}方法．估算法1．若將三個(gè)數(shù)－eq\r(3)，eq\r(7)，eq\r(11)表示在數(shù)軸上，則其中被如圖所示的墨汁覆蓋的數(shù)是________．(第1題)公式法2．計(jì)算：(5＋eq\r(6))×(5eq\r(2)－2eq\r(3))．拆項(xiàng)法3．計(jì)算：eq\f(\r(6)＋4\r(3)＋3\r(2),（\r(6)＋\r(3)）（\r(3)＋\r(2)）).[提示：eq\r(6)＋4eq\r(3)＋3eq\r(2)＝(eq\r(6)＋eq\r(3))＋3(eq\r(3)＋eq\r(2))]換元法4．已知n＝eq\r(2)＋1，求eq\f(n＋2＋\r(n2－4),n＋2－\r(n2－4))＋eq\f(n＋2－\r(n2－4),n＋2＋\r(n2－4))的值．整體代入法5．已知x＝eq\f(1,3－2\r(2))，y＝eq\f(1,3＋2\r(2))，求eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)－4的值．因式分解法6．計(jì)算：eq\f(\r(2)＋\r(3),2＋\r(6)＋\r(10)＋\r(15)).配方法7．若a，b為實(shí)數(shù)，且b＝eq\r(3－5a)＋eq\r(5a－3)＋15，試求eq\r(\f(b,a)＋\f(a,b)＋2)－eq\r(\f(b,a)＋\f(a,b)－2)的值．輔元法8．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求eq\f(\r(x＋y),\r(x＋z)＋\r(x＋2y))的值．先判后算法9．已知a＋b＝－6，ab＝5，求beq\r(\f(b,a))＋aeq\r(\f(a,b))的值．專訓(xùn)2.二次根式運(yùn)算常見的題型名師點(diǎn)金：進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí)，(1)先將二次根式適當(dāng)化簡(jiǎn)；(2)二次根式的乘法可以參照整式的乘法進(jìn)行運(yùn)算；(3)對(duì)于二次根式的除法運(yùn)算，通常先將其寫成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；(4)二次根式的加減法與整式的加減法類似，即在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并被開方數(shù)相同的二次根式；(5)運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡(jiǎn)形式．利用運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算1．計(jì)算：(1)(eq\r(5)－1)(eq\r(5)＋1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(－2)＋|1－eq\r(2)|－(π－2)0＋eq\r(8)；(2)(2－eq\r(3))2016·(2＋eq\r(3))2017－2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2))).利用公式進(jìn)行計(jì)算2．計(jì)算：(1)(eq\r(3)－1)2＋(eq\r(3)＋2)2－2(eq\r(3)－1)(eq\r(3)＋2)；(2)(eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5))2－(eq\r(2)－eq\r(3)＋eq\r(5))2；(3)eq\f(a\r(a)－a\r(b),a－\r(ab))－eq\f(a－b,\r(a)＋\r(b)).利用二次根式的整數(shù)部分和小數(shù)部分求代數(shù)式的值3．已知5＋eq\r(3)和5－eq\r(3)的小數(shù)部分分別為a，b，試求代數(shù)式ab－a＋4b－3的值．利用化簡(jiǎn)求值4．先化簡(jiǎn)，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a＋1)))÷eq\f(a,a2＋2a＋1)，其中a＝eq\f(\r(3),2).利用整體思想巧求值5．已知x＝1－eq\r(2)，y＝1＋eq\r(2)，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．利用二次根式加減運(yùn)算的特征求字母的取值(范圍)或式子的值6．已知a，b是正整數(shù)，且eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(1998)，求a＋b的值．答案eq\a\vs4\al(專訓(xùn)1)\r(7)點(diǎn)撥：因?yàn)椋璭q\r(3)＜0，2＜eq\r(7)＜3，3＜eq\r(11)＜4，所以被墨汁覆蓋的數(shù)為eq\r(7).2．解：原式＝(5＋eq\r(6))×[5eq\r(2)－(eq\r(2))2×eq\r(3)]＝(5＋eq\r(6))×[eq\r(2)×(5－eq\r(6))]＝eq\r(2)×(5＋eq\r(6))×(5－eq\r(6))＝eq\r(2)×(25－6)＝19eq\r(2).3．解：原式＝eq\f(（\r(6)＋\r(3)）＋3（\r(3)＋\r(2)）,（\r(6)＋\r(3)）（\r(3)＋\r(2)）)＝eq\f(\r(6)＋\r(3),（\r(6)＋\r(3)）（\r(3)＋\r(2)）)＋eq\f(3（\r(3)＋\r(2)）,（\r(6)＋\r(3)）（\r(3)＋\r(2)）)＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq\f(3,\r(6)＋\r(3))＝eq\r(3)－eq\r(2)＋eq\r(6)－eq\r(3)＝eq\r(6)－eq\r(2).4．解：設(shè)x＝n＋2＋eq\r(n2－4)，y＝n＋2－eq\r(n2－4)，則x＋y＝2n＋4，xy＝4n＋8.原式＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＝eq\f(x2＋y2,xy)＝eq\f(（x＋y）2－2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2,xy)－2＝eq\f(（2n＋4）2,4n＋8)－2＝n.當(dāng)n＝eq\r(2)＋1時(shí)，原式＝eq\r(2)＋1.5．解：由已知得：x＝3＋2eq\r(2)，y＝3－2eq\r(2)，所以x＋y＝6，xy＝1，所以原式＝eq\f(x2＋y2－4xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2－6xy,xy)＝30.6．解：eq\f(\r(2)＋\r(3),2＋\r(6)＋\r(10)＋\r(15))＝eq\f(\r(2)＋\r(3),\r(2)（\r(2)＋\r(3)）＋\r(5)（\r(2)＋\r(3)）)＝eq\f(\r(2)＋\r(3),（\r(2)＋\r(3)）（\r(2)＋\r(5)）)＝eq\f(1,\r(2)＋\r(5))＝eq\f(\r(5)－\r(2),（\r(5)＋\r(2)）（\r(5)－\r(2)）)＝eq\f(\r(5)－\r(2),5－2)＝eq\f(\r(5)－\r(2),3).7．解：由二次根式的定義，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－5a≥0，,5a－3≥0，))∴3－5a＝0，∴a＝eq\f(3,5).∴b＝15，∴a＋b＞0，a－b＜0.∴eq\r(\f(b,a)＋\f(a,b)＋2)－eq\r(\f(b,a)＋\f(a,b)－2)＝eq\r(\f(（a＋b）2,ab))－eq\r(\f(（a－b）2,ab))＝eq\f(a＋b,ab)eq\r(ab)－eq\f(b－a,ab)eq\r(ab)＝(eq\f(a＋b,ab)－eq\f(b－a,ab))eq\r(ab)＝eq\f(2,b)eq\r(ab).當(dāng)a＝eq\f(3,5)，b＝15時(shí)，原式＝eq\f(2,15)×eq\r(\f(3,5)×15)＝eq\f(2,5).方法點(diǎn)撥：對(duì)于形如eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋2或eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)－2的代數(shù)式一般要變?yōu)閑q\f(（a＋b）2,ab)或eq\f(（a－b）2,ab)的形式，當(dāng)它們作為被開方式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，要注意a＋b和a－b以及ab的符號(hào)．8．解：設(shè)x＝k(k＞0)，則y＝2k，z＝3k，∴原式＝eq\f(\r(3k),\r(4k)＋\r(5k))＝eq\f(\r(3),2＋\r(5))＝eq\r(15)－2eq\r(3).9．解：∵a＋b＝－6，ab＝5，∴a＜0，b＜0.∴beq\r(\f(b,a))＋aeq\r(\f(a,b))＝－eq\f(b,a)eq\r(ab)－eq\f(a,b)eq\r(ab)＝－eq\r(ab)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＝－eq\f(（a＋b）2－2ab,\r(ab))＝－eq\f(36－10,\r(5))＝－eq\f(26,\r(5))＝－eq\f(26\r(5),5).點(diǎn)撥：解此類題，應(yīng)先考慮字母取值的正負(fù)情況，再進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，同時(shí)運(yùn)用整體思想代入求值，不能一味地想求出單一字母的值，導(dǎo)致問(wèn)題復(fù)雜化，甚至無(wú)法求解．eq\a\vs4\al(專訓(xùn)2)1．解：(1)原式＝4－9＋eq\r(2)－1－1＋2eq\r(2)＝－7＋3eq\r(2).(2)原式＝[(2－eq\r(3))(2＋eq\r(3))]2016·(2＋eq\r(3))－2×eq\f(\r(3),2)＝2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝2.2．解：(1)原式＝[(eq\r(3)－1)－(eq\r(3)＋2)]2＝(eq\r(3)－1－eq\r(3)－2)2＝9.(2)原式＝(eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5)＋eq\r(2)－eq\r(3)＋eq\r(5))×(eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5)－eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5))＝2eq\r(2)×(2eq\r(3)－2eq\r(5))＝4eq\r(6)－4eq\r(10).(3)原式＝eq\f(a（\r(a)－\r(b)）,\r(a)（\r(a)－\r(b)）)－eq\f(（\r(a)＋\r(b)）（\r(a)－\r(b)）,\r(a)＋\r(b))＝eq\r(a)－(eq\r(a)－eq\r(b))＝eq\r(a)－eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(b).點(diǎn)撥：在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，靈活運(yùn)用乘法公式(如(1))和分解因式(如(2)(3))可簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程．3．解：∵eq\r(3)的整數(shù)部分為1，∴5＋eq\r(3)＝6＋a，5－eq\r(3)＝3＋b，即a＝eq\r(3)－1，b＝2－eq\r(3).∴ab－a＋4b－3＝(eq\r(3)－1)(2－eq\r(3))－(eq\r(3)－1)＋4×(2－eq\r(3))－3＝－5＋3eq\r(3)－eq\r(3)＋1＋8－4eq\r(3)－3＝1－2eq\r(3).方法總結(jié)：確定二次根式整數(shù)部分和小數(shù)部分的方法：先采用縮放的方法確定二次根式的整數(shù)部分，然后用二次根式與整數(shù)部分的差確定小數(shù)部分，即由n≤eq\r(a)<n＋1可以確定eq\r(a)的整數(shù)部分為n，小數(shù)部分為eq\r(a)－n.4．解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a＋1)))÷eq\f(a,a2＋2a＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,a＋1)－\f(1,a＋1)))·eq\f(（a＋1）2,a)＝eq\f(a,a＋1)·eq\f(（a＋1）2,a)＝a＋1.把a(bǔ)＝eq\f(\r(3),2)代入，得原式＝eq\f(\r(3),2)＋1＝eq\f(\r(3)＋2,2).5．解：∵x＝1－eq\r(2)，y＝1＋eq\r(2)，∴x－y＝(1－eq\r(2))－(1＋eq\r(2))＝－2eq\r(2)，xy＝(1－eq\r(2))(1＋eq\r(2))＝－1，∴x2＋y2－xy－2x＋2y＝(x－y)2－2(x－y)＋xy＝(－2eq\r(2))2－2×(－2eq\r(2))＋(－1)＝7＋4eq\r(2).6．解：由eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(1998)可知eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(1998)是可以合并的二次根式．∵eq\r(1998)＝eq\r(9×222)＝3eq\r(222)，故可設(shè)eq\r(a)＝meq\r(222)，eq\r(b)＝neq\r(222)，則meq\r(222)＋neq\r(222)＝3eq\r(222)，即(m＋n)eq\r(222)＝3eq\r(222)，∴m＋n＝3.又∵m，n是正整數(shù)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\a