2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題說明：1．評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，填空題只設(shè)7分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中至少4分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次．一、填空（共8小題，每小題7分，共56分）1．若函數(shù)且，則．2．已知直線中，和圓，點(diǎn)在直線上，，為圓上兩點(diǎn)，在，過圓心，則點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍為．3．在坐標(biāo)平面上有兩個(gè)區(qū)域和，為，是隨變化的區(qū)域，它由不等式所確定，的取值范圍是，則和的公共面積是函數(shù)．4．使不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立的最小正整數(shù)的值為．5．橢圓上任意兩點(diǎn)，，若，則乘積的最小值為．6．若方程僅有一個(gè)實(shí)根，那么的取值范圍是．7．一個(gè)由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個(gè)數(shù)之和，最后一行僅有一個(gè)數(shù)，第一行是前個(gè)正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是（可以用指數(shù)表示）8．某車站每天，都恰有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為到站時(shí)刻概率一旅客到車站，則它候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為（精確到分）．二、解答題1．（本小題滿分14分）設(shè)直線（其中，為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，，若存在，指出這樣與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，，問是否存在直線，使得向量的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（本小題15分）已知，是實(shí)數(shù)，方程有兩個(gè)實(shí)根，，數(shù)列滿足，，(Ⅰ)求數(shù)列(Ⅱ)若的通項(xiàng)公式（用，表示）；，，求的前項(xiàng)和．3．（本小題滿分15分）求函數(shù)2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（A卷）的最大和最小值．說明：1．評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，10分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次．一、填空（共4小題，每小題50分，共200分）9．如圖，，分別為銳角三角形（）的外接圓上弧并延長(zhǎng)交圓于．、的中點(diǎn)．過點(diǎn)作交圓于點(diǎn)，為的內(nèi)心，連接求證：在??；（不含點(diǎn)）上任取一點(diǎn)（，，），記，的內(nèi)心分別為，，求證：，，，四點(diǎn)共圓．10．求證不等式：，，2，…11．設(shè)，是給定的兩個(gè)正整數(shù)．證明：有無窮多個(gè)正整數(shù)，使得與互素．12．在非負(fù)數(shù)構(gòu)成的數(shù)表中每行的數(shù)互不相同，前6列中每列的三數(shù)之和為1，，，，，均大于．如果的前三列構(gòu)成的數(shù)表，，滿足下面的性質(zhì)：對(duì)于數(shù)表中的任意一列．（，2，…