如何理解和把握高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

如何理解和把握高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)劉意竹一、從高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的模塊談起1.為什么要搞成模塊？搞模塊的考慮出自教育思想和教學(xué)理念的改革。時(shí)代性，不僅是指學(xué)習(xí)的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是當(dāng)今社會(huì)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展最必須的數(shù)學(xué)知識，也是指課程的教育理念應(yīng)當(dāng)是當(dāng)今最先進(jìn)的、最適合學(xué)生發(fā)展的，能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力的。（建設(shè)中國特色的社會(huì)主義強(qiáng)國，落后就要挨打，要有自己的獨(dú)立知識產(chǎn)權(quán)）基礎(chǔ)性包括兩個(gè)方面。第一，為學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代生活和未來發(fā)展提供更高水平的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，第二，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這些基礎(chǔ)不僅是在知識技能方面，也包括過程方法和情感、態(tài)度、價(jià)值觀。（學(xué)生應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)、探究、理解、掌握、運(yùn)用、創(chuàng)造，養(yǎng)成喜歡數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)、自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)的習(xí)慣和意識）選擇性當(dāng)然是指課程的設(shè)置，既要構(gòu)建所有學(xué)生未來發(fā)展的共同平臺(tái)，也要適應(yīng)不同學(xué)生的不同發(fā)展需要。特別是隨著我國教育事業(yè)的發(fā)展，高中逐漸普及，學(xué)生的發(fā)展更是千差萬別的，必須要有選擇性。過去能上高中的是少數(shù)學(xué)生，主要是繼續(xù)升學(xué)。今天要逐步普及高中階段教育（見“十七大”報(bào)告和政府工作報(bào)告），提高民族素質(zhì)，建設(shè)人力資源強(qiáng)國。培養(yǎng)人才的渠道和方式應(yīng)當(dāng)是多種多樣的。標(biāo)準(zhǔn)中提出課程設(shè)計(jì)的基本理念的有十條。前三條講的就是時(shí)代性、基礎(chǔ)性和選擇性。⑴構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺(tái)⑵提供多樣課程，適應(yīng)個(gè)性選擇⑶倡導(dǎo)積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式⑷注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力⑸發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識⑹與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識“雙基”⑺強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化⑻體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值⑼注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合⑩建立合理、科學(xué)的評價(jià)體系特別需要提出的是：提高思維能力不僅是邏輯思維，這次更強(qiáng)調(diào)感知、發(fā)現(xiàn)、歸納、類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思構(gòu)建等等各種思維的培養(yǎng)。發(fā)展應(yīng)用意識更加突出，不僅是學(xué)過知識的應(yīng)用，而且在學(xué)習(xí)過程中，在獲取知識時(shí)，就要了解知識發(fā)生發(fā)展的背景、來龍去脈，知道它們與實(shí)際的聯(lián)系和應(yīng)用。由此，突出所學(xué)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行適度的形式化，打好“雙基”。“雙基”是中國基礎(chǔ)教育的特色，給我們的中小學(xué)教學(xué)帶來了許多成果，有些對“雙基”不恰當(dāng)?shù)睦斫?，?huì)產(chǎn)生了很多負(fù)面影響。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，在高中課程中是第一次提到（安排了數(shù)學(xué)文化的要求，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)科學(xué)的認(rèn)識，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識）。關(guān)于與信息技術(shù)的整合，根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況來看，還屬于探索階段。評價(jià)是一個(gè)非常重要的課題。目前也在改革的探索，這里不討論這個(gè)問題。.模塊的安排是否合理？（必修與選修、選修系列的安排、學(xué)科邏輯順序）剛才講了新課程的理念，下面來看標(biāo)準(zhǔn)中的課程安排。必修課程與選修系列的安排首先，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把教學(xué)內(nèi)容分成了必修和選修兩大部分。必修課程是每一個(gè)進(jìn)入高中的學(xué)生必須要學(xué)習(xí)和掌握的。有5個(gè)模塊。學(xué)生在完成了這5個(gè)必修模塊的學(xué)習(xí)之后，再根究個(gè)人的興趣和志向決定繼續(xù)選修哪些內(nèi)容。標(biāo)準(zhǔn)中提供了4個(gè)選修系列，供學(xué)生選擇。選修系列選修系列必修模塊必修中的5個(gè)模塊所有學(xué)生都要學(xué)，選修1和選修2是文理分科必選。另外還要在選修3選修4里面任選一定數(shù)量的專題學(xué)習(xí)。具體怎么選，目前各地的要求也不一樣。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)頒布多年，老師們對每個(gè)模塊里是什么內(nèi)容已經(jīng)都知道了，這里就不一一念了。這里想談?wù)劗?dāng)初這樣安排的一些想法，以及從這兩年實(shí)驗(yàn)來看，這樣的安排是否合理，和究竟怎樣處理更好？（有人說這樣安排，知識的學(xué)科體系、邏輯順序不好，教學(xué)中不順手）.分科好還是綜合好？從歷史上來看，很長時(shí)間以來高中數(shù)學(xué)課程是分科安排的，只有從1997年制訂的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱才是綜合安排的數(shù)學(xué)內(nèi)容（這個(gè)大綱在2002年又修訂過一次）。年長一點(diǎn)的教師都知道，2000年以前的高中數(shù)學(xué)教材一共有四冊，代數(shù)兩冊，立體幾何一冊、平面解析幾何一冊。因?yàn)橐郧敖虒W(xué)大綱中就是這樣安排的，是依據(jù)數(shù)學(xué)的學(xué)科體系（分支）安排的。（再早些時(shí)候的高中數(shù)學(xué)分科更細(xì)，三角學(xué)還單獨(dú)安排，那時(shí)還沒有統(tǒng)計(jì)和概率）分科的安排有一定的好處，就是在教學(xué)中可以依照各個(gè)學(xué)科分支的發(fā)展順序教學(xué)，知識的前后銜接比較順利，但是也有一定的不足，就是照顧了學(xué)科的體系，使得學(xué)科之間的橫向聯(lián)系不夠。我們在解決現(xiàn)實(shí)的實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常是需要綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識。這就需要我們對數(shù)學(xué)知識有一個(gè)整體的把握，應(yīng)當(dāng)融會(huì)貫通地理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，并能夠綜合運(yùn)用。所以在九十年代制訂的教學(xué)大綱中就已經(jīng)改變了分科的做法，形成了數(shù)學(xué)知識綜合安排的教學(xué)大綱。我們這次課改之前使用的教材，就是依據(jù)九十年代制訂的這個(gè)教學(xué)大綱編寫的。我們這次制訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，從整體上來看是綜合安排的，不是分科安排的。這是繼承了九十年代大綱的改革思想。同時(shí)，為了解決選擇性的問題，又把確定下來的所有的內(nèi)容分割成了模塊。這次教材的編寫，就是完完全全地按照課程標(biāo)準(zhǔn)的安排編寫的，每一個(gè)模塊、每一個(gè)專題單獨(dú)編寫成冊。這樣的安排是否得當(dāng)，目前從實(shí)際情況來看，也是仁者見仁，智者見智。各家都有各家的高招。不過，這里我想說的是，內(nèi)容順序的調(diào)整是可以的，但是不能違背了這次課程標(biāo)準(zhǔn)所提倡的教育思想和教學(xué)理念的改革。課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的基本理念，除了上面談到的時(shí)代性、基礎(chǔ)性、選擇性以外，還要抓什么？.應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，抓數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的思想方法，抓知識的來龍去脈和相互聯(lián)系，抓學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)和理解，抓學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力的提高。例如，函數(shù)的教學(xué)，一開始主要是讓學(xué)生認(rèn)識和理解什么是函數(shù)，以幾種基本的初等函數(shù)為例，介紹函數(shù)的概念和性質(zhì)，而不是直奔解答有關(guān)函數(shù)的一些具體的技巧問題（理解定義域的概念，而不是處理求定義域的種種技巧問題）。又如，在必修課程中有關(guān)統(tǒng)計(jì)的教學(xué)，主要是介紹統(tǒng)計(jì)的思想和基本方法，而不是把重點(diǎn)放在解答統(tǒng)計(jì)問題的一些計(jì)算上。新課程的實(shí)施給教師提出了更高的要求。要使學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，教師就得需要對數(shù)學(xué)的本質(zhì)、來龍去脈更加熟悉，講課時(shí)也不能像以往那樣按照教科書照本宣科，而需要掌握較多的有關(guān)資料，更多地引導(dǎo)學(xué)生探索和思考。我們在教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)。我們知道，形式化是數(shù)學(xué)抽象、概括、精練、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐怀霰憩F(xiàn)。但是，我們在教學(xué)中不能從形式化到形式化，要注意通過數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的背景，向?qū)W生展示數(shù)學(xué)的來龍去脈。要講推理，更要講道理。在學(xué)生對于數(shù)學(xué)的本質(zhì)有了體會(huì)和理解的基礎(chǔ)上，適時(shí)地進(jìn)行適度的形式化。對于有些數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)過適度地自主探索，理解數(shù)學(xué)的概念、結(jié)論逐步形成的過程，將有助于學(xué)生真正地理解和運(yùn)用所學(xué)的知識，將有助于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考、發(fā)明創(chuàng)造。新課程倡導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。課程標(biāo)準(zhǔn)要求，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，不應(yīng)僅僅限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)提倡主動(dòng)探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流。這些不同的多種學(xué)習(xí)方式，應(yīng)當(dāng)貫徹于各個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)過程之中。另外，課程標(biāo)準(zhǔn)中還單獨(dú)對數(shù)學(xué)探究活動(dòng)提出了具體要求。注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。新的課程標(biāo)準(zhǔn)自始至終貫徹著對于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。思維能力不僅局限于邏輯推理能力，經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括的過程，進(jìn)行符號表示、數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算求解、演繹證明、反思建構(gòu)都是數(shù)學(xué)思維能力。注重聯(lián)系實(shí)際，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。為此課程標(biāo)準(zhǔn)中第一次對數(shù)學(xué)建模提出了具體要求。新課程還提出了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的要求，有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類社會(huì)發(fā)展之間的相互作用，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，開闊視野，激發(fā)原創(chuàng)的動(dòng)力，受到優(yōu)秀文化的熏陶，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)正確的情感態(tài)度價(jià)值觀。新課程還提出，要注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合。在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，針對適當(dāng)?shù)膬?nèi)容，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程有機(jī)的整合，將有助于學(xué)生把更多的精力集中在了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)的來龍去脈上，更加容易地處理計(jì)算復(fù)雜的問題。下面我們來看一看課程標(biāo)準(zhǔn)中必修課程和選修1、選修2系列的內(nèi)容和要求。二、關(guān)于5個(gè)必修模塊和選修1選修2系列.與2000年大綱相比增加的內(nèi)容（有的是以往高中數(shù)學(xué)沒有的）算法初步（必修3）（1）在新課程里引入算法內(nèi)容，是考慮到當(dāng)今社會(huì)中計(jì)算機(jī)科學(xué)的廣泛發(fā)展和應(yīng)用。現(xiàn)在我們的工作和生活中，幾乎沒有地方用不到計(jì)算機(jī)的。衣食住行，通訊（電視、電話、網(wǎng)絡(luò)）、交通（汽車、飛機(jī)）、生活（微波爐、電飯煲、洗衣機(jī)）、工作（數(shù)控機(jī)械，信息辦公系統(tǒng)），到處都在運(yùn)用著計(jì)算機(jī)技術(shù)?！八惴ㄊ怯?jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)”。作為一個(gè)現(xiàn)代人，我們應(yīng)當(dāng)了解計(jì)算機(jī)工作背后的一些簡單原理。而對這些簡單原理的了解，也會(huì)幫助我們更好地使用這些應(yīng)用了計(jì)算機(jī)技術(shù)的工具和設(shè)備。（2）同時(shí)，學(xué)習(xí)一些簡單的算法知識，也可以幫助我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決一些數(shù)學(xué)問題。首先，學(xué)習(xí)算法有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。算法一方面是具體化、程序化、機(jī)械化的，另一方面又具有抽象性、概括性和精確性。對于一個(gè)具體的算法來說，從算法的分析、設(shè)計(jì)，到算法語言的實(shí)現(xiàn)，任何一個(gè)細(xì)小的錯(cuò)誤或疏漏，都會(huì)造成整個(gè)算法的失敗。這和我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的要求是一致的。它將培養(yǎng)學(xué)生更加細(xì)致地、周密地考慮自己所面對的任何一個(gè)問題（無論是數(shù)學(xué)中的，還是生活中的），養(yǎng)成一種良好的思維習(xí)慣。所以也可以說，我們要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，不僅可以通過幾何論證、代數(shù)運(yùn)算，也可以通過算法的學(xué)習(xí)。另外，算法既重視“規(guī)則”，更重視“算理”。對于一個(gè)具體的算法語言來說，它有一步步的程序步驟，要遵照一定的語言規(guī)則來設(shè)計(jì)編排，同時(shí)又要使這些語言的編排具有算理的依據(jù)。這些依據(jù)則是數(shù)學(xué)的分析和判斷。比如說，我們教材里介紹條件語句時(shí)，有一個(gè)例題是編寫一個(gè)程序，排列任意給出的三個(gè)整數(shù)，就需要把先比較其中的兩個(gè)整數(shù)哪個(gè)大一些，然后“是”如何，“否”如何，這樣進(jìn)行下去。這樣“是”與“否”的判斷，以及怎樣比較的順序安排。就需要經(jīng)過數(shù)學(xué)的分析，也就是要遵循數(shù)學(xué)的“算理”。這樣的學(xué)習(xí)更帶有研究性，更有助于學(xué)生對知識的理解，以及探究精神的培養(yǎng)。當(dāng)然，如果學(xué)生能夠把學(xué)到的算法應(yīng)用到新學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容中去時(shí)，就更能幫助他們認(rèn)識所學(xué)的數(shù)學(xué)方法，并解決一點(diǎn)兒數(shù)學(xué)問題。比如說，在學(xué)習(xí)函數(shù)與方程的關(guān)系之后，運(yùn)用二分法解決求方程的根的問題。（3）必修課程中算法初步的內(nèi)容和要求。5這次安排算法初步的內(nèi)容，與信息技術(shù)課程中的要求不同。其重點(diǎn)在于對于算法思想的理解，而對于算法語言和編程的要求不宜很高，只是體會(huì)一下其思想，并做一些簡單的嘗試即可。它不同于信息技術(shù)課程中的算法語言教學(xué)。首先，應(yīng)當(dāng)使學(xué)生了解算法的含義，體會(huì)算法的思想，通過具體實(shí)例使學(xué)生理解算法。算法是可以指令計(jì)算機(jī)來完成的一套解決問題的程序步驟。這些步驟是明確、有效的，并且能在有限步之內(nèi)完成。然后，通過具體實(shí)例，說明在設(shè)計(jì)一個(gè)具體的算法時(shí)，可以使用程序框圖先把整個(gè)算法步驟的框架勾畫出來。這樣可以更直觀、更明確地確定整個(gè)算法的邏輯順序，為制訂具體的算法步驟細(xì)節(jié)打好基礎(chǔ)。課標(biāo)在這里的要求是“通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問題的過程”，“在具體問題的解決過程中，理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)”。至此，在了解算法的含義，體會(huì)算法思想方面，學(xué)習(xí)的任務(wù)基本上可以說是完成了。在研制課標(biāo)的時(shí)候也曾討論過，是否要講一點(diǎn)兒計(jì)算機(jī)語言。最后還是決定介紹一點(diǎn)兒語言。因?yàn)橹挥薪Y(jié)合語言進(jìn)一步再做一點(diǎn)兒真正的東西，解決一點(diǎn)兒簡單的問題，學(xué)生才能真正體會(huì)到算法的作用。接著，課標(biāo)要求在程序框圖的基礎(chǔ)上，介紹一些簡單的計(jì)算機(jī)能夠?qū)崿F(xiàn)的算法語言。那就是輸入、輸出語句，賦值語句，條件語句和循環(huán)語句，進(jìn)一步體會(huì)算法思想。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意，不要把算法初步的教學(xué)當(dāng)成計(jì)算機(jī)算法語言的教學(xué)，主要是通過一些實(shí)例，說明怎樣由數(shù)學(xué)問題的解答轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)算法，在這樣的過程中體會(huì)算法的思想，以及運(yùn)用算法指令計(jì)算機(jī)解決問題的過程。條件好的學(xué)校也可以指導(dǎo)學(xué)生真的編寫一些簡單的程序，解答一些簡單的問題。我個(gè)人認(rèn)為，考察學(xué)生對算法初步的理解和掌握，應(yīng)當(dāng)以學(xué)生能否把解決一些簡單問題的步驟翻譯成為算法的步驟，設(shè)計(jì)成合理的程序結(jié)構(gòu)為主，而不要涉及解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題?？驁D（選修1-2）在選修系列1-2中，還有一個(gè)教學(xué)內(nèi)容叫“框圖”。實(shí)際上，在必修課程中學(xué)過了算法中的程序框圖以后，學(xué)習(xí)選修中框圖的內(nèi)容就不難了。這部分內(nèi)容實(shí)際上是比算法的程序框圖更廣泛的一種邏輯關(guān)系表示法。除了可以表示數(shù)學(xué)中解決問題的步驟以外，還可以表示其他很多工作和研究對象的邏輯關(guān)系。課程標(biāo)準(zhǔn)中提到了兩種框圖，流程圖和結(jié)構(gòu)圖。其實(shí)兩者之間也沒有什么絕對的區(qū)別，大概是流程圖較多地涉及解決問題的前后步驟，而結(jié)構(gòu)圖較多地設(shè)計(jì)研究對象彼此之間的相互聯(lián)系吧。學(xué)習(xí)框圖這部分內(nèi)容，可以使學(xué)生學(xué)會(huì)用框圖的各種符號更好地表達(dá)各種關(guān)系，使學(xué)生的表達(dá)更清晰，更有條理，更容易讓他人理解?？驁D的教學(xué)可以使數(shù)學(xué)在更多的領(lǐng)域里發(fā)揮作用。框圖安排在選修1-2,說明志向于文科的學(xué)生也應(yīng)掌握這部分知識，選修系列2中沒有安排，也不是說就不重要，可以滲透在其他各種數(shù)學(xué)教學(xué)的過程之中。這部分內(nèi)容的分量不多，教學(xué)也比較容易。常用邏輯用語（選修1-1、選修2-1）常用邏輯用語在選修1和選修2系列中都有，要求也基本相同。相應(yīng)的內(nèi)容在以往的教學(xué)大綱是放在“集合與簡易邏輯”里面的，內(nèi)容范圍也稍微小一些。另外，在課程中有關(guān)內(nèi)容先講與后講，教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)也有所不同。在以往的大綱中講簡易邏輯，主要限于解決數(shù)學(xué)中的邏輯關(guān)系，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表達(dá)和交流做一點(diǎn)兒準(zhǔn)備。課程標(biāo)準(zhǔn)把邏輯用語的內(nèi)容放在選修系列開頭來講，可以結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容來展開，避免了一開始就抽象地講邏輯知識的枯燥性。同時(shí)，盡管在教材中所結(jié)合的例題和練習(xí)多是數(shù)學(xué)問題，在研制課標(biāo)時(shí)還設(shè)想，有時(shí)也可以把范圍放得更寬一些，使學(xué)生通過這樣的語言熏陶，在日常生活中也能經(jīng)常使用常用邏輯用語進(jìn)行表達(dá)和交流，使自己的語言表達(dá)更加準(zhǔn)確、清晰、簡潔，更加有根有據(jù)、有條理性和說服力。這些（說話的條理性和邏輯性）也反映著一個(gè)人的文化素養(yǎng)高低。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意，引導(dǎo)學(xué)生在針對具體問題的表達(dá)過程中，準(zhǔn)確地使用邏輯用語，糾正使用中的錯(cuò)誤，體會(huì)使用邏輯用語的優(yōu)越性（準(zhǔn)確、簡潔、明了）。不要抽象地解釋邏輯用語，也不要求記憶和使用真值表。對于命題和四種命題的關(guān)系，以及充要條件的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)注意結(jié)合具體實(shí)例（數(shù)學(xué)的、生活實(shí)際的）進(jìn)行解釋，不要抽象地進(jìn)行解釋和記憶定義，并在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常運(yùn)用，逐步加深理解（抽象地記憶若p則q，若q則p，若非p則非q等等，是搞不清楚，也記不住的）。我想這里要讓學(xué)生結(jié)合較多的實(shí)例多說多用，在說和用的過程中進(jìn)行具體的思考和判斷，檢查自己或他人的表達(dá)是否正確、清楚、簡潔。對于邏輯聯(lián)結(jié)詞（且A、或V、非1）全程量詞（對于任意W）和存在量詞（至少存在一個(gè)三）的教學(xué)，也要結(jié)合實(shí)例進(jìn)行，多說多用。另外，這里還要注意引導(dǎo)學(xué)生正確地使用有關(guān)符號，養(yǎng)成簡潔書寫表達(dá)的好習(xí)慣。例如，A、V、1、V、三、￡、門、口等。關(guān)于常用邏輯用語的教學(xué)和要求，在介紹教材時(shí)還要進(jìn)一步講，這里不多解釋了。7推理與證明（選修1-2、選修2-2）推理與證明在選修1和選修2系列中都有。除了選修2中多了數(shù)學(xué)歸納法之外，其他的內(nèi)容基本相同，只是在部分例題、習(xí)題和難度要求上略有區(qū)別。在選修系列單獨(dú)安排“推理與證明”，更加突出了推理與證明在數(shù)學(xué)中的重要性，加強(qiáng)學(xué)生對推理與證明的認(rèn)識，加強(qiáng)思維能力的培養(yǎng)，講證明的必要性，促進(jìn)學(xué)生平時(shí)在生活中自覺地進(jìn)行推理和證明，養(yǎng)成這樣有根有據(jù)地思考問題、分析問題的習(xí)慣。以往只在解答具體的問題中講怎樣證明，講各種不同的證明方法，很少對這些證明的思想和方法進(jìn)行概括總結(jié)。現(xiàn)在在高中數(shù)學(xué)課程中，把推理和證明集中起來，系統(tǒng)地分析這些推理和證明的思想和方法，以加深學(xué)生的認(rèn)識。在教學(xué)過程中也不是抽象地講，而是通過具體實(shí)例的推理證明，進(jìn)行總結(jié)和體會(huì)。過去多是講推理和證明的技巧方法，現(xiàn)在著重講為什么這樣的證明是必要的合理的。以往在數(shù)學(xué)課程里，我們講推理主要是講演繹推理。早些時(shí)候的教學(xué)大綱就是提“培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力”，最近這些年大綱中把“邏輯”兩個(gè)字掉了，提培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，就比原來寬泛一些。大概是受長期提培養(yǎng)邏輯思維能力的影響，實(shí)際教學(xué)中大家對邏輯思維能力關(guān)注得比較多，關(guān)注其他的思維能力比較少。這也和我們以往的數(shù)學(xué)教學(xué)方式有關(guān)，大多是從概念定義出發(fā)，進(jìn)行邏輯推理（即演繹推理），講形式化的數(shù)學(xué)比較多的緣故。再加上考試的影響，實(shí)際教學(xué)中關(guān)注各種證明的技巧較多，認(rèn)識推理證明的思想不夠。新的課程標(biāo)準(zhǔn)中講推理，不僅包括邏輯推理，還增加了合情推理的內(nèi)容。過去人們常常認(rèn)為演繹推理和邏輯證明才是數(shù)學(xué)的標(biāo)志性思維方式，是數(shù)學(xué)的特征，實(shí)際上數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和分析過程中也經(jīng)常用到合情推理，人們在日常生活和其他學(xué)科的學(xué)習(xí)研究中也經(jīng)常用到合情推理。合情推理往往是人們發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)規(guī)律，研究和發(fā)展各種科學(xué)常用的手段。合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)或正確的結(jié)論（包括以前的定義、公理、定理、性質(zhì)），或者是實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐活動(dòng)的結(jié)果，個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺感悟進(jìn)行的推測和推理。關(guān)于合情推理，波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》一書中寫到：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與其他的知識的創(chuàng)造一樣的，在證明一個(gè)定理之前，你先得猜測這個(gè)定理的內(nèi)容。在你完全作出詳細(xì)的證明之前，你得先猜測證明的思路。你要先把觀察到的結(jié)果加以綜合，然后加以類比，你得一次又一次地嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性成果是論證推理（演繹推理），即證明。但是這個(gè)證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍微反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜想、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩！辈ɡ麃嗊€說：“論證推理是可靠的、無疑的和終結(jié)的。合情推理是冒險(xiǎn)的、有爭議的和暫時(shí)的。它們相互之間并不矛盾，而是相互補(bǔ)充的?！庇纱丝梢钥闯龊锨橥评淼闹匾裕约八c演繹推理的不可或缺。特別應(yīng)當(dāng)指出的是，今天培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，對于培養(yǎng)國家急需的創(chuàng)新型建設(shè)人才，更加具有重大的現(xiàn)實(shí)意義。在課程標(biāo)準(zhǔn)和教材里面涉及的合情推理的方法主要有兩種，歸納和類比。歸納是由個(gè)別到一般（或由部分到整體）的猜測和推理，類比是由特殊到特殊的猜測和推理。在教學(xué)中一定要結(jié)合實(shí)例，說明推理的根據(jù)和步驟，說明它是一種可行的推證方法，同時(shí)也要說明它不一定是可靠的。都要舉實(shí)例來說明。演繹推理是大家都比較熟悉的，這里主要是給學(xué)生講清“三段論”的關(guān)系。最后讓學(xué)生回憶比較一下合情推理和演繹推理，并想一想為什么演繹推理的結(jié)果總是正確的。關(guān)于證明的內(nèi)容主要是對證明方法的整理，分析我們在證明一個(gè)問題時(shí)可以從什么角度入手，怎樣去想、去尋找解決問題的證明方法。這里講的證明只限于數(shù)學(xué)里的證明，也就是邏輯推理的證明，不是指一般的實(shí)驗(yàn)證明和實(shí)踐證明。有直接證明（綜合法、分析法）和間接證明（反證法）。大家對這些都很熟悉，這里就不多講了。最后，在選修系列2-2的推理與證明一章里，還教學(xué)了數(shù)學(xué)歸納法。它是一種特殊的證明方法，但是在數(shù)學(xué)中用處很多，應(yīng)用于與整數(shù)序列有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。講好數(shù)學(xué)歸納法，關(guān)鍵是使學(xué)生通過具體例子，弄清怎樣證明相鄰兩項(xiàng)的“銜接”問題。學(xué)生理解了為什么要證明這個(gè)“銜接”，也就學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)歸納法的思想方法。除此之外，學(xué)生可能做過多少證明，也不明白自己在干什么。統(tǒng)計(jì)案例（選修1-2、選修2-3）關(guān)于統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)，新課程把它分成兩部分來講。在必修課程中，統(tǒng)計(jì)的教學(xué)重點(diǎn)有變化，主要是突出統(tǒng)計(jì)思想。后面再具體講。除了必修課程中統(tǒng)計(jì)的教學(xué)思想有變化以外，在選修課程中還增加了統(tǒng)計(jì)案例內(nèi)容。通過不同的典型案例，介紹在統(tǒng)計(jì)工作中幾種常用的具體方法，以加深學(xué)生對統(tǒng)計(jì)思想（用統(tǒng)計(jì)的方法分析、解決實(shí)際問題）和方法的認(rèn)識，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用。注意，這里仍然是為了加深學(xué)生對統(tǒng)計(jì)思想和方法的體會(huì)和認(rèn)識，并不要求學(xué)生掌握各種具體的統(tǒng)計(jì)方法。主要是為了培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)據(jù)的直觀感覺，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)（統(tǒng)計(jì)工作實(shí)際上是通過已知的部分?jǐn)?shù)據(jù)對整體進(jìn)行估計(jì)，而這種估計(jì)的結(jié)果有隨機(jī)性，因此我們所做的統(tǒng)計(jì)推斷可能會(huì)犯錯(cuò)誤），同時(shí)統(tǒng)計(jì)方法又是一種很重要的分析和決策方法，有時(shí)我們不得不去使用它（比如氣象預(yù)報(bào)）。使學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)的意義，統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用的廣泛性，體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，不要錯(cuò)誤地認(rèn)為統(tǒng)計(jì)就是套用公式、機(jī)械地計(jì)算。統(tǒng)計(jì)案例的教學(xué)，主要是讓學(xué)生更多地見一見統(tǒng)計(jì)有哪些具體方法，加深對統(tǒng)計(jì)思想方法的認(rèn)識和理解。對所介紹的幾種常見的具體統(tǒng)計(jì)方法的要求都是“了解”，課標(biāo)中要求的“能初步應(yīng)用”（P47、P63）,從目的前教材實(shí)驗(yàn)來看，也就是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)中，模仿著教材中的案例試著做一做（不好納入考試）。課程標(biāo)準(zhǔn)介紹了四種常見的統(tǒng)計(jì)方法，獨(dú)立性檢驗(yàn)、假設(shè)檢驗(yàn)、聚類分析、回歸分析。后來在編寫和審查教材的過程中，有關(guān)專家感到其中有些典型案例，對于大眾來說并不是常見的，一般的高中學(xué)生接受起來可能會(huì)有困難，在多數(shù)學(xué)校里教學(xué)可能困難較大，建議適當(dāng)降低一些要求。所以，在人教版的選修1-2和選修2-3教材中，目前只保留了用回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)兩種基本思想，來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的典型案例。這些案例的教學(xué)方法和教學(xué)要求，在教材介紹中會(huì)具體講到，這里不多講了。2.與2000年大綱相比，教育思想和教學(xué)要求有變化的內(nèi)容集合（必修1）在必修1里，一開始就教學(xué)集合的知識，主要是為后面學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)說話方便，表達(dá)準(zhǔn)確、清晰、簡潔做準(zhǔn)備。這里的要求是作為語言來學(xué)習(xí)和使用，不涉及更深的集合理論知識。在這段學(xué)習(xí)中，課程標(biāo)準(zhǔn)的要求是，使學(xué)生能夠針對不同的情況，選擇不同的語言（自然語言、圖形語言、集合語言），對所研究的對象進(jìn)行描述、表達(dá)和交流。首先是了解集合的含義和表示（列舉法、描述法），知道集合與元素之間的關(guān)系（屬于），集合與集合之間的關(guān)系（包含、子集、全集、空集）理解集合的基本運(yùn)算（并集、交集、補(bǔ)集），并且會(huì)用文氏圖表示。符號化是數(shù)學(xué)的顯著特點(diǎn)，在教學(xué)集合語言時(shí)，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用符號表示的集合語言，并且能夠正確、恰當(dāng)?shù)厥褂?。這里主要是理解、會(huì)用即可，沒有必要講得太多，更多的練習(xí)和掌握主要還是在以后的學(xué)習(xí)中，要經(jīng)常使用集合的語言。10函數(shù)（必修1）函數(shù)和方程是初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重頭戲，是中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線。從必修課程中進(jìn)一步在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上研究函數(shù)，到函數(shù)與方程的關(guān)系，到數(shù)列和不等式的學(xué)習(xí)，再到后面選修系列中的微積分初步知識（導(dǎo)數(shù)），都與函數(shù)有關(guān)。為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)？一方面因?yàn)楹瘮?shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的有力工具，學(xué)習(xí)函數(shù)可以幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，這對學(xué)生的今后發(fā)展無疑是有意義的。另一方面，通過函數(shù)的學(xué)習(xí)加深學(xué)生對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，提高學(xué)生的理性思維水平，這比利用函數(shù)解決某一具體問題更加重要。在必修1中，首先要講好函數(shù)的概念，使學(xué)生真正理解函數(shù)的本質(zhì)。接著講基本初等函數(shù)I,以對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為例，介紹怎樣研究函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。這是最主要的內(nèi)容。然后再介紹一些函數(shù)與方程的關(guān)系，以及函數(shù)的一些簡單的應(yīng)用。課程標(biāo)準(zhǔn)在課程目標(biāo)的第一條就明確指出（P11）:“獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景和應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用。”因此，按照新課標(biāo)的要求，最好是讓學(xué)生通過豐富的實(shí)例，經(jīng)歷抽象概括函數(shù)模型的過程，來體會(huì)函數(shù)是應(yīng)變量隨著自變量的變化而變化的重要數(shù)學(xué)模型，要使學(xué)生體會(huì)到變化的過程和對應(yīng)關(guān)系。體會(huì)建立函數(shù)模型解決現(xiàn)實(shí)問題的思想和方法。怎樣加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的理解呢？函數(shù)的本質(zhì)是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，是數(shù)集到數(shù)集上的映射。但是對于高中學(xué)生來說，從具體數(shù)量關(guān)系的對應(yīng)講起，會(huì)比給出映射的概念，再用映射的概念去定義函數(shù)，要更加容易理解其本質(zhì)。從以往的函數(shù)教學(xué)看，一個(gè)現(xiàn)實(shí)的困難是初中和高中的銜接。經(jīng)驗(yàn)表明，不少學(xué)生是在高一學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中掉隊(duì)的。進(jìn)入集合與函數(shù)，數(shù)學(xué)的難度似乎一下子增加了。抽象的數(shù)學(xué)概念，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言，深刻的數(shù)學(xué)思想，靈活的數(shù)學(xué)方法，使得一些學(xué)生感到不適應(yīng)。符號的表達(dá)也是難點(diǎn)之一，從尸X到y(tǒng)=f（x），再到f（x）=x。于是高一第一學(xué)期，一些學(xué)生是在不知不覺、似懂非懂的狀態(tài)下被動(dòng)地走過來的。克服這些障礙，一直以來是高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的課題。因此，這次編寫的人教版教材，教學(xué)函數(shù)是先結(jié)合實(shí)例，介紹函數(shù)的概念，等學(xué)生對函數(shù)的意義比較了解以后，再推廣到一般的映射概念。這樣的安排，既可以減緩學(xué)生接受的難度，又有助于學(xué)生通過較多的實(shí)例，了解函數(shù)產(chǎn)生的背景，體會(huì)函數(shù)所蘊(yùn)涵的思想，理解函數(shù)的本質(zhì)。在引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型11時(shí)，要通過較多的不同實(shí)例，讓學(xué)生歸納、分析和體會(huì)，區(qū)別什么樣的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，什么樣的不是。這是函數(shù)教學(xué)中比較大的變化。在學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本概念和基本性質(zhì)之后，再介紹幾種常見的初等函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)。大家可能已經(jīng)注意到了，課程標(biāo)準(zhǔn)中把它們叫做“基本初等函數(shù)I”，后面還有“基本初等函數(shù)n"。之所以這樣稱呼，是為了使我們在教學(xué)中更加關(guān)注函數(shù)本質(zhì)的教學(xué)，是通過幾種具體的函數(shù)模型，繼續(xù)研究函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，以及不同的函數(shù)具有不同的性質(zhì)。由此一步一步地螺旋上升，加深對函數(shù)本質(zhì)的理解。另外，有關(guān)函數(shù)內(nèi)容教學(xué)比較大的另一個(gè)變化，是加強(qiáng)了與其他知識之間的聯(lián)系。這些聯(lián)系包括與方程、不等式和算法的聯(lián)系。比如，課程標(biāo)準(zhǔn)要求結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程的根的存在性，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系。又如，讓學(xué)生根據(jù)具體的函數(shù)圖象，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求相應(yīng)方程的近似解，與算法的學(xué)習(xí)相呼應(yīng)（或?yàn)樗惴ń虒W(xué)做準(zhǔn)備、或在講完算法之后試著編程來解答）。課程標(biāo)準(zhǔn)在函數(shù)的模型及其應(yīng)用方面，也比以往有較大的加強(qiáng)。除了與數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容相聯(lián)系，用來解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題之外，函數(shù)還是數(shù)學(xué)建摸的重要載體。課程標(biāo)準(zhǔn)中要求學(xué)生收集生活中普遍使用的函數(shù)模型實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用，有條件的話還可以做一些應(yīng)用函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建摸的活動(dòng)。與以往的大綱相比，在函數(shù)教學(xué)中還在以下幾個(gè)方面的要求有所減弱。一個(gè)是減少了對定義域和值域的繁難計(jì)算（以往為應(yīng)付高考這里增加了很多人為繁難技巧的計(jì)算，沖淡了對函數(shù)本質(zhì)理解的教學(xué)），一個(gè)是減弱了反函數(shù)的教學(xué)，只要求知道指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，不要求形式化地討論一般的反函數(shù)定義，也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)。還有一個(gè)是將復(fù)合函數(shù)的內(nèi)容放到選修系列的“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”中再教學(xué)。三角函數(shù)（必修4、必修5）這里一個(gè)是講三角函數(shù)概念和性質(zhì)，作為基本初等函數(shù)教學(xué)的繼續(xù)（基本初等函數(shù)n）,另一個(gè)是講三角函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)上的應(yīng)用（三角恒等變換）和實(shí)際應(yīng)用（解三角形）。這里講三角函數(shù)，首先應(yīng)突出它是函數(shù)，突出它的函數(shù)思想。三角函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界中具有周期性變化的數(shù)學(xué)模型。（以往教學(xué)進(jìn)入形式化很快，然后完全陷入推導(dǎo)證明中）在必修4里第一段三角函數(shù)的教學(xué)（課標(biāo)里叫做“基本初等函數(shù)n"），是繼必修1之后再次研究函數(shù)，而且這種函數(shù)除了單調(diào)性、最大（最?。┲岛推媾夹?2之外，還有一個(gè)獨(dú)特的和非常有用的特性（周期性）。與以往不同的是，教學(xué)的重點(diǎn)除了定義任意角的三角函數(shù)、同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式之外，還應(yīng)放在突出函數(shù)模型的認(rèn)識上來。特別是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象，以及函數(shù)尸Asin（3x+中）的圖象特點(diǎn)以后，應(yīng)當(dāng)密切聯(lián)系實(shí)際，認(rèn)識三角函數(shù)的周期性是現(xiàn)實(shí)世界中很多周期變化事物的數(shù)學(xué)模型（教材中與章前引入的導(dǎo)言相呼應(yīng)）。從課程標(biāo)準(zhǔn)的要求也可以看出教學(xué)重點(diǎn)的變化。只講正弦、余弦和正切，沒有余切、正割和余割。同角關(guān)系式只講了兩個(gè)。誘導(dǎo)公式也只講最基本的。還有，把三角恒等變形和解三角形另外安排，反三角函數(shù)也沒有出現(xiàn)（以前解三角形還要求用反三角函數(shù)表示角）。為的就是在這一段（基本初等函數(shù)H）的教學(xué)里，突出對三角函數(shù)是描述周期變化的數(shù)學(xué)模型和具有廣泛應(yīng)用的認(rèn)識。在必修4的最后一段，有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容是三角恒等變換。這里安排的三角恒等變換，是為了給學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，要求不是很高。課程標(biāo)準(zhǔn)中寫了三條"32）。（1）經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用。（2）能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。（3）能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。從上述課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，可以很清楚地看出這段教學(xué)內(nèi)容的教育價(jià)值和教學(xué)要求。一個(gè)是向量的應(yīng)用，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識的綜合理解和應(yīng)用。一個(gè)是減少了教學(xué)內(nèi)容，積化和差、和差化積，還有半角公式都沒有作為教學(xué)內(nèi)容提出。還有一個(gè)是最重要的，那就是突出了對學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究、思維能力的培養(yǎng)。有人說，有些內(nèi)容說不要求，實(shí)際都要求了。這要看我們是怎么要求的，要求的側(cè)重點(diǎn)是什么。在教學(xué)完兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之后，二倍角的正弦、余弦、正切公式是引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)的。接著，課標(biāo)和教材又安排了運(yùn)用這些公式進(jìn)行一些簡單的三角恒等變換。這里的恒等變換要求比以往的教材要求有所降低，不要求很繁雜的恒等證明，積化和差、和差化積的推導(dǎo)證明是包括其中的（不要求記憶，也就是不要求用這些公式去做更深層次的恒等證明）。13還有一部分有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容是解三角形。它是三角函數(shù)的應(yīng)用，安排在必修5的一開始，緊接在必修4有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容之后。如果說在必修4中講三角函數(shù)是以它的周期性變化的數(shù)學(xué)模型為主，解三角形的內(nèi)容就是三角函數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)用三角函數(shù)解決幾何中的一些計(jì)算問題，運(yùn)用三角函數(shù)探索、解決三角形的邊角關(guān)系問題。這是三角函數(shù)與其他學(xué)科很好的聯(lián)系和結(jié)合，解決的既有數(shù)學(xué)問題，也有現(xiàn)實(shí)世界中的測量、定位問題。我們要關(guān)注到這些，而不要陷入到繁雜的計(jì)算里面去。這部分內(nèi)容包括正弦定理、余弦定理，還有運(yùn)用這些定理解決一些與幾何計(jì)算和實(shí)際測量有關(guān)的計(jì)算問題。我們知道，根據(jù)勾股定理，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可以解決直角三角形的計(jì)算問題。但是現(xiàn)實(shí)的問題當(dāng)中很多不是直角三角形，如何解決這些三角形中的計(jì)算問題。這就引出了對任意三角形邊角關(guān)系的探索。關(guān)于正弦定理，我們的探索是把任意三角形劃分成直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出來的三角形邊角關(guān)系，正弦定理a/SinA二b/SinB=c/SinC。對于余弦定理，可以從已知三角形的兩邊及其夾角的情況，考慮運(yùn)用求平面向量的差的方法，引入余弦定理的推導(dǎo)。(這在以往的教材中就有，現(xiàn)在又得到加強(qiáng))由c=a-b,得|c|2=c?c=(a-b),(a-b)=a,a+b?b+2a?b=a2+b2+2abCosC即c2=a2+b2+2abCosC這樣就加強(qiáng)了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系和應(yīng)用。提高學(xué)生綜合理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。在正弦定理和余弦定理推導(dǎo)之后，課程安排了解三角形的一些實(shí)際應(yīng)用的例子，主要是解決一些實(shí)際測量問題。這些問題也可以讓學(xué)生模仿著自己做一做，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。平面向量及其應(yīng)用(必修4)在必修4中還有一個(gè)平面向量的內(nèi)容。我們知道，速度、力、位移等很多實(shí)際生活中的物理量都是向量，在數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)向量可以幫助我們更好更方便地研究這些物理量。它的實(shí)際應(yīng)用非常廣泛。我們有必要學(xué)習(xí)和學(xué)好向量的知識。另外從數(shù)學(xué)的角度來說，向量是代數(shù)研究的對象，也是幾何研究的對象，它是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。這次課程標(biāo)準(zhǔn)把平面向量安排在三角函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容中間，就是出此考慮。剛才我們已經(jīng)講了怎樣在推導(dǎo)兩角差的余弦公式和推導(dǎo)余14弦定理中應(yīng)用平面向量。在教學(xué)平面向量時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意多聯(lián)系實(shí)例，說明向量是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中既具有方向又具有大小的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生從中感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，養(yǎng)成自覺運(yùn)用這樣的數(shù)學(xué)模型去研究有關(guān)問題的意識。這里關(guān)于平面向量的知識，與以前的大綱相比沒有什么變化（向量的基本概念、向量的相等與向量共線、向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算、向量基本定理和向量的坐標(biāo)表示、向量的數(shù)量積）。只是把以前大綱要求的兩點(diǎn)間距離公式刪去（新課程中移到“直線與方程”的內(nèi)容里1線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)公式刪去了、（平面坐標(biāo)系中的）平移公式刪去了。立體幾何（必修2、選修2-1）在高中新課程中，立體幾何內(nèi)容分成兩個(gè)層次教學(xué)。第一個(gè)層次在必修2中，叫做“立體幾何初步”，主要是使學(xué)生通過直觀感知、操作確認(rèn)，獲得對立體幾何圖形的認(rèn)識，并通過簡單的推理、論證，認(rèn)識基本的空間圖形之間的相互位置關(guān)系和有關(guān)性質(zhì)。更深一些層次的論證和度量，則放在選修2-1中用空間向量的知識來處理。（1）立體幾何初步（必修2）必修2中的立體幾何初步又分成了兩個(gè)部分。第一部分是空間幾何體，第二部分是空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。內(nèi)容的安排遵循了從整體到局部、從具體到抽象的原則。在第一部分，空間幾何體的展開，是先讓學(xué)生觀察現(xiàn)實(shí)生活中的一些簡單物體的形狀，在觀察中發(fā)現(xiàn)并且認(rèn)識它們形狀的結(jié)構(gòu)特征，抽象出各種空間幾何體（柱、錐、臺(tái)、球），并認(rèn)識每一種幾何體中各部分的特征和相互關(guān)系（平面、曲面、頂點(diǎn)、棱、三角形、多邊形、平行、垂直等等）。這里的認(rèn)識還只是處于直觀感知，描述的語言也是義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的知識和生活中的自然語言。因?yàn)檫@時(shí)還沒有給出空間中線、面的定義和相互關(guān)系確切的表述。這樣做的目的是使學(xué)生從身邊熟悉的物體開始，認(rèn)識空間圖形，把抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容和具體的實(shí)物聯(lián)系起來，有助于后面抽象地研究和討論數(shù)學(xué)中形式化了的空間幾何知識。接著介紹平行投影和中心投影，使學(xué)生了解空間圖形在平面上的畫法，學(xué)會(huì)畫出簡單的立體圖形。這里還要求學(xué)生能夠認(rèn)識簡單的空間幾何體的三視圖，能與相應(yīng)的實(shí)際物體或直觀圖相互轉(zhuǎn)換辨認(rèn)。上面所說的通過觀察實(shí)物直觀感知，以及畫出與識別立體圖形，這兩項(xiàng)教學(xué)非常重要。它們是后面研究抽象的立體幾何知識的基礎(chǔ)。這次課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，把這兩項(xiàng)放在立體幾何學(xué)習(xí)的最前面，反映了一種改革的理念。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)盡15可能地從數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的實(shí)際背景出發(fā)，使學(xué)生的認(rèn)識建立在豐富的具體形象的實(shí)例基礎(chǔ)上，而不是建立在一個(gè)個(gè)抽象定義的基礎(chǔ)上。幾何學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)然就更應(yīng)該如此。為什么說畫圖也很重要？它的作用不在于畫圖本身，不是要求學(xué)習(xí)制圖，不是說要畫的如何漂亮，而是通過畫圖和識別，為后面學(xué)習(xí)時(shí)的看懂圖形、進(jìn)行分析討論和證明打下良好的基礎(chǔ)。（很多學(xué)生立體幾何不好就是因?yàn)榭床欢畧D）空間幾何體這一部分還有一個(gè)內(nèi)容，學(xué)習(xí)柱、錐、臺(tái)、球的體積和表面積的計(jì)算公式和簡單應(yīng)用。這大概就是為了在認(rèn)識了空間幾何體之后，聯(lián)系實(shí)際，進(jìn)行一些簡單應(yīng)用，體驗(yàn)學(xué)習(xí)立體幾何的價(jià)值的一部分吧。在以上基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)立體幾何初步的第二部分，空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。關(guān)于空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，課程標(biāo)準(zhǔn)提出的要求有三條。第一條，“借助長方體模型，在直觀認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理?！币还灿兴臈l公理和一個(gè)定理（見課標(biāo)P20）第二條，”以上述定義、公理、定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定?！彼膫€(gè)判定定理（見課標(biāo)P20-21）“通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納以下性質(zhì)定理，并加以證明?！彼膫€(gè)性質(zhì)定理（見課標(biāo)P21）第三條，“能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。”這里內(nèi)容比以往大綱里要求的內(nèi)容少了很多，要求的層次很明確（公理是感知和了解，性質(zhì)定理要求邏輯論證，判定定理只要求直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證，嚴(yán)格的證明放在選修2-1用向量處理）。這些后面介紹教材時(shí)還要詳細(xì)講，不多說了。需要特別指出的是，立體幾何的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力，要達(dá)到這個(gè)目的，就必須讓學(xué)生參與這些知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過程。以往的教學(xué)注重形式化較多，現(xiàn)在的理念就是要接頭續(xù)尾，注重過程。因此，新的課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)立體幾何的定義、公理和定理時(shí)，一定要借助實(shí)物或者模型，比如一個(gè)長方體的框架，來幫助學(xué)生理解所學(xué)的內(nèi)容。要真正地理解，防止空對空地講解和背誦這些結(jié)論。要使學(xué)生在學(xué)過這些內(nèi)容之后，能夠聯(lián)系實(shí)際，對照圖形進(jìn)行說理，能夠準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表述幾何對象的位置關(guān)系，并能夠?qū)σ恍┖唵蔚目臻g圖形問題進(jìn)行推理論證。（把合情推理和演繹推理結(jié)合起來）在必修2里有關(guān)立體幾何的證明都是基本的和簡單的，重點(diǎn)是讓學(xué)生理解和掌握幾種簡單空間幾何體的特征，以及空間中直線和平面一些基本的位置關(guān)系，16對證明的要求不高，內(nèi)容也少了很多（比如沒有三垂線定理）。（2）空間向量與立體幾何（選修2-1）選修2-1里空間向量與立體幾何這部分內(nèi)容，主要是以講空間向量為主，然后應(yīng)用空間向量證明一些立體幾何問題。向量的教育價(jià)值前面已經(jīng)講過，空間向量的重要性也是如此。鑒于用綜合法證明立體幾何中的問題歷來是個(gè)難點(diǎn)，這里用空間向量證明是新的嘗試（在2002年大綱里就曾經(jīng)嘗試過，現(xiàn)在作為選修中的正式要求）。在已經(jīng)學(xué)習(xí)過的平面向量的基礎(chǔ)上，教學(xué)空間向量并沒有什么困難。其內(nèi)容包括：空間向量的基本概念、空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算、空間向量的相等與向量共線、空間向量基本定理和坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積。只不過是從二維的向量變成了三維的向量，只要在平面向量的基礎(chǔ)上推廣即可。最后，應(yīng)用向量方法證明或計(jì)算立體幾何的一些問題，算是向量的實(shí)際應(yīng)用。當(dāng)然，用向量證明立體幾何問題的深度，也不應(yīng)當(dāng)是無底洞。因?yàn)橛孟蛄糠椒ㄗC明或計(jì)算幾何問題時(shí)，還有一道難關(guān)，就是要適當(dāng)?shù)亟⒆鴺?biāo)系，并且把具體的線段（量）轉(zhuǎn)化為向量。所以，涉及的問題不能過于繁難，練習(xí)的數(shù)量也不要太多。還是以讓學(xué)生體會(huì)向量的作用，了解運(yùn)用向量解決問題的思想，以及向量與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系為主。具體的要求在教材介紹中還會(huì)詳細(xì)講到。平面解析幾何（必修2、選修1-1、選修2-1）（1）平面解析幾何初步平面解析幾何在新的課程里也是分成兩個(gè)層次教學(xué)。第一個(gè)層次在必修2中，課程標(biāo)準(zhǔn)里叫做“平面解析幾何初步”。第二個(gè)層次在選修1-1和選修2-1里面分別處理。在必修2中，又分成兩大塊，直線與方程，圓與方程。按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，“在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。"（見標(biāo)準(zhǔn)P22）解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，它溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。按照課標(biāo)的要求，這段學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷將幾何問題代數(shù)化、處理代數(shù)問題、分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義、解決幾何問題等幾個(gè)過程。無論是討論直線與方程，還是討論圓與方程，都要抓住幾何圖形代數(shù)化以后的幾何要素（用代數(shù)語言描述的幾何要素）。在直線與方程里，需要抓住的幾何要素就是直線的傾斜角，翻譯成代數(shù)語言就是直線的斜率。借助直觀的幾何圖形（讓學(xué)生觀察圖形，直角坐標(biāo)系中的直線），我們知道兩點(diǎn)確定一條直線，也就確定了它的傾斜角。根據(jù)這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以17求出這條直線的斜率。抓住了直線的斜率，就可以通過斜率描述一條直線的傾斜度（傾斜角），討論兩條直線的平行、相交和垂直等位置關(guān)系。有了直線的斜率（在幾何中就是直線的傾斜角，或是說直線的方向），再加上一個(gè)條件（直線上的一個(gè)點(diǎn)，或是知道兩個(gè)點(diǎn)），就可以確定這條直線。教學(xué)直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式時(shí)，應(yīng)當(dāng)結(jié)合坐標(biāo)系上的圖形，使學(xué)生理解用代數(shù)方法描述幾何問題時(shí)的轉(zhuǎn)換過程。這就體現(xiàn)了課標(biāo)所要求的理念，“體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想”。從直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式方程，到直線的一般式方程，實(shí)際上就是代數(shù)中的等式變形，經(jīng)過變形整理得出，直線方程實(shí)際就是一個(gè)二元一次方程A+By+C=0。如果對方程A+By+C=0再做一些探究，何時(shí)它表示與X軸平行（重合），與Y軸平行（重合），就可以使學(xué)生反復(fù)地理解和體會(huì)幾何圖形與代數(shù)方程之間的關(guān)系。這就叫做加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。不要離開圖形僅限于講解代數(shù)式子和方程的推導(dǎo)，或大量地去做由已知條件求方程的練習(xí)。關(guān)注過程的重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)放在圖形和方程的關(guān)系上。在直線與方程的最后，有“用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)”和“探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離”的內(nèi)容和要求。目的是進(jìn)一步反復(fù)地加深學(xué)生對幾何圖形與代數(shù)方程之間關(guān)系的理解（點(diǎn)與坐標(biāo)、直線與方程的對應(yīng)關(guān)系），練習(xí)運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，即把握平面解析幾何的實(shí)質(zhì)。另一方面，學(xué)習(xí)兩點(diǎn)間的距離公式，也為后面建立圓的方程做了準(zhǔn)備。在圓與方程里也是同樣，需要抓住的幾何要素是圓心和半徑，翻譯成代數(shù)語言就是圓心的坐標(biāo)和圓周的點(diǎn)到圓心的距離長度。教學(xué)時(shí)也要注意讓學(xué)生觀察圖形、回想幾何中關(guān)于圓的定義，借助直觀引導(dǎo)學(xué)生探索，由兩點(diǎn)間的距離公式，很容易建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。接著，在圓與方程這一部分里，討論了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓與圓的位置關(guān)系。目的依然是加深學(xué)生對解析幾何數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的理解，應(yīng)當(dāng)使學(xué)生明確直線方程與圓的方程聯(lián)立的方程組，討論二次方程有沒有解，有幾個(gè)解，就是在討論直線和圓有沒有交點(diǎn)，有幾個(gè)交點(diǎn)，由此得出直線與圓的位置關(guān)系。圓與圓的位置關(guān)系也是如此。最后，課標(biāo)在這一部分里還要求“能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題”。這是新課程理念”發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”的體現(xiàn)。講應(yīng)用，可以使學(xué)生體會(huì)運(yùn)用解析幾何方法解答問題的優(yōu)越性，還可以做一些本段教學(xué)的小結(jié)，用解析幾何解決問題的“三步曲”。18在必修2學(xué)習(xí)平面解析幾何初步的最后，還有一個(gè)小小的尾巴（空間直角坐標(biāo)系）。這樣的安排大概是考慮到，在學(xué)完平面解析幾何以后，可使所有的學(xué)生都了解對于空間圖形、立體幾何的問題，也可以建立坐標(biāo)系用代數(shù)或向量的方法解決。（因?yàn)檫x擇學(xué)習(xí)選修系列1的學(xué)生，后面沒有機(jī)會(huì)學(xué)習(xí)空間向量和立體幾何，而建立這樣的思想對誰都很重要）學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系也要注意引導(dǎo)學(xué)生把圖形和對應(yīng)的代數(shù)表示聯(lián)系起來?？梢杂瞄L方體框架來幫助學(xué)生理解空間直角坐標(biāo)系，探索空間中兩點(diǎn)間的距離公式。（2）圓錐曲線與方程“圓錐曲線與方程”是選修1-1和選修2-1中的內(nèi)容，是必修教材中解析幾何的延續(xù)。在必修2中我們研究了直線和圓的方程，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究圓錐曲線與方程。對于這段內(nèi)容，選修1-1和選修2-1的處理基本相同，只有細(xì)微的區(qū)別。圓錐曲線是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，教材通過章前圖介紹了圓錐曲線可以由平面截圓錐得到，還講到它的廣泛應(yīng)用，可以說“天上地下，圓錐曲線無處不在。因此，無論從數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究，還是從日常生活和實(shí)踐應(yīng)用來看，學(xué)習(xí)這部分知識都是非常重要的?！皥A錐曲線與方程”這部分內(nèi)容研究的對象是圓錐曲線，其中圓錐曲線的幾何性質(zhì)可以從動(dòng)手實(shí)驗(yàn)和直觀的觀察得到，而進(jìn)一步深入的定量研究就要依靠對曲線與方程之間對應(yīng)關(guān)系來了解，通過對方程的分析研究，獲得對圓錐曲線的幾何性質(zhì)的認(rèn)識。因此，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，就不只是為獲得對圓錐曲線性質(zhì)的了解，而是要進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。歷史上，正是這一重要的數(shù)學(xué)思想推動(dòng)了數(shù)學(xué)跨越式的革命。在解析幾何誕生后不久，微積分便產(chǎn)生了，這在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程中具有里程碑的價(jià)值。所以我們說，學(xué)生在數(shù)學(xué)上的進(jìn)步，本質(zhì)上不單靠數(shù)學(xué)知識的積累，而是他們在數(shù)學(xué)思想與方法上的提升。以往教學(xué)與此相關(guān)的內(nèi)容，往往是給學(xué)生留下干巴巴的圓錐曲線的定義、它們的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾條性質(zhì)，幾種常見的題型（如直線與圓錐曲線的關(guān)系，弦長問題，有關(guān)的軌跡問題，極（最）值以及定值問題的討論，含參數(shù)方程的討論等等）。而許多學(xué)生比較厭煩的是繁雜的計(jì)算。在這里問題的來龍去脈被淹沒了，數(shù)學(xué)思想被沖淡了。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要使學(xué)生“了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用”，“經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓（雙曲線、拋物線）模型的過程，掌握（或了解）它們的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握19（或知道）它們的有關(guān)性質(zhì)”。（見標(biāo)準(zhǔn)P41和P53）按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，這段內(nèi)容的教學(xué)也應(yīng)盡可能地體現(xiàn)知識的發(fā)生發(fā)展過程，了解圓錐曲線產(chǎn)生的背景和應(yīng)用，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，突出數(shù)學(xué)模型的建立，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。要用生動(dòng)活潑的情境展開教學(xué)，并給學(xué)生留有更多的思考空間。課標(biāo)中還介紹了一個(gè)在圓錐中用兩個(gè)球夾一個(gè)公切面的方法構(gòu)造橢圓的例子。但是，從實(shí)際教學(xué)方便實(shí)施的角度來看，如果從行星運(yùn)行的軌道，或者橢圓的性質(zhì)在光學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用來引入，就需要準(zhǔn)備很多相關(guān)的知識，比較麻煩。還是通過幾何模型演示和動(dòng)手畫圖操作的方式展開教學(xué)比較好做。這樣也并不違背讓學(xué)生直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證的理念。所以，在這部分內(nèi)容展開之前，可以用平面切割圓錐模型讓學(xué)生觀察，得出橢圓可以從平面切割圓錐來得出的經(jīng)驗(yàn)。還有雙曲線、拋物線也可以用平面切割圓錐來得出。使學(xué)生獲得它們?yōu)槭裁炊紩?huì)被稱為圓錐曲線的經(jīng)驗(yàn)和初步感受。然后，還是用橢圓（雙曲線、拋物線）上的點(diǎn)具有的特征來畫出圖形。再根據(jù)勾畫這個(gè)圖形時(shí)所要求的條件，抽象出橢圓（雙曲線、拋物線）的定義。在以往教學(xué)中老師們創(chuàng)造過很多畫圖的工具和方法，這些方法是寶貴的，仍然還可以用。學(xué)生經(jīng)歷這樣的操作過程是必須的。這就是通過數(shù)學(xué)活動(dòng)增加的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。在畫出橢圓圖形，并抽象出橢圓定義的基礎(chǔ)上，根據(jù)定義引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。然后一步步地研究橢圓的性質(zhì)。在研究橢圓的性質(zhì)時(shí)還要注意聯(lián)系實(shí)際，加深學(xué)生對橢圓與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系的認(rèn)識，提高學(xué)生的應(yīng)用意識。善于發(fā)現(xiàn)問題、尋找規(guī)律、運(yùn)用數(shù)學(xué)、解決問題。雙曲線和拋物線的教學(xué)，也要這樣讓學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)畫圖、抽象、推導(dǎo)、研究、應(yīng)用的過程，使學(xué)生通過親身經(jīng)歷，體會(huì)圖形和方程的關(guān)系，體會(huì)數(shù)形的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想。選修2-1的“圓錐曲線與方程”的內(nèi)容，比選修1-1多一些，還有“用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實(shí)際問題”，和“曲線與方程”兩個(gè)內(nèi)容。解決“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”，實(shí)際與解決“直線與圓的位置關(guān)系”一樣，目的是為了進(jìn)一步加深學(xué)生用坐標(biāo)法（即代數(shù)方法）解決幾何問題的能力，前面已經(jīng)講過了。最后的“曲線與方程”實(shí)際是把學(xué)過的圓錐曲線的內(nèi)容推廣到一般的曲線，使學(xué)生知道通過平面上的坐標(biāo)系，可以用坐標(biāo)法把曲線和方程聯(lián)系起來，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。由此進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，就可以解決幾何中的問題，或者代數(shù)中的問題。進(jìn)一步強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合20的思想。不等式（必修5、選修4-5）不等式的內(nèi)容安排在必修5中。這部分內(nèi)容在分量增減和教學(xué)思想上都有較大變化。首先來看內(nèi)容，一共有四項(xiàng)：不等關(guān)系、一元二次不等式、二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃、基本不等式。刪去了絕對值不等式、分式不等式，以及不等式的證明等內(nèi)容。在教學(xué)思想上，首先是強(qiáng)調(diào)要“通過具體情境，感受現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景。"（見標(biāo)準(zhǔn)P36）這是以往教學(xué)所沒有的。以往高中數(shù)學(xué)講不等式，主要是形式化的理論定義、推導(dǎo)和證明、解不等式的計(jì)算。這次講不等式，首先是明確它是描述現(xiàn)實(shí)世界不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，就像認(rèn)識和體會(huì)函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界事物變化的數(shù)學(xué)模型一樣。其次，把不等式與函數(shù)、方程的聯(lián)系起來，并通過函數(shù)的圖象（或曲線的圖形）與方程的解（或解集）聯(lián)系起來，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合，綜合理解和運(yùn)用所學(xué)的各種知識。比如，在講一元二次不等式時(shí)，就通過觀察分析二次函數(shù)的圖象，得出一元二次不等式的解集。并且緊密聯(lián)系實(shí)際，通過解一元二次不等式，解決現(xiàn)實(shí)世界中的取值范圍問題。就像運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題一樣。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值：從現(xiàn)實(shí)中抽象出數(shù)學(xué)模型，解答數(shù)學(xué)問題，回答現(xiàn)實(shí)問題。再有，通過解二元一次不等式組，解決一些簡單的線性規(guī)劃問題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)線性規(guī)劃的優(yōu)化思想。線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其問題本身以及解決問題的方法，促進(jìn)了許多數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，蘊(yùn)涵的優(yōu)化思想是數(shù)學(xué)中的基本思想方法。這次課程標(biāo)準(zhǔn)把簡單的二元線性規(guī)劃問題列入不等式的教學(xué)中很有必要，一是顯示了數(shù)學(xué)的強(qiáng)大魅力，二是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的豐富多彩、應(yīng)用廣泛。這種教育價(jià)值可以通過讓學(xué)生體會(huì)豐富的線形規(guī)劃案例來獲得。最后，還有一個(gè)內(nèi)容，學(xué)習(xí)一個(gè)較常見常用的基本不等式^〃＜（a+b）/2課程標(biāo)準(zhǔn)將這個(gè)均值不等式作為基本不等式列入必修課程，并要求探索和了解基本不等式的證明過程，會(huì)用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}。這里的證明僅限于推導(dǎo)這個(gè)基本不等式的證明，這里的應(yīng)用僅限于與例題類似的簡單的實(shí)際問題。不要求更復(fù)雜的應(yīng)用。數(shù)列（必修5）數(shù)列實(shí)際上就是一種特殊的函數(shù)。這部分的內(nèi)容和要求，與以往大綱里的要求沒有什么變化。這里就不講了。21導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（選修2-2）微積分的內(nèi)容在我國高中課程里已經(jīng)是幾出幾進(jìn)了，其原因除了高考導(dǎo)向的影響之外，主要是定位的問題，大概有三個(gè)方面。①僅把大學(xué)中的微積分簡化，編入高中教材；②先講極限，把導(dǎo)數(shù)作為特殊的極限處理，形式化的極限理論成了學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙；③教學(xué)的方法有問題，主要是教規(guī)則，忽視了對導(dǎo)數(shù)思想的認(rèn)識和理解。因此，出現(xiàn)炒夾生飯的現(xiàn)象，大學(xué)不歡迎，中學(xué)也感受不到學(xué)習(xí)微積分的好處。針對這些問題，這次的課程標(biāo)準(zhǔn)采取了一些新的做法。首先要明確高中學(xué)習(xí)一點(diǎn)兒微積分的初步知識不是大學(xué)課程內(nèi)容下放（不是預(yù)科，與其他有些國家不同），而是讓學(xué)生接觸一些變量數(shù)學(xué)的思想。微積分是全面認(rèn)識數(shù)學(xué)的一個(gè)很好的載體。隨著社會(huì)進(jìn)步和科技發(fā)展，無論是高中畢業(yè)后上不上大學(xué)，都應(yīng)當(dāng)對微積分有所了解。尤其是變化率的概念，在現(xiàn)代社會(huì)隨處可見（運(yùn)動(dòng)速度、種種增長率、使用效率等）。通過研究這些變化率，可以對我們所關(guān)心的事物進(jìn)行分析、判斷和決策，應(yīng)用非常廣泛。另外，通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，可以使學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)對已學(xué)過的函數(shù)進(jìn)行深一步的研究，更好地理解函數(shù)變化的規(guī)律（增、減、快、慢、極值等）。同時(shí)，還可以使學(xué)生認(rèn)識從平均變化到瞬時(shí)變化、從有限到無限的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生從中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過渡到大學(xué)的學(xué)習(xí)，在思維方法和思維習(xí)慣上做好準(zhǔn)備。為了減緩學(xué)生學(xué)習(xí)變量數(shù)學(xué)的思維坡度，課程標(biāo)準(zhǔn)要求不要從極限開始講起，而是通過具體實(shí)例，讓學(xué)生觀察、分析具體事物的變化率，由此一步步地引出導(dǎo)數(shù)的概念。比如，分析跳水運(yùn)動(dòng)員在跳起之后到入水之前運(yùn)動(dòng)速度的變化，由逐漸縮短時(shí)間間隔，平均速度逐漸趨近于一個(gè)常數(shù)，引出瞬時(shí)速度的概念。使學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，理解平均速度和瞬時(shí)速度的區(qū)別。通過較多的實(shí)例，使學(xué)生的理解推廣到一般的平均變化率到瞬時(shí)變化率的演化過程。導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)就是瞬時(shí)變化率，讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，就是讓學(xué)生認(rèn)識導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)，認(rèn)識到任何事物的變化率都可以用導(dǎo)數(shù)來描述，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識。同時(shí)，這樣的教學(xué)過程也可以減小學(xué)生學(xué)習(xí)的難度（不是用抽象的極限定義來研究導(dǎo)數(shù)）。在引導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的概念以后，在讓學(xué)生通過函數(shù)圖象，直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。這時(shí)通過（演示）觀察，看到當(dāng)函數(shù)自變量的取值趨近于指定的值（Ax趨于0）時(shí)，曲線上表示平均變化率的割線就就逐漸趨近于函數(shù)曲線上這一點(diǎn)的切線。曲線上這一點(diǎn)的切線斜率就是曲線在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。這樣就可以很容易地從切線斜率的大?。ㄇ芯€的方向）看出函數(shù)的變化（增、減）。進(jìn)而結(jié)合圖象（看曲線上每一點(diǎn)的切線有沒有變化），可以看出一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也是隨著自變量的變化而變化著（每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也在變化著），由此引出22導(dǎo)函數(shù)的概念。觀察函數(shù)圖象理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義很重要，它為學(xué)生進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的意義，并把導(dǎo)數(shù)和函數(shù)、函數(shù)的曲線等內(nèi)容聯(lián)系起來，為學(xué)生以后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)和曲線，研究圖形的變化，建立了感性基礎(chǔ)。第二部分是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，選修1-1和選修2-2的要求基本相同，選修2系列的要求稍高一些。開始都是根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義（求Ax趨近于0時(shí)，△y/Ax趨近于什么值），推導(dǎo)出y=c,y=x,y=x2,y=1/x的導(dǎo)數(shù)。選修2里多一些，還有y=x3和y=Jx。然后，給出一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，便于學(xué)生應(yīng)用。（是否需要記憶？按照制訂課標(biāo)時(shí)的想法是只供查閱使用的）接著是介紹導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（加減乘除）。這四個(gè)公式應(yīng)當(dāng)記住.因?yàn)樵谶x修2中，還要求學(xué)生會(huì)求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（課標(biāo)中要求僅限于形如/（ax+b）的）關(guān)于導(dǎo)數(shù)的計(jì)算不要搞得太復(fù)雜，因?yàn)閷W(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的重點(diǎn)不在這里，課標(biāo)里也指出“要避免過量的形式化運(yùn)算練習(xí)”。“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”第三部分內(nèi)容是在研究函數(shù)中的應(yīng)用，還有生活中的優(yōu)化問題舉例。這些都是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，有關(guān)的教育價(jià)值和設(shè)置理念前面講過了。有關(guān)的內(nèi)容和要求后面介紹教材時(shí)再具體講。在選修2-2里還有一些定積分的內(nèi)容。記得當(dāng)時(shí)研制課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，安排這部分內(nèi)容時(shí)是考慮到，微積分是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)重要的里程碑，它的發(fā)展和應(yīng)用對近現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，起到了巨大的推動(dòng)作用。無論是從微積分的應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值，還是從它的教育價(jià)值來說，有條件的學(xué)生都應(yīng)全面地了解一點(diǎn)兒微積分知識。因?yàn)槲⒎趾头e分本身是一對矛盾。在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)（微分）以后，如果不學(xué)習(xí)一點(diǎn)積分的話，似乎有些缺陷。特別是有志向繼續(xù)學(xué)習(xí)理科的高中學(xué)生，完全還可以繼續(xù)學(xué)習(xí)一點(diǎn)定積分的初步知識。但是，在高中教學(xué)積分，也不能像大學(xué)那樣，靠形式化的定義和推導(dǎo)來學(xué)，也要通過實(shí)例，借助一些具體實(shí)例的直觀背景，來使學(xué)生感受和體驗(yàn)積分的過程，理解積分的思想方法。教學(xué)時(shí)，可以通過求曲邊梯形面積的例子，來使學(xué)生理解積分的過程。注意引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們把曲邊梯形沿著縱向不斷細(xì)分之后，曲線下所有長條矩形面積的和就逐漸趨近曲邊梯形的面積。由此，在學(xué)生已經(jīng)有了導(dǎo)數(shù)（微分）中學(xué)習(xí)的極限思想基礎(chǔ)之下，理解積分的概念就不太困難了。這樣通過較多的實(shí)例，讓學(xué)生觀察、體驗(yàn)、思考，歸納總結(jié)出定積分的概念，并給出符號表示法。在學(xué)習(xí)了定積分的基礎(chǔ)上，課程標(biāo)準(zhǔn)還要求學(xué)生進(jìn)一步了解微積分基本定理。這是一個(gè)非常有名的定理，也可以說是一個(gè)非常漂亮的定理。它揭示了定積23分和導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，也提供了一種計(jì)算定積分的方便的方法。讓學(xué)生了解微積分基本定理，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步溝通微分和積分的聯(lián)系，也可以用它來計(jì)算一些定積分的題目。注意：定積分內(nèi)容對文科學(xué)生不作要求，對理科學(xué)生的要求也是“初步了解”，具體如下兩條。（1）通過實(shí)例，從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。（2）通過實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的含義。（見課標(biāo)P58）最后，講一講定積分在幾何中的應(yīng)用和在物理中的應(yīng)用，體會(huì)微積分的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。另外，由于微積分在數(shù)學(xué)發(fā)展中的文化價(jià)值很高，在選修1和選修2里都有介紹有關(guān)微積分的數(shù)學(xué)文化的要求（見課標(biāo)P42、P58），主要是搜集資料、學(xué)習(xí)歷史、體會(huì)交流，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用意識。統(tǒng)計(jì)概率（必修3、選修1-2、選修2-3）在這次高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，統(tǒng)計(jì)和概率的內(nèi)容比以往受到很大的重視。無論是在內(nèi)容分量上，還是在教學(xué)思想上，都發(fā)生了很大變化。這次課程改革，在義務(wù)教育階段就增加了很多統(tǒng)計(jì)和概率的內(nèi)容，甚至單獨(dú)作為一個(gè)領(lǐng)域來學(xué)習(xí)（現(xiàn)改為四方面課程），足以看出對這部分內(nèi)容的重視。這是因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)方法在現(xiàn)代社會(huì)中顯得越來越重要了?，F(xiàn)代社會(huì)里的事物越來越復(fù)雜，人們常常需要收集數(shù)據(jù)，根據(jù)收集的數(shù)據(jù)提取有價(jià)值的信息，由此作出合理的決策。而概率是研究隨機(jī)事件、隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科。它所提供的思維模式和解決問題的方法，又為統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)。在統(tǒng)計(jì)決策中，經(jīng)常離不開概率的分析和計(jì)算。統(tǒng)計(jì)是研究如何收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，可以為人們制定決策提供依據(jù)。在人類歷史上，有很多事例說明統(tǒng)計(jì)和概率思想對人們決策所起的重要作用。比如，18世紀(jì)英國政府為了確定如何開展人壽保險(xiǎn)業(yè)，對各個(gè)年齡段人的死亡情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，提供了重要的科學(xué)依據(jù)。再如，生物學(xué)的發(fā)展中，孟德爾的遺傳學(xué)理論的建立就依賴于統(tǒng)計(jì)分析。再有，如今社會(huì)上的各行各業(yè)，都離不開統(tǒng)計(jì)學(xué)。生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)（市場分析）、產(chǎn)品的質(zhì)量檢驗(yàn)、醫(yī)學(xué)上更是用得更多，還有天文、地質(zhì)、氣象，幾乎人類所有的生活都用到了統(tǒng)計(jì)的方法。這就是統(tǒng)計(jì)的威力。它可以應(yīng)用于分析、預(yù)測，為人們的決策提供依據(jù)。24

我們在教學(xué)中就是要突出這種統(tǒng)計(jì)的思想，使學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)在人類生活和工作中發(fā)揮的巨大作用。同時(shí)，我們在教學(xué)中也要提醒學(xué)生注意，由于很多事物帶有隨機(jī)性，所以統(tǒng)計(jì)的結(jié)果的正確與否也會(huì)有隨機(jī)性。也就是說，統(tǒng)計(jì)對于我們是非常重要的，我們應(yīng)當(dāng)善于使用統(tǒng)計(jì)方法，同時(shí)也要注意它的結(jié)果的隨機(jī)性。（1）關(guān)于統(tǒng)計(jì)那么，應(yīng)當(dāng)怎樣學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的方法呢？課程里要求學(xué)生重點(diǎn)體會(huì)的是為什么要抽樣、怎樣的抽樣才是科學(xué)的，以及怎樣用樣本估計(jì)總體。首先，要先讓學(xué)生理解抽樣的必要性和重要性。因?yàn)樵诤芏嗲闆r下，是不能把全體統(tǒng)計(jì)對象（總體）都拿來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的，必須進(jìn)行抽樣統(tǒng)計(jì)。而抽樣能否代表所有的統(tǒng)計(jì)對象，就要采用科學(xué)的抽樣方法（怎樣把湯攪勻，嘗出湯的味道）。這些內(nèi)容在義務(wù)教育階段，學(xué)生就已經(jīng)感受了一些，這里需要再強(qiáng)化一下。比以前的學(xué)習(xí)更進(jìn)一步的，是教給學(xué)生一些具體的抽樣方法（簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣）。教學(xué)中不能只告訴學(xué)生這些方法是怎么樣做的，而且還應(yīng)通過具體的實(shí)例，使學(xué)生理解為什么這樣抽樣是科學(xué)的，什么樣的情況下采用什么樣的抽樣方法更合理。建立了用樣本估計(jì)總體的思想之后，再教學(xué)一些用樣本估計(jì)總體的具體方法。學(xué)習(xí)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布、列頻率分布表、畫頻率直方圖、頻率折線圖、莖葉圖。這些方法在以往的高中教材里也都學(xué)過，只是今天的教學(xué)更加注重讓學(xué)生理解應(yīng)用這樣方法的統(tǒng)計(jì)原理及其特點(diǎn)（優(yōu)缺點(diǎn)）。以往的教學(xué)經(jīng)常是只注意講解方法的步驟本身，而學(xué)生往往對自己正在做的是什么搞不清楚，也就失去了學(xué)習(xí)這些統(tǒng)計(jì)知識的意義。莖葉圖是這次新增加的一種方法，比較方便直觀。莖葉圖在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)較少時(shí)好用，數(shù)據(jù)多了就不好用了。例如，統(tǒng)計(jì)兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員多場比賽每次得分的情況。甲：12,甲：12,15，24，25,31，31，36，36，37，39，44，49，50。乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51。乙：976611教學(xué)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí)，不僅要使學(xué)生掌握數(shù)字特征25的計(jì)算方法，更要注意讓學(xué)生弄清楚這些樣本的數(shù)字特征所代表的意義，以及運(yùn)用不同的數(shù)字特征時(shí)的優(yōu)缺點(diǎn)（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差）。例如，用標(biāo)準(zhǔn)差描述一組樣本數(shù)據(jù)時(shí)，可以更好地發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)的分散程度，以確定這組樣本數(shù)據(jù)所反映的整個(gè)統(tǒng)計(jì)對象的平均性質(zhì)。減少我們從樣本的數(shù)字特征對統(tǒng)計(jì)對象的總體作出估計(jì)的偏差。以上這些特征的比較和認(rèn)識，都要通過盡可能多的實(shí)例來讓學(xué)生體驗(yàn)和思考，防止只講例子的計(jì)算方法而忽視學(xué)生體驗(yàn)的傾向。關(guān)于變量間的相關(guān)關(guān)系，要注意借助圖形，加強(qiáng)學(xué)生的直觀理解。通過在坐標(biāo)系中作出兩個(gè)變量對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，觀察它們的集中程度，來分析它們是否相關(guān)。（注意讓學(xué)生理解，這兩個(gè)變量不一定就有像函數(shù)一樣的對應(yīng)關(guān)系，此處研究的就是其是否有關(guān)，怎樣相關(guān)）然后，再進(jìn)一步介紹線性相關(guān)和回歸直線的概念，同時(shí)介紹一點(diǎn)兒最小二乘法的思想，并讓學(xué)生試著求出回歸直線的方程。解題不要太難，著重注意理解回歸思想。具體教學(xué)要求，在介紹教材時(shí)還會(huì)講到。（2）關(guān)于概率概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象和概率的意義。隨機(jī)現(xiàn)象在日常生活中大量存在，比如降水概率、感冒指數(shù)、體育彩票、風(fēng)險(xiǎn)投資、各種保險(xiǎn)等等。這實(shí)際上是人們對客觀世界某些現(xiàn)象的一種描述，其中都涉及了大量的數(shù)據(jù)。面對這些數(shù)據(jù)，人們就要作出分析和判斷。因此，在不確定的情境中，根據(jù)大量無組織的信息作出合理的決策，就成為未來公民必備的基本素養(yǎng)。另一方面，隨機(jī)思想實(shí)質(zhì)上是揭示偶然事件的內(nèi)部規(guī)律性的，在利用隨機(jī)思想解決問題的過程中，將大量地運(yùn)用到統(tǒng)計(jì)的思想和方法，同時(shí)統(tǒng)計(jì)決策的過程中也蘊(yùn)涵著隨機(jī)的思想。所以，課程中把概率的內(nèi)容放在統(tǒng)計(jì)之后，作為統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的理論基礎(chǔ)。我們應(yīng)當(dāng)注意統(tǒng)計(jì)和概率的聯(lián)系，以及統(tǒng)計(jì)概率知識廣泛的應(yīng)用。概率的意義是教學(xué)的重點(diǎn)，教學(xué)中要通過引用日常生活中的大量實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，正確理解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性。比如，可以用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)（擲硬幣的實(shí)驗(yàn)）來引出概率的概念，理解什么是隨機(jī)事件，什么是頻率和頻率的穩(wěn)定性。另外，可以通過澄清日常生活中的錯(cuò)誤認(rèn)識（買1000張中獎(jiǎng)率是1/1000的彩票就一定能中獎(jiǎng)），對于氣象預(yù)報(bào)中降水概率的解釋等等，說明隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性。然而，由于隨機(jī)事件發(fā)生的頻率又有著穩(wěn)定性，盡管它有不確定性，我們也可以用數(shù)學(xué)的方法來計(jì)算它。這就是概率的研究。比如，等可能事件的概率，概率的基本性質(zhì)和加法公式：0VP（A）V1,若A、B互斥，則P（AUB）=P（A）+P（B）O26這說明學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)和概率時(shí)，仍然要使用研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)手段，仍然需要抽象概括、運(yùn)算求解、推理論證。這有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、解決問題的能力。古典概型是最簡單的概率模型，學(xué)習(xí)古典概型可以有助于學(xué)生對概率的理解。它是一種很經(jīng)典的概率模型，在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用。但是，以往的教學(xué)沒有很好地突出它所反映的概率思想，經(jīng)常是只注意到如何計(jì)算。新課程要求我們，教學(xué)古典概型也要讓學(xué)生通過實(shí)例來理解它的特征，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有限性，和每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的等可能性，并讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成古典概型來解決。教學(xué)的重點(diǎn)不在于學(xué)會(huì)如何計(jì)算上，而是讓學(xué)生體會(huì)和理解古典概型在處理隨機(jī)問題時(shí)的作用。幾何概型是這次課程標(biāo)準(zhǔn)新增加的。課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求是初步了解。教學(xué)時(shí)可以通過輪盤游戲來介紹幾何概型的概念。實(shí)際就是運(yùn)用隨機(jī)事件的產(chǎn)生所占幾何圖形的長度、面積或體積比例大小來估計(jì)概率。學(xué)生通過一些實(shí)例的介紹，或者是動(dòng)手實(shí)驗(yàn)（在畫有正方形和內(nèi)接圓的紙上撒豆子），來了解幾何概型及其應(yīng)用。課程標(biāo)準(zhǔn)還要求學(xué)生了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率（包括用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)）。這也是本次課程標(biāo)準(zhǔn)新增加的內(nèi)容。用計(jì)算機(jī)或隨機(jī)數(shù)表產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以用于統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)抽樣，也可以用隨機(jī)數(shù)做模擬實(shí)驗(yàn)估計(jì)隨機(jī)事件的概率。所以，學(xué)生應(yīng)當(dāng)了解什么叫做隨機(jī)數(shù)，以及隨機(jī)數(shù)是怎么產(chǎn)生的，為統(tǒng)計(jì)概率中的應(yīng)用做準(zhǔn)備。以上是在必修3中關(guān)于統(tǒng)計(jì)和概率的內(nèi)容和要求。選修1-2選修2-3的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容是這次課程標(biāo)準(zhǔn)新增加的，統(tǒng)計(jì)案例前面講過了。在選修2-3中還有一部分概率的內(nèi)容，是在必修3學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)如何用一些數(shù)學(xué)的方法去描述某些隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律。我們知道，隨機(jī)現(xiàn)象有結(jié)果的隨機(jī)性和頻率的穩(wěn)定性兩個(gè)特點(diǎn)。怎樣了解一種隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律呢？一是可以設(shè)法知道這種隨機(jī)現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，二是設(shè)法知道每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的概率，然后把所有這些的概率構(gòu)成一個(gè)0到1之間的數(shù)列（概率分布列）。有了這個(gè)分布列，就可以把這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的情況搞清楚了。我們在高中里講的隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)的結(jié)果僅限于離散的，這就是課標(biāo)中要求學(xué)生學(xué)習(xí)的“離散型隨機(jī)變量及其分布列”。由于現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象形形色色、多種多樣，我們要研究它們也是非常復(fù)雜的。所以就采取了數(shù)學(xué)中常用的方法，分類來進(jìn)行研究。就像我們研究幾何27圖形，不是逐個(gè)地研究每個(gè)圖形一樣，而是分成三角形、四邊形等等，去研究不同類型的概率分布列。例如，二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布等等。課程標(biāo)準(zhǔn)對于學(xué)習(xí)選修系列2的學(xué)生，初步學(xué)習(xí)和理解這些分布列，并能解決一些簡單的問題。有關(guān)的內(nèi)容和要求，等到教材介紹中再講。長期以來，由于我國在數(shù)學(xué)教育中對概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的忽視，很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)只能研究確定的對象，得出確定的結(jié)論。因此對于隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就感到比較困難。從現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展和科技的發(fā)展來看，統(tǒng)計(jì)概率的作用對人類越來越重要，我們應(yīng)當(dāng)像對待推理論證、運(yùn)算求解一樣，把數(shù)據(jù)分析也當(dāng)作人們最普通最必須的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。不過，隨機(jī)數(shù)學(xué)雖然有它自己獨(dú)特的思維方式，卻仍然需要使用排列組合、數(shù)據(jù)演算的確定性的數(shù)學(xué)工具。二者互相并不矛盾。對于統(tǒng)計(jì)推斷得出的結(jié)果不一定符合客觀實(shí)際，有出錯(cuò)的可能，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的結(jié)果要慎重這些觀念，我們通過不斷地熟悉和理解，逐漸就習(xí)慣了。（3）關(guān)于計(jì)數(shù)原理（選修2-3）計(jì)數(shù)原理的內(nèi)容在以前的大綱里面也有。過去是放在概率內(nèi)容的前面，似乎只是為概率的有關(guān)計(jì)算做準(zhǔn)備。現(xiàn)在把它單獨(dú)列出來，為的是強(qiáng)調(diào)對計(jì)數(shù)思想的理解。計(jì)數(shù)是人