廣東省河源市久社中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

廣東省河源市久社中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的()A.第6項(xiàng)

B.第7項(xiàng)

C.第8項(xiàng)

D.第9項(xiàng)參考答案：B2.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則A．x=1是f(x)的最小值點(diǎn)B．x=0是f(x)的極小值點(diǎn)C．x=2是f(x)的極小值點(diǎn)D．函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增參考答案：C3.如圖所示的是函數(shù)圖象的一部分，則其函數(shù)解析式是(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：A4.下列命題：①空集是任何集合的子集；②若整數(shù)是素?cái)?shù)，則是奇數(shù)；③若空間中兩條直線不相交，則這兩條直線平行；④其中真命題的個(gè)數(shù)是

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：B5.已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（▲）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，y=的圖象如圖所示，則y=的圖象最有可能是下圖中

（

）

參考答案：B略7.如圖，過雙曲線的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=16的切線，切點(diǎn)為T，延長FT交雙曲線右支于P點(diǎn)，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A.

B.

C.

D.參考答案：A略8.已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，則該雙曲線方程為（

）

A．

B．

C．

D.參考答案：D略9.某旅行社租用A、B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛．則租金最少為（）A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】設(shè)分別租用A、B兩種型號(hào)的客車x輛、y輛，總租金為z元．可得目標(biāo)函數(shù)z=1600x+2400y，結(jié)合題意建立關(guān)于x、y的不等式組，計(jì)算A、B型號(hào)客車的人均租金，可得租用B型車的成本比A型車低，因此在滿足不等式組的情況下盡可能多地租用B型車，可使總租金最低．由此設(shè)計(jì)方案并代入約束條件與目標(biāo)函數(shù)驗(yàn)證，可得當(dāng)x=5、y=12時(shí)，z達(dá)到最小值36800．【解答】解：設(shè)分別租用A、B兩種型號(hào)的客車x輛、y輛，所用的總租金為z元，則z=1600x+2400y，其中x、y滿足不等式組，（x、y∈N）∵A型車租金為1600元，可載客36人，∴A型車的人均租金是≈44.4元，同理可得B型車的人均租金是=40元，由此可得，租用B型車的成本比租用A型車的成本低因此，在滿足不等式組的情況下盡可能多地租用B型車，可使總租金最低由此進(jìn)行驗(yàn)證，可得當(dāng)x=5、y=12時(shí)，可載客36×5+60×12=900人，符合要求且此時(shí)的總租金z=1600×5+2400×12=36800，達(dá)到最小值故選：C10.已知，，滿足，且的最大值是最小值的倍，則的值是A、 B、 C、 D、（

）參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在邊長為25cm的正方形中挖去腰長為23cm的兩個(gè)等腰直角三角形（如圖），現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中，問粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是

.參考答案：12.直線被圓截得的弦長=

.

參考答案：略13.已知且與互相垂直，則的值是

.參考答案：14.展開式中，的系數(shù)是_____

。參考答案：24略15.在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為

．

參考答案：16.若a∈N，又三點(diǎn)A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共線，則a=

．參考答案：2【考點(diǎn)】三點(diǎn)共線．【分析】利用三點(diǎn)共線，結(jié)合向量平行，求解即可．【解答】解：三點(diǎn)A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共線，可得，=（1﹣a，3），=（1，﹣a﹣1），可得3=（1﹣a）（﹣a﹣1），a∈N，解得a=2．故答案為：2．17.若拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)在直線x+2y﹣4=0上，則p=

；C的準(zhǔn)線方程為

．參考答案：8,x=﹣4.【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】直線x+2y﹣4=0，令y=0，可得x=4，即=4，從而可得結(jié)論．【解答】解：直線x+2y﹣4=0，令y=0，可得x=4，∴=4，∴p=8，C的準(zhǔn)線方程為x=﹣4故答案為：8；x=﹣4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.數(shù)列的前項(xiàng)和記為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）求數(shù)列的前項(xiàng)和參考答案：（Ⅰ）．

（Ⅱ）∵①

∴②，①--②得：∴

，∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；

∴

．

（Ⅲ）∵

①于是

②①-②得：

∴

．

19.設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：實(shí)數(shù)x滿足（Ⅰ）若a=1，p且q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（Ⅱ）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】閱讀型．【分析】（1）把a(bǔ)=1代入不等式后求解不等式，同時(shí)求解不等式組，得到命題p和命題q中x的取值范圍，由p且q為真，對(duì)求得的兩個(gè)范圍取交集即可；（2）p是q的必要不充分條件，則集合B是集合A的子集，分類討論后運(yùn)用區(qū)間端點(diǎn)值之間的關(guān)系可求a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0，得：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，當(dāng)a=1時(shí)，解得1＜x＜3，即p為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．由，得：2＜x≤3，即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x≤3．若p且q為真，則p真且q真，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．

（Ⅱ）p是q的必要不充分條件，即q推出p，且p推不出q，設(shè)A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，則B是A的真子集，又B=（2，3]，當(dāng)a＞0時(shí)，A=（a，3a）；a＜0時(shí)，A=（3a，a）．所以當(dāng)a＞0時(shí)，有，解得1＜a≤2，當(dāng)a＜0時(shí)，顯然A∩B=?，不合題意．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1＜a≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題是命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了必要條件問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化和分類討論思想，是中檔題．20.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A（﹣2，0）、B（2，0）、三點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程：（2）若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)（﹣1，0），H（1，0），當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)．求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)．參考答案：解：（1）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），將A（﹣2，0）、B（2，0）、代入橢圓E的方程，得解得．∴橢圓E的方程（2）|FH|=2，設(shè)△DFH邊上的高為h，當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為，所以S△DFH的最大值為．設(shè)△DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)椤鱀FH的周長為定值6．所以，所以R的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡單性質(zhì)；三角形五心．專題：綜合題．分析：（1）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），將A（﹣2，0）、B（2，0）、代入橢圓E的方程，得到關(guān)于m，n的方程組，即可解得．最后寫出橢圓E的方程；（2）先設(shè)△DFH邊上的高為h，由于，得到當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為，再設(shè)△DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)椤鱀FH的周長為定值6．所以，從而救是R的最大值，從而解決問題．解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），將A（﹣2，0）、B（2，0）、代入橢圓E的方程，得解得．∴橢圓E的方程（2）|FH|=2，設(shè)△DFH邊上的高為h，當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為，所以S△DFH的最大值為．設(shè)△DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)椤鱀FH的周長為定值6．所以，所以R的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)．解答的關(guān)鍵是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，利用待定系數(shù)法求解．21.已知圓．（1）過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓的弦的中點(diǎn)，求所在直線方程．參考答案：解：由得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

…………2分（1）顯然為圓的切線．

……………4分另一方面，設(shè)過的圓的切線方程為，即；所以解得于是切線方程為和．

……………7分（2）設(shè)所求直線與圓交于兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為則有

兩式作差得

……………10分因?yàn)椋?/p>

所以

故所求直線方程為

……………15分

22.在四棱錐P-ABCD中，，E是PC的中點(diǎn)，面PAC⊥面ABCD.（1）證明：面PAB；（2）若，求二面角的余弦值．參考答案：（1）詳見解析；（2）.試題分析：（1）取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（2）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．試題解析：（1）證明：取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB（2）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，連接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值法二、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD