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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若非零實數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.2.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.53.已知函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.4.已知向量,,若,則()A. B. C.-8 D.85.定義在R上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,已知是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.以上情況均有可能6.設(shè)點,,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件7.已知集合,則=()A. B. C. D.8.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件9.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,210.一個算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框中應(yīng)填入的條件是()A. B. C. D.11.若點是角的終邊上一點,則()A. B. C. D.12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的()A.2 B.3 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中,的系數(shù)是______.14.已知全集,集合則_____.15.已知,(,),則=_______.16.對任意正整數(shù),函數(shù),若,則的取值范圍是_________;若不等式恒成立,則的最大值為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知圓O經(jīng)過橢圓C:的兩個焦點以及兩個頂點,且點在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點,且,求直線l的傾斜角.18.(12分)已知中,角所對邊的長分別為,且(1)求角的大?。唬?)求的值.19.(12分)為了解網(wǎng)絡(luò)外賣的發(fā)展情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市,分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(以下簡稱外賣甲、外賣乙)在今年3月的訂單情況,得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖,外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表,如下圖表所示.訂單:(單位:萬件)頻數(shù)1223訂單:(單位:萬件)頻數(shù)402020102(1)現(xiàn)規(guī)定,月訂單不低于13萬件的城市為“業(yè)績突出城市”,填寫下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲外賣乙總計(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數(shù)(單位:萬件)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表),的值已求出,約為3.64,現(xiàn)把頻率視為概率,解決下列問題:①從全國各城市中隨機(jī)抽取6個城市,記為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個數(shù),求的數(shù)學(xué)期望;②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬件的城市開展“訂外賣,搶紅包”的營銷活動來提升業(yè)績,據(jù)統(tǒng)計,開展此活動后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬件的水平,現(xiàn)從全國各月訂單數(shù)不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個城市不開展?fàn)I銷活動,若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元,但每件外賣平均需送出紅包2元,則外賣甲在這100個城市中開展?fàn)I銷活動將比不開展?fàn)I銷活動每月多盈利多少萬元?附:①參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,則,.20.(12分)已知.(1)解關(guān)于x的不等式:;(2)若的最小值為M,且,求證:.21.(12分)如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=CD=2,E為AB的中點,底面四邊形ABCD滿足∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=1.(Ⅰ)求證:平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角D﹣PE﹣B的余弦值.22.(10分)如圖,正方形是某城市的一個區(qū)域的示意圖,陰影部分為街道,各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,處為紅綠燈路口,紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下:先直行綠燈30秒,再左轉(zhuǎn)綠燈30秒,然后是紅燈1分鐘,右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響,這樣獨立的循環(huán)運行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處(不考慮處的紅綠燈),出發(fā)時的兩條路線()等可能選擇,且總是走最近路線.(1)請問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能?(2)在保證通過紅綠燈路口用時最短的前提下,小明優(yōu)先直行,求小明騎行途中恰好經(jīng)過處,且全程不等紅綠燈的概率;(3)請你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值,為小明設(shè)計一條最佳的上學(xué)路線,且應(yīng)盡量避開哪條路線?
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
令,則,,將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后,然后取絕對值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小,同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.2.B【解析】
先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B【點睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運算,是基礎(chǔ)題.3.C【解析】
利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù),即可容易求得最小值.【詳解】由于,故其最小值為:.故選:C.【點睛】本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù),以及求三角函數(shù)的最值,屬綜合基礎(chǔ)題.4.B【解析】
先求出向量,的坐標(biāo),然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量,,則,,又,則,解得.故選:B【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算和模長的運算,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
由已知可求得函數(shù)的周期,根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調(diào)性,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.【詳解】由可得,即函數(shù)的周期,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知,在上單調(diào)遞增,因為,是銳角三角形的兩個內(nèi)角,所以且即,所以即,.故選:.【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.6.C【解析】
利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點,,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】
先求出集合A,B,再求集合B的補(bǔ)集,然后求【詳解】,所以.故選:D【點睛】此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運算,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
先求出集合U,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可.【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C.【點睛】本題考查集合補(bǔ)集的運算,求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補(bǔ)集的定義,屬于簡單題.10.D【解析】
首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型,得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì),然后對循環(huán)體進(jìn)行分析,找出循環(huán)規(guī)律,判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系,最終得出選項.【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu),判斷框為跳出循環(huán)的語句,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,此時退出循環(huán),根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句,,故選D.【點睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點:(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu);(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5)要注意各個框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算,直到達(dá)到輸出條件即可.11.A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點是角的終邊上一點,根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準(zhǔn)確化簡、計算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
運行程序,依次進(jìn)行循環(huán),結(jié)合判斷框,可得輸出值.【詳解】起始階段有,,第一次循環(huán)后,,第二次循環(huán)后,,第三次循環(huán)后,,第四次循環(huán)后,,所有后面的循環(huán)具有周期性,周期為3,當(dāng)時,再次循環(huán)輸出的,,此時,循環(huán)結(jié)束,輸出,故選:B【點睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識,經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先將原式展開成,發(fā)現(xiàn)中不含,故只研究后面一項即可得解.【詳解】,依題意,只需求中的系數(shù),是.故答案為:-40【點睛】本題考查二項式定理性質(zhì),關(guān)鍵是先展開再利用排列組合思想解決,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解:.故答案為.【點睛】本題主要考查了補(bǔ)集的運算,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡可得,平方可得.【詳解】∵,∴,則,平方可得.故答案為:.【點睛】本題主要考查三角恒等變換,倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).16.【解析】
將代入求解即可;當(dāng)為奇數(shù)時,,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),由單調(diào)性求得的最小值;同理,當(dāng)為偶數(shù)時,,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,進(jìn)而比較得到的最大值.【詳解】由題,,解得.當(dāng)為奇數(shù)時,,由,得,而函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以;當(dāng)為偶數(shù)時,,由,得,設(shè),,單調(diào)遞增,,所以,綜上可知,若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:(1);(2)【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)或【解析】
(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系,然后將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,當(dāng)直線的斜率不存在時,可求出,然后進(jìn)行檢驗;當(dāng)直線的斜率存在時,可設(shè)直線的方程為,設(shè)點,先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理,利用弦長公式并結(jié)合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點,所以橢圓焦距等于短軸長,可得,又點在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當(dāng)直線不存在斜率時,解得,不符合題意;當(dāng)直線存在斜率時,設(shè)其方程為,因為直線與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設(shè),則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.【點睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決,往往會更簡單.18.(1);(2).【解析】
(1)正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,以及兩角和的正弦公式展開,特殊角的余弦值即可求出答案;(2)構(gòu)造齊次式,利用正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,得到,結(jié)合余弦定理得到【詳解】解:(1)由已知,得又∵∴∴,因為得∵∴.(2)∵又由余弦定理,得∴【點睛】1.考查學(xué)生對正余弦定理的綜合應(yīng)用;2.能處理基本的邊角轉(zhuǎn)換問題;3.能利用特殊的三角函數(shù)值推特殊角,屬于中檔題19.(1)見解析,有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).(2)①4.911②100萬元.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表,易得兩個外賣平臺中月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量,即可完善列聯(lián)表.通過計算的觀測值,即可結(jié)合臨界值作出判斷.(2)①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值,根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間,并由及求得,.結(jié)合正態(tài)分布曲線性質(zhì)可求得,再由二項分布的數(shù)學(xué)期望求法求解.②訂單數(shù)低于7萬件的城市有和兩組,根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可確定各組抽取樣本數(shù).分別計算出開展?fàn)I銷活動與不開展?fàn)I銷活動的利潤,比較即可得解.【詳解】(1)對于外賣甲:月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為,對于外賣乙:月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為.由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖,業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲4060100外賣乙5248100總計92108200且的觀測值為,∴有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).(2)①樣本平均數(shù),故==,,的數(shù)學(xué)期望,②由分層抽樣知,則100個城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有(個),每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有(個),若不開展?fàn)I銷活動,則一個月的利潤為(萬元),若開展?fàn)I銷活動,則一個月的利潤為(萬元),這100個城市中開展?fàn)I銷活動比不開展每月多盈利100萬元.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與頻率分布表的應(yīng)用,完善列聯(lián)表并計算的觀測值作出判斷,分層抽樣的簡單應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于中檔題.20.(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)分類討論求解絕對值不等式即可;(2)由(1)中所得函數(shù),求得最小值,再利用均值不等式即可證明.【詳解】(1)當(dāng)時,等價于,該不等式恒成立,當(dāng)時,等價于,該不等式解集為,當(dāng)時,等價于,解得,綜上,或,所以不等式的解集為.(2),易得的最小值為1,即因為,,,所以,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.【點睛】本題考查利用分類討論求解絕對值不等式,涉及利用均值不等式證明不等式,屬綜合中檔題.21.(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ).(Ⅲ)﹣.【解析】
(Ⅰ)由題知,如圖以點為原點,直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,計算,證明,從而平面PAC,即可得證;(Ⅱ)求解平面PDE的一個法向量,計算,即可得直線PC與平面
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