隨機過程試題及解答

2 2 42 2 42 2 42 2 42016隨機過程(A)解答1、(15分)設(shè)隨機過程X(t)UtV,t(0,),U,V是相互獨立服從正態(tài)分布 N(2,9)的隨機變量。1)2)3)解：由于U態(tài)分布,且：求X(t)的一維概率密度函數(shù)；求X(t)的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。求X(t)的二維概率密度函數(shù)；V是相互獨立服從正態(tài)分布N(2,9)的隨機變量，所以X(t)UtV也服從正故:(2)m(t)EX(t)D(t)DX(t)X(t)的一維概率密度函數(shù)為:ft(x)2tt21)2)3)解：由于U態(tài)分布,且：求X(t)的一維概率密度函數(shù)；求X(t)的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。求X(t)的二維概率密度函數(shù)；V是相互獨立服從正態(tài)分布N(2,9)的隨機變量，所以X(t)UtV也服從正故:(2)m(t)EX(t)D(t)DX(t)X(t)的一維概率密度函數(shù)為:ft(x)2tt2D9t2x2t218(t21)3、2-.t21X(t)的均值函數(shù)為:R(s,t)stm(t)X(s)EU22t2；相關(guān)函數(shù)為:X(t)E(Us(st)EUVst13(st)413V)(UV)V2協(xié)方差函數(shù)為:(3)相關(guān)系數(shù)：B(s,t)R(s,t)m(s)m(t)9st(s,t)B(s,t)9st9st19s29■.9t29.s21xt21X(t)的二維概率密度函數(shù)為:fs,t(X,X2fs,t(X,X2)118 .s21,t21.1 21 (x12s2)22(1 2) 9(s21)e2(x12s2)(x22t2)(x22t2)29 s21t21 4(t21)2、(12分)某商店8時開始營業(yè)，在8時顧客平均到達率為每小時 4人，在12時顧客的平均到達率線性增長到最高峰每小時 80人，從12時到15時顧客平均到達率維持不變?yōu)槊啃r80人。問在10:00—14:00之間無顧客到達商店的概率是多少？在10:00—14:00之間到達商店顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差是多少？解：到達商店顧客數(shù)服從非齊次泊松過程。419t,0t4(t)將8時至419t,0t4(t)80,在10:00—14:00之間到達商店顧客數(shù)X(6)X(2)服從泊松分布，其均值:在10:00—14:00之間到達商店顧客數(shù)X(6)X(2)服從泊松分布，其均值:6m(6)m(2)(t)dt6(419t)dt80dt2823373337333733373在10:00—14:00之間無顧客到達商店的概率為:PX(6)X(2)0PX(6)X(2)008Te282e2820!在10:00—14:00之間到達商店顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差相等，均為:m(6)m(2)2823、(13分)設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一個泊松過程，平均每周有 8戶定居，如果一戶4人的概率為0.2,如果一戶3人的概率為0.3,一戶2人的概率為0.3,一戶1人的概率為0.2,并且每戶的人口數(shù)是相互獨立的隨機變量，求在8周內(nèi)移民到該地區(qū)人口數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解：已知移民到某地區(qū)定居的戶數(shù) N(t)是一個強度 8的泊松過程，第i戶的人口數(shù)Yi(i1,2,)是相互獨立同分布的隨機變量，在 t周內(nèi)移民到該地區(qū)人口數(shù):Y1 2 3 4Y1 2 3 4P0.20.30.30.2X(t)Y是一個復(fù)合泊松過程， Y的分布為:i1_ _ 一2一EY2.5 EY 7.32由公式：EX(t)tEY,DX(t)tEY可得在5周內(nèi)移民到該地區(qū)人口數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差為:EX(5) 88EX(5) 882.5160,DX(5) 887.3467.24、(15分)設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：TOC\o"1-5"\h\z0.2 0.3 0.5P 0.1 0.5 0.40.6 0.2 0.2求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時間。求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P⑵及當(dāng)零時刻初始分布為：P{Xo1}0.2,P{Xo2}0.2,P{Xo3}0.6,時，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后的絕對分布。解：(1)此馬爾科夫鏈為非周期、不可約、有限狀態(tài)，存在平穩(wěn)分布 T{1,2,3}滿足:1 0.210.120.63TOC\o"1-5"\h\z2 0.3 1 0.5 2 0.2 33 0.5 1 0.4 2 0.2 31 2 3 1解得：1故平穩(wěn)分布32」八八, 2103T{絲解得：1故平穩(wěn)分布32」八八, 2103T{絲103341033437103,103}各狀態(tài)的平均返回時間:3710310332,103103341i 31i 30.2(1)P⑵PP0.10.60.3 0.5 0.2 0.3 0.50.5 0.4 0.1 0.5 0.40.2 0.2 0.6 0.2 0.20.370.310.320.310.360.330.260.320.42已知初始分布:PT(0) (0.20.20.6),0.2(1)P⑵PP0.10.60.3 0.5 0.2 0.3 0.50.5 0.4 0.1 0.5 0.40.2 0.2 0.6 0.2 0.20.370.310.320.310.360.330.260.320.42已知初始分布:PT(0) (0.20.20.6),所以經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后的絕對分布為:0.37 0.31 0.32PT(2) PT(0)P⑵(0.20.20.6)0.310.360.330.260.32 0.42(0.2920.3260.382)5、(10分)假定在路口只有紅、綠燈(沒有黃燈)，開車時這個路口如果紅燈則下個路口仍紅燈的概率為0.1,而如果這個路口綠燈則下個路口仍綠燈的概率為 0.6,試求路口遇紅燈的極限概率，以及紅燈和綠燈狀態(tài)的平均返回時間。解：設(shè)紅燈為狀態(tài)1,綠燈為狀態(tài)2,可以求出其轉(zhuǎn)移概率矩陣為:0.10.9P0.40.6此馬爾科夫鏈為非周期、不可約、有限狀態(tài)，存在平穩(wěn)分布｛1,2｝滿足:1 0.1 1 0.42 0.9 1 0.6解得：1故平穩(wěn)分布4_ _9一, 2 —13 1349/不｝路口遇紅燈的極限概率為413紅燈和綠燈狀態(tài)的平均返回時間:6、6、(15分)設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I{1,2,3,4,5},轉(zhuǎn)移概率矩陣為:0.00.30.10.20.00.30.10.2P0.00.00.00.40.00.00.00.70.00.30.20.20.40.00.60.00.60.00.20.00.8(1)試對狀態(tài)進行分類，并說明各狀態(tài)的類型；(2)求各常返閉集的平穩(wěn)分布，及各狀態(tài)的平均返回時間。解:馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I{1,2,3,4,5}可以分解為C1{1,2,4}和C2{3,5}的并。其中Cl為非常返狀態(tài)；C2為不可約、非周期、正常返閉集，從而存在平穩(wěn)分布。對于C2{3,5}對于C2{3,5},轉(zhuǎn)移概率矩陣為:0.40.20.6,其平穩(wěn)分布滿足:0.80.40.20.60.80.40.20.60.8故C2故C2{3,5}的平穩(wěn)分布{0，0,—,0,}4 4各常返狀態(tài)的平均返回時間:7、(10分)一質(zhì)點在1,2,3點上作隨機游動。若在時刻t質(zhì)點位于這三個點之一，則在［t,th)內(nèi)，它都以概率5ho(h)分別轉(zhuǎn)移到其它兩點之一。試求質(zhì)點隨機游動的柯爾莫哥洛夫微分方程,轉(zhuǎn)移概率夫微分方程,轉(zhuǎn)移概率pij(t)及平穩(wěn)分布。解：質(zhì)點隨機游動解：質(zhì)點隨機游動t時刻的位置X(t)是一個馬爾科夫過程，其狀態(tài)空間： I{1,2,3},Q矩陣元素為:qij5ho(h)即:qii100h(qi,i1qi,i1Q矩陣元素為:qij5ho(h)即:qii100h(qi,i1qi,i1)h10,5,(ij)(其中約定狀態(tài)： 0=3,4=1)1010柯爾莫哥洛夫向前微分方程為：Pi,j⑴5(Pi,j1(t)pi「(t))10pi,j(t)由于：P由于：Pi,j1(t)Pi,j(t)pi,j1(t) 1得到：pi,j(t)5(1pi,j(t))10pi,j(t)15pi,j(t) 5解此一階線性微分方程得:Pi,j⑴解此一階線性微分方程得:Pi,j⑴15tC為待定常數(shù)。l 0,i又因：Pi,j(0) .1,i故轉(zhuǎn)移概率Pij(t)為:Pi,j⑴1-e32-e315t15t1平穩(wěn)分布為： jlimpij(t) ,(jjtj31,2,3)2一8、(10分)設(shè)隨機過程X(t)sin(t

上的均勻分布的隨機變量。試回答：

和相關(guān)函數(shù)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。),t，其中 是服從區(qū)間[0,]X(t)是否為(寬)平穩(wěn)過程？研究 X的均值函數(shù)解:EX(t)Esin2(t ) 1sin2(t )doEX(t)X(t-)Esin2(t )sin2(