量子力學與原子物理試題答案

量子力學與原子物理試題答案題號一題號一二三四五總分得分學院班級學號姓名可能會有用的公式：薛定諤方程：伽=訪§w洲（方2d2 f\\f\ /\一維定態(tài)薛定諤方程：一一-一+V（x）W（x）=即（工）［2mdx2 j動量算符：P史」idx高斯積分：'高斯積分：'e_Qx，2dx——8一。［30分］一維無限深方勢阱：質(zhì)量為m的粒子在一維無限深方勢阱中運動，勢阱可表示為:V（x）」0；xG（0,a）8；x<0,x>a1。 ［10分］求解能量本征值E和歸一化的本征函數(shù)W（x）；n n求t時刻該粒子2。 ［5分］若已知t—0時，該粒子狀態(tài)為：W（x,0）—土（W1（x）+*（x）），求t時刻該粒子的波函數(shù)；3。 ［5分］求t時刻測量到粒子的能量分別為E］和氣的幾率是多少？4。 ［10分］求t時刻粒子的平均能量E和平均位置x。解：1）［10分］2.—sina“方2n2兀2E— n2ma2

2)[5分]w(x,r)=vG)g-饋n nf時刻的波函數(shù)：wG/)=MV2‘、2)[5分]w(x,r)=vG)g-饋n nf時刻的波函數(shù)：wG/)=MV2‘、iEt iEtV(x)e~*+w(x)e~科1 2 /［5分”時刻測量到粒子的能量為七的幾率是：加 =；/時刻測量到粒子的能量為％的幾率是：|^2(x,0|vG,r))|2J 2 L［10分］0

平均能量：E=仲(x,01￡|VG,f))=〈W(x,f).力—W

6tMe+e 5力27i2=—= 2 4m。2平均位置:無=傾G,f)|功(W))=；_糙cos二。［30分］一維線性諧振子:質(zhì)量為初的粒子在一維線性諧振子勢：U(x)=竺尹中運動。按占有數(shù)表象，哈密頓可()寫為：丑=方八亳+＜。這里膈湮滅算符，矛是產(chǎn)生算符：已知一維線性諧振子基態(tài)波函數(shù)為：io［io分］利用產(chǎn)生算符性質(zhì)：woG)=vG),求線性諧振子第一激發(fā)態(tài)在坐標表象下的波函數(shù)：vG)；(V(x)=l -I4e~2h)1。)2。［10分］假設(shè)粒子處在基態(tài)w°G),突然改變一維線性諧振子的“振動頻率”為o'=2(d,粒子新的基態(tài)能是多少？新的基態(tài)波函數(shù)是什么？3o［10分］假設(shè)這時粒子波函數(shù)仍然保持不變(WG)=),3o［10分］假設(shè)這時粒子波函數(shù)仍然保持不變(WG)=),此時測量粒子能量,發(fā)現(xiàn)粒子能量取新的基態(tài)能的幾率是多少?解：1)[10分]*(x)=a叩0(x)=m32力i

x pm3m3丸力[ m*(x)=a叩0(x)=m32力i

x pm3m3丸力[ m3x24e-2方d

利用：x=x，p=———

idxW0(x)=^iexpW](x)=a叩:(x)噫1d、應Ia2x2—3 expa2dx7兀1/4ax<'a「a2x2=予 exp寸2兀1/4a3/2x兀1/412<2a3/2 xexpa2x2exprexp1d—exp

兀1/4^2adx+W。2x)expI-兀1/4=12axw(x)02)[10分]新基態(tài)能:E0=力3'專——二力32新基態(tài)波函數(shù):w：（x）=r罰m3'x22力2m3、，其中：a=3)[10分]測量粒子能量取新基態(tài)能的幾率：巧=2r測量粒子能量取新基態(tài)能的幾率：巧=2r21/4號=爵428三。［40分］兩電子波函數(shù)：考慮兩個電子組成的系統(tǒng)。它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間部分坐標時可以是對稱的或是反對稱的。由于電子是費米子，整體波函數(shù)在交換全部坐標變量（包括空間部分和自旋部分）時必須是反對稱的。1。［15分］假設(shè)空間部分波函數(shù)是反對稱的，求對應自旋部分波函數(shù)。總自旋算符定義為：S=?1+^2。求：S2和S的本征值;2。［15分］假設(shè)空間部分波函數(shù)是對稱的，求對應自旋部分波函數(shù)，S2和七的本征值;3。［10分］假設(shè)兩電子系統(tǒng)哈密頓量為：H=Js^?弓，分別針對（1）（2）兩種情形，求系統(tǒng)的能量。解：1）［15分］自旋三重態(tài)（spintriplet）空間部分波函數(shù)是反對稱的，自旋部分應對稱:對應總自旋平方$2本征值為：2方2對應總自旋第三分量Sz本征值分別為：力，九。2)[15分]自旋單態(tài)(spinsing)et空間部分波函數(shù)是對稱的，自旋部分應反對稱:對應總自旋平方$2本征值為：0對應總自旋第三分量S/本征值分別為：03)[10分]TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"哈密頓：HJSS，利用：ss&丫M1 2 1 2 22加23力2針對自旋三重態(tài)：s1s2 廠W—奪，