初中數(shù)學北師大版九年級下冊第三章圓5確定圓的條件“江南聯(lián)賽”一等獎

北師大版數(shù)學九年級下冊第3章第5節(jié)確定圓的條件同步檢測一、選擇題1.下列命題中，正確的是（）A．平面上三個點確定一個圓B．等弧所對的圓周角相等C．平分弦的直徑垂直于這條弦D．與某圓一條半徑垂直的直線是該圓的切線答案：B解析：解答：A．三個點不共線的點確定一個平面，故A不正確；B．由圓心角、弧、弦的關(guān)系及圓周角定理可知：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對圓周角相等，故選項B正確；C．平分弦的直徑垂直于弦，被平分的弦不能是直徑，故此選項錯誤；D．與某圓一條半徑垂直的直線是該圓的切線，錯誤，正確的應該是：一條直線垂直于圓的半徑的外端，這條直線一定就是圓的切線．故此選項錯誤；故選：B．分析：根據(jù)在一條直線上的三點就不能確定一個圓可以判斷A，再利用圓心角定理得出B正確；由當弦為直徑時不垂直也平分，以及利用切線的判定對D進行判定．2.下列說法錯誤的是（）A．直徑是弦B．最長的弦是直徑C．垂直弦的直徑平分弦D．經(jīng)過三點可以確定一個圓答案：D解析：解答：A．直徑是弦，根據(jù)弦的定義是連接圓上兩點的線段，∴故此選項正確，但不符合題意，B．最長的弦是直徑，根據(jù)直徑是圓中最長的弦，∴故此選項正確，但不符合題意，C．垂直弦的直徑平分弦，利用垂徑定理即可得出，故此選項正確，但不符合題意，D．經(jīng)過三點可以確定一個圓，利用經(jīng)過不在同一直線上的三點可以作一個圓，故此選項錯誤，符合題意，故選：D．分析：根據(jù)弦的定義，以及經(jīng)過不在同一直線上的三點可以作一個圓可判斷和垂徑定理分別得出即可．3.下列命題中的假命題是（）A．三點確定一個圓B．三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離都相等C．同圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等D．同圓中，相等的弧所對的弦相等答案：A解析：解答：A.應為不在同一直線上的三點確定一個圓，故本選項錯誤；B.三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離都相等，是三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，故本選項正確；C.同圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，正確；D.同圓中，相等的弧所對的弦相等，正確．故選A．分析：根據(jù)確定圓的條件，三角形內(nèi)心性質(zhì)，以及圓心角、弧、弦的關(guān)系，對各選項分析判斷后利用排除法求解．4.如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（1，4）、（5，4）、（1，-2），則△ABC外接圓的圓心坐標是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）答案：D解析：解答：如圖：根據(jù)垂徑定理的推論，則作弦AB、AC的垂直平分線，交點O1即為圓心，且坐標是（3，1）．故選D．分析：根據(jù)垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”，作兩條弦的垂直平分線，交點即為圓心．5.小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應該是（）A．第①塊B．第②塊C．第③塊D．第④塊答案：B解析：解答：第②塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，就交于了圓心，進而可得到半徑的長．故選：B．分析：要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第②塊可確定半徑的大?。?.到三角形各頂點的距離相等的點是三角形（）A．三邊的垂直平分線的交點B．三條高的交點C．三條角平分線的交點D．三條中線的交點答案：A解析：解答：因為到三角形各頂點的距離相等的點，需要根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，只有分別作出三角形的兩邊的垂直平分線，交點才到三個頂點的距離相等．故選：A分析：根據(jù)三角形外心的作法，確定到三定點距離相等的點．7.小紅的衣服被鐵釘劃了一個呈直角三角形的洞，其中三角形的兩邊長分別為1cm和2cm，若用同色圓形布將此洞全部覆蓋，那么這塊圓布的直徑最小應等于（）A．2cmB．3cmC．2cm或3cmD．2cm或cm答案：A解析：解答：由題意，若圓布的直徑最小，那么2cm必為直角三角形的斜邊長；由于直角三角形的外接圓等于斜邊的長，所以圓布的最小直徑為2cm，故選A．分析：由于已知的三角形兩邊沒有明確是直角邊還是斜邊，因此有兩種情況：①1cm、2cm同為直角邊，②1cm為直角邊，2cm為斜邊；由于直角三角形的外接圓直徑等于斜邊的長，若外接圓直徑最小，那么直角三角形的斜邊最小，顯然①是不符合題意，因此直角三角形的斜邊為2cm，即圓布的最小直徑是2cm．8.下列說法中錯誤的是（）A．三角形的外心不一定在三角形的外部B．圓的兩條非直徑的弦不可能互相平分C．兩個三角形可能有公共的外心D．任何梯形都沒有外接圓答案：D解析：解答：A.根據(jù)三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點，則三角形的外心的位置有三種情況．正確；B.根據(jù)垂徑定理的推論可以運用反證法證明可知，該選項錯誤；C.因為一個圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形，所以兩個三角形可能有公共的外心．正確；D.等腰梯形一定有外接圓．錯誤．故選D．分析：本題根據(jù)三角形的外接圓與外心的位置及其性質(zhì)特點，逐項進行分析即可求解．9.如圖，已知△ABC的外接圓⊙O的半徑為1，D，E分別為AB，AC的中點，則sin∠BAC的值等于線段（）A．BC的長B．DE的長C．AD的長D．AE的長答案：B解析：解答：如圖：過B作⊙O的直徑BF，交⊙O于F，連接FC，則∠BCF=90°，Rt△BCF中，sinF=∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，即DE=BC2∴sinA=sinF==DE．故選B．分析：本題需將∠BAC構(gòu)建到直角三角形中求解，過B作⊙O的直徑，交⊙O于點F，由圓周角定理，知∠F=∠A；在Rt△BCF中，易求得sinF=，而DE是△ABC的中位線，即DE=，由此得解．10.如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓⊙O的直徑，且AC=5，DC=3，AB=，則⊙O的直徑AE=（）A．B．5C．D．答案：A解析：解答：如圖：連接BE，則∠BEA=∠ACB，且三角形ABE是直角三角形．在Rt△ACD中，AC=5，DC=3，則AD=sin∠BEA=sin∠ACB=故⊙O的直徑故選A．分析：連接BE．易知∠BEA=∠ACB，解直角三角形ABE即可求出AE．11.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA、OC，⊙O的半徑R=2，sinB=，則弦AC的長為（）A．3B．7C．32D．3答案：A解析：解答：延長AO交圓于點D，連接CD，由圓周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B∴sinD=sinB=34Rt△ADC中，sinD=34，AD=2R∴AC=AD?sinD=3．故選A．分析：若想利用∠B的正弦值，需構(gòu)建與它相等的圓周角，延長AO交⊙O于D，在Rt△ADC中，由圓周角定理，易得∠D=∠B，即可根據(jù)∠D的正弦值和直徑AD的長，求出AC的長．12.三角形的外心是三角形中（）A．三邊垂直平分線的交點B．三條中線的交點C．三條角平分線的交D．三條高的交點答案：A解析：解答：三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點．故選：A．分析：根據(jù)三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，解答即可．13、有下列四個命題，其中正確的有（）①圓的對稱軸是直徑；②經(jīng)過三個點一定可以作圓；③三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等；④半徑相等的兩個半圓是等?。瓵．4個B．3個C．2個D．1個答案：C解析：解答：①圓的對稱軸是直徑所在的直線；故此選項錯誤；②當三點共線的時候，不能作圓，故此選項錯誤；③三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點，所以三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，故此選項正確；④在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧，所以半徑相等的兩個半圓是等弧，故此選項正確．故選：C．分析：根據(jù)圓中的有關(guān)概念、定理進行分析判斷．14、若一個三角形的外心在它的一條邊上，那么這個三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形答案：B解析：解答：銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心是其斜邊的中點，鈍角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一條邊上，那么這個三角形是直角三角形．故選：B．分析：根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得該三角形是直角三角形．15.如圖，△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的三邊分別記為a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，則OD：OE：OF=（）A．a(chǎn)：b：cB．C．cosA：cosB：cosCD．sinA：sinB：sinC答案：C解析：解答：設(shè)三角形的外接圓的半徑是R．連接OB，OC．∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．∴∠BOD=∠COD=∠A在直角△OBD中，OD=OB?cos∠BOD=R?cosA．同理，OE=R?cosB，OF=R?cosC．∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．故選C．分析：設(shè)三角形的外接圓的半徑是R，根據(jù)垂徑定理，在直角△OBD中，利用三角函數(shù)即可用外接圓的半徑表示出OD的長，同理可以表示出OE，OF的長，即可求解．二、填空題16.當點A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三點可以確定一個圓時，m，n需要滿足的條件.答案：5m+2n≠9．解析：解答：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∵A（1，2），B（3，-3），∴k+b=23k+b=-3解得：k=，b=，∴直線AB的解析式為y=x+，∵點A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三點可以確定一個圓時，∴點C不在直線AB上，∴5m+2n≠9，故答案為：5m+2n≠9．分析：能確定一個圓就是不在同一直線上，首先確定直線AB的解析式，然后點C不滿足求得的直線即可．17.平面直角坐標系內(nèi)的三個點A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）確定一個圓（填“能”或“不能”）．答案：能解析：解答：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x軸，而點A（1，0）在x軸上，∴點A、B、C不共線，∴三個點A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能確定一個圓．故答案為：能．分析：根據(jù)三個點的坐標特征得到它們不共線，于是根據(jù)確定圓的條件可判斷它們能確定一個圓．18.如圖△ABC中外接圓的圓心坐標是.答案：（6，2）．解析：解答：如圖：分別做三角形的三邊的垂直平分線，可知相交于點（6，2），即△ABC中外接圓的圓心坐標是（6，2）．故答案為：（6，2）．分析：本題可借助網(wǎng)格在網(wǎng)格中根據(jù)三角形三邊的位置作出它們的垂直平分線，垂直平分線相交于一點，該點就是圓心，根據(jù)網(wǎng)格中的單位長度即可求解．19.已知△ABC的邊BC=4cm，⊙O是其外接圓，且半徑也為4cm，則∠A的度數(shù)是.答案：30°或150°．解析：解答：如圖：連接BO，CO，∵△ABC的邊BC=4cm，⊙O是其外接圓，且半徑也為4cm，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°．若點A在劣弧BC上時，∠A=150°．∴∠A=30°或150°．故答案為：30°或150°．分析：利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出∠BOC=60°，再利用圓周角定理得出答案．20.我們把兩個三角形的外心之間的距離叫做外心距．如圖，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，點D在邊BC的延長線上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是.答案：3解析：解答：∵∠ACB=∠ACD=90°，∴Rt△ABC和Rt△ACD分別是AB，AD的中點，∴兩三角形的外心距為△ABD的中位線，即為BD=3．故答案為：3．分析：利用直角三角形的性質(zhì)得出兩三角形的外心距為△ABD的中位線，即可得出答案．三、證明題21.如圖所示，BD，CE是△ABC的高，求證：E，B，C，D四點在同一個圓上．答案：見解析解析：解答：如圖所示，取BC的中點F，連接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分別為Rt△BCD和Rt△BCE斜邊上的中線，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四點在以F點為圓心，BC為半徑的圓上．分析：求證E，B，C，D四點在同一個圓上，△BCD是直角三角形，則三個頂點在斜邊中點為圓心的圓上，因而只要再證明F到BC的中點的距離等于BC的一半就可以．22.如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點F，∠ABC的平分線交AD于點E，連接BD，CD．（1）求證：BD=CD；（2）請判斷B，E，C三點是否在以D為圓心，以DB為半徑的圓上？并說明理由．答案：略解析：解答：（1）證明：∵AD為直徑，AD⊥BC，∴∴BD=CD．（2）B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．理由：由（1）知：BD＝CD，∴∠BAD=∠CBD，又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．分析：（1）利用等弧對等弦即可證明．（2）利用等弧所對的圓周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代換得出∠DBE=∠DEB，從而證明DB=DE=DC，所以B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．23.如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，AE⊥AB交BC于點D，交⊙O于點E，F(xiàn)在DA的延長線上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=，求⊙O的直徑．答案：QUOTE203解析：解答：如圖，連接BE．∵AF=AD，AB⊥EF，∴BF=BD．是直徑∵AB=AC，∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．∵tan∠ABD=，∴tanE=tan∠FBA=．在Rt△ABF中，∠BAF=90°．∵tan∠FBA==，AF=3，∴AB=4．∵∠BAE=90°，∴BE是⊙O的直徑．∵tanE=tan∠FBA=QUOTE34，AB=4，∴設(shè)AB=3x，AE=4x，∴BE=5x，∵3x=4，∴BE=5x=，即⊙O的直徑是．分析：如圖，連接BE．利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BF=BD；然后根據(jù)圓周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直徑．利用銳角三角函數(shù)的定義可以來求BE的長度．24.已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，求△ABC外接圓的半徑．答案：解析：解答：過A作AD⊥BC于D，連接BO，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，則AD必過圓心O，Rt△ABD中，AB=10，BD=8∴AD=6，設(shè)⊙O的半徑為x，Rt△OBD中，OB=x，OD=6-x根據(jù)勾股定理，得：OB2=OD解得：x=，則△ABC外接圓的半徑為：QUOTE253．分析：已知△ABC