2015中考：圓 切線的判定

2015中考數(shù)學真題分類匯編：圓（9）

解答題（共30小題）

1.（2015?大連）如圖，是。O的直徑，點C,。在。。上，且/。平分/C/8,過

點。作/C的垂線，與NC的延長線相交于點E,與的延長線相交于點尸.

（1）求證：砂與。。相切；_

（2）若AB=6,AD=4&,求Ef的長.

E

2.（2015?濰坊）如圖，在△N8C中，AB=AC,以/C為直徑的。。交8c于點。，交

78于點E,過點。作?！?/8,垂足為尸，連接。E.

（1）求證：直線。尸與。。相切；

（2）若4E=7,BC=6,求/C的長.

3.（2015?棗莊）如圖，在△/8C中，ZJ5C=90°,以4？的中點。為圓心、O/為半徑

的圓交ZC于點。，E是8C的中點，連接。E,OE.

（1）判斷。E與。O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：BC2=CD?2OE；

（3）若cos/BAD=&BE=6,求OE的長.

5

4.（2015?西寧）如圖，已知8c為。。的直徑，比I平分NE8C交。。于點力,。是射

線8尸上的一點，且滿足空=空，過點0作OM_L/C于點E,交。。于點M,連接BM,

BABC

AM.

（1）求證：是。。的切線；

（2）若sin/ABM^,AM=6,求。。的半徑.

5

5.(2015?廣元)如圖，ZB是。。的弦，。為半徑。工的中點，過。作CO_LO/交弦

于點E,交。。于點尸，且C后C8.

(1)求證：8c是。。的切線；

(2)連接ZRBF,求NZ8尸的度數(shù)；

(3)如果CD=15,BE=10,sinA=-^,求。。的半徑.

13

6.(2015?北海)如圖，AB、8為。。的直徑，弦AE〃CD,連接交CO于點尸,

過點E作直線EP與CD的延長線交于點P,使NPED=NC.

(1)求證：P￡是。。的切線；

(2)求證：ED平分/BEP；

(3)若。。的半徑為5,CF=2EF,求尸。的長.

7.(2015?莆田)如圖，在四邊形/8CQ中，AB=AD,對角線/C,8。交于點E,點O

在線段ZE上，。。過8,。兩點，若0c=5,08=3,且cos/BOE=3.求證：C8是。

8.(2015?錦州)如圖，ZU8C中，以/C為直徑的。。與邊48交于點。，點E為。。

上一點，連接CE并延長交Z8于點凡連接EO.

(1)若NB+NFED=90°,求證：8C是OO的切線；

(2)若FC=6,DE=3,FD=2,求。。的直徑.

9.(2015?甘孜州)如圖，MBC為等邊三角形,以邊為直徑的半圓與邊AC

分別交于。，尸兩點，過點。作。垂足為點￡

(1)判斷。尸與。。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)過點尸作尸”L8C,垂足為點”，若力8=4,求"/的長(結(jié)果保留根號).

10.(2015?包頭)如圖，是。。的直徑，點。是金上一點，且NBDE^NCBE,BD

與AE交于點F.

(1)求證：8c是。。的切線；

(2)若BD平分N4BE,求證：DE?=DF?DB；

(3)在(2)的條件下，延長ED,BA交于點、P,若PA=4O,DE=2,求尸。的長和。O

的半徑.

11.(2015?本溪)如圖，點。是等邊△N8C中8C邊的延長線上一點，且ZO8,以

為直徑作。O,分別交邊ZC、BC于點、E、點、F

(1)求證：是。。的切線；

(2)連接OC,交。。于點G,若4B=4,求線段CE、CG與窟圍成的陰影部分的面積

S.

12.(2015?常德)已知如圖，以R/A48C的ZC邊為直徑作。。交斜邊于點E,連

接EO并延長交8c的延長線于點。，點尸為8C的中點，連接ER

(1)求證：E尸是。。的切線；

(2)若。O的半徑為3,NE4C=60°,求的長.

13.(2015?武漢)如圖，是。。的直徑，NABT=45。,AT=AB.

(1)求證：是。。的切線；

(2)連接07交。。于點C,連接/C,求。"N"C.

14.(2015?衡陽)如圖，是。。的直徑，點C、。為半圓。的三等分點，過點C

作交的延長線于點E.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)判斷四邊形/OCO是否為菱形？并說明理由.

15.(2015?攀枝花)如圖，在。。中，45為直徑，OCJ_R8,弦CD與OB交于點、F,

在的延長線上有點E,且E/三ED

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)若OF：OB=L3,。。的半徑R=3,求剪的值.

AD

c

16.(2015?河池)如圖，為。。的直徑，COL/8于。，。在。。上，連接8。,

CD,延長8與48的延長線交于E,F在BE上，且FD=FE.

(1)求證：ED是。。的切線；

(2)若N尸=8,tan/BDF工求EF的長.

4

17.(2015?畢節(jié)市)如圖，以△/BC的8C邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過/,8兩點,

且與8c邊交于點E,。為8E的下半圓弧的中點，連接力。交8c于RAC=FC.

(1)求證：ZC是。。的切線；

(2)已知圓的半徑R=5,EF=3,求。尸的長.

D

18.(2015?鹽城)如圖，在A/BC中，NC48=90。，/C8/=50°,以為直徑作。。

交BC于點D,點E在邊ZC上，且滿足皮＞=￡4.

(1)求NZXM的度數(shù)；

(2)求證：直線EO與。。相切.

19.(2015?懷化)如圖，在&△/8C中，ZACB=90°,E是8c的中點，以/C為直徑

的。。與力8邊交于點。，連接DE

(1)求證：MBCsACBD；

(2)求證：直線。E是。。的切線.

20.(2015?巴中)如圖，Z8是。。的直徑，弦8c于點尸，交。。于點E,連結(jié)

CE、AE,CD,若N4EC=NODC.

(1)求證：直線8為。。的切線；

(2)若45=5,5c=4,求線段CD的長.

21.(2015?寧夏)如圖，AC是。。的直徑，8C是。。的弦，點P是。。外一點，連

接尸B、AB,NPBA=NC.

(1)求證：P8是。。的切線；_

(2)連接。尸，若。尸〃8C,且。尸=8,。。的半徑為2&,求3c的長.

22.(2015?昆明)如圖，是。。的直徑，AE平分NFAH,交。。于點E,過點E

的直線FG，/尸，垂足為尸，B為直徑OH上一點，點E、尸分別在矩形的邊8C

和CD±.

(1)求證：直線尸G是。。的切線；

(2)若8=10,￡5=5,求。。的直徑.

DC

G

H

23.(2015?廈門)已知四邊形月58內(nèi)接于。0,ZADC=90°,NDCBV90。,對角線

/C平分NOC8,延長。/,C8相交于點瓦

(1)如圖1,EB=AD,求證：ZU8E是等腰直角三角形；

(2)如圖2,連接OE,過點E作直線E尸，使得NOEF=30。，當乙4。房30。時，判斷直

分別交ZC,BC于點D,E,得到DE.

(1)求證：為。C的切線;

(2)求圖中陰影部分的面積.

25.(2015?黃石)如圖，。。的直徑/8=4,ZABC=30°,BC交。O于D,。是5c的

中點.

(1)求8C的長；

(2)過點力作。垂足為E,求證：直線。E是。。的切線.

26.（2015?營口）如圖，點尸是。。外一點，P/切。。于點4,是。。的直徑,

連接OP,過點8作8C〃OP交。。于點C,連接/C交0P于點D

（1）求證：PC是。。的切線；

（2）若P￡）=A§C7〃，AC=Scm,求圖中陰影部分的面積；

3

（3）在（2）的條件下，若點E是定的中點，連接C￡,求CE的長.

E

P

27.（2015?宜賓）如圖，CE是。。的直徑，BD切0O于點D,DE//BO,CE的延長

線交8。于點a

（1）求證：直線BC是。。的切線；

（2）若AE=2,tan/DEOd，求力O的長.

28.（2015?隨州）如圖，射線尸4切。。于點Z,連接尸。.

（1）在尸。的上方作射線尸C,使NOPC=NOPN（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不

寫作法），并證明：PC是。。的切線；

（2）在（1）的條件下，若PC切O。于點B,AB=AP=4,求源的長.

29.（2015?潛江）如圖，ZC是。。的直徑，。8是。。的半徑，P4切。。于點力,PB

與AC的延長線交于點M,NCOB=NAPB.

（1）求證：尸8是。。的切線；

（2）當08=3,P/=6時，求MB,的長.

30.（2015?廣安）如圖，P8為。。的切線，8為切點，過8作OP的垂線84垂足

為C,交。。于點力,連接P/、AO,并延長交。。于點E,與P8的延長線交于點

D.

（1）求證：尸/是。。的切線；

2015中考數(shù)學真題分類匯編：圓（8）

參考答案與試題解析

解答題（共30小題）

1.（2015?大連）如圖，是。。的直徑，點C,。在。。上，且NO平分NC48,過

點。作/C的垂線，與NC的延長線相交于點E,與的延長線相交于點尸.

（1）求證：E尸與。。相切；

（2）若48=6,4。=4&,求EF的長.

考點：切線的判定.

分析：（1）連接0。由題可知，E已經(jīng)是圓上一點，欲證8為切線，只需證明N

OEO=90°即可.

（2）連接8。，作。GL/8于G,根據(jù)勾股定理求出8。，進而根據(jù)勾股定理求得。G,

根據(jù)角平分線性質(zhì)求得然后根據(jù)△OOFs&fEF,得出比例式，即可求

3

得EE的長.

解答：（1）證明：連接0。，

?.?/￡>平分NC/8,

，NOAD=NEAD.

???OE=OA,

：.ZODA=ZOAD,

，/ODA=/EAD.

：.OD//AE.

'：/ODP=//EF=90°且。在。。上,

.?.E/與。O相切.

(2)連接5。，作。于G,

?.18是。。的直徑，

/.ZADB=90°,_

*8=6,AD=AM，

**?S￡)=7AB2_AD2=2'

；00=08=3,

設(shè)OG=x,則BG=3-x,

OD1-OG2=BD2-BG2,即32-X2=22-(3-x)

解得J

3

；.OG=I,

3

?*,DG=yjo])2-OG2^^,

平分NC/8,AE上DE,DGYAB,

:.DE=DG=^/i，

3

AE=hM-DE2=4^'

'：OD//AE,

△ODFS^AEF,

?DF-OD叩EF-ED_OD

??麗而EF-'Afi'

產(chǎn)一即匕

EF―四

3

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線的判定等知識點的應(yīng)用，

主要考查學生運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，兩小題題型都很好，都具有一定的代表

性.

2.(2015?濰坊)如圖，在A/BC中，AB=AC,以NC為直徑的。。交BC于點。，交

力8于點E,過點。作。尸，垂足為F連接?！?

(1)求證：直線。尸與。。相切；

(2)若AE=7,BC=6,求/C的長.

考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：(1)連接利用/8=/C,OD=OC,證得OD〃ZD易證。凡L。。，故。尸

為。。的切線；

(2)證得求得BE,利用/C=Z5=/E+8E求得答案即可.

解答：(1)證明：如圖，

連接OD

\"AB=AC,

：.ZB=ZC,

'：OD=OC,

：.ZODC=ZC,

：.ZODC=ZB,

J.OD//AB,

'：DF±AB,

：.OD±DF,

?.,點。在。。上，

二直線。尸與。。相切；

(2)解：:?四邊形/C0E是。。的內(nèi)接四邊形,

二ZAED+ZACD=180°,

,：ZAED+ZBED=180°,

：.NBED=NACD,

'：ZB=ZB,

：.ABEDs/\BCA,

?BD_BE

,,道前‘

'：OD//AB,AO=CO,

:.BD=CD&C=3,

2

又,：AE=7,

.3_BE

"7+BE"6'

：.BE=2,

:.AC=AB=AE+BE=7+2=9.

點評：此題考查切線的判定，三角形相似的判定與性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知

此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可.

3.（2015?棗莊）如圖，在△N8C中，ZABC=90°,以的中點。為圓心、為半徑

的圓交ZC于點。，E是的中點，連接QE,OE.

（1）判斷。E與。O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：BC2=CD?2OE；

（3）若COS/BADR,BE=6,求OE的長.

5

考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：（1）連接。。，BD,由Z8為圓。的直徑，得到為直角，可得出三角

形8cZ）為直角三角形，E為斜邊8c的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到

CE=DE,利用等邊對等角得到一對角相等，再由。1=。。，利用等邊對等角得到?對角

相等，由直角三角形/8C中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到/力。。與NC0E互

余，可得出NODE為直角，即。E垂直于半徑。￡>,可得出OE為圓。的切線；

（2）證明OE是“臺。的中位線，則4C=2OE,然后證明△ZBCS^BOC,根據(jù)相似三

角形的對應(yīng)邊的比相等，即可證得；

（3）在直角A/IBC中，利用勾股定理求得4C的長，根據(jù)三角形中位線定理OE的長即

可求得.

解答：（1）證明：連接O￡）,BD,

,.18為圓。的直徑，

ZADB=90°,

在RtABDC中,E為斜邊BC的中點，

：.CE=DE=BE=1BC,

2

:.NC=/CDE,

,：OA=OD,

：.ZA=ZADO,

'：ZABC=90°,即ZC+ZA=90°,

:.NADO+NCDE=90°,即/OZ）E=90°,

：.DE±OD,又。。為圓的半徑，

為。。的切線；

(2)證明：是8c的中點，。點是48的中點,

.,.OE是△/BC的中位線，

：.AC=2OE,

VZC=ZC,/ABC=/BDC,

：./\ABCs/\BDC,

...區(qū)維gpB(^=AC.CD.

CDBC

：.BC2=2CD?OE；

(3)解：,:COSNBAD=3,

sinNBA,

AC5

又：8￡=6,E是BC的中點，即8c=12,

：.AC=15.

又：/C=2OE,

：.OE=^AC=^.

點評：本題考查了切線的判定，垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點.要

證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即

可.

4.（2015?西寧）如圖，已知8c為。O的直徑，B4平分NFBC交。O于點4,D是射

線8尸上的一點，且滿足以=空，過點O作OML/C于點E,交。O于點M,連接BM,

AM.

（1）求證：是0O的切線；

（2）若sinNABMW,AM=6,求。。的半徑.

5

考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：（1）要證/。是OO的切線，連接O/,只證/。/0=90。即可.

(2)連接CM,根據(jù)垂徑定理求得筋=蔽，進而求得//胡3NC8M,AM=CM=6,從

而得出s山NC8M,在RTABMC中,利用正弦函數(shù)即可求得直徑力8,進而求得半徑.

5

解答：(1)證明：連接04；

為。。的直徑，BA平分NCBF,ADLBF,

:.ZADB=ZBAC=9Q°,NDBA=NCBA；

"：ZOAC=ZOCA,

：.ZDA0=ZDAB+ZBA0=ZBAO+ZOAC=90°,

：.DA為。。的切線.

(2)解：連接CM,

于點￡,OM是半徑，

.*.MC=MA.

:.NABM=/CBM,AM=CM=6,

sinZABM-sinNCBM~,

5

???8C為。。的直徑，

ZBMC=90°,

在RTABMC中，sinNCBMW

5

?.?-M-C-_3,

BC5

：.BC=10,

：.OO的半徑為5.

點評：本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓

心與這點(即為半徑)，再證垂直即可.同時考查了三角函數(shù)的知識.

5.(2015?廣元)如圖，Z8是。。的弦，。為半徑。I的中點，過。作交弦

于點E,交。。于點F,且CE=CB.

(1)求證：8C是。。的切線；

(2)連接/尸、BF,求N/8/的度數(shù)；

(3)如果8=15,BE=\O,sinA=&,求。。的半徑.

13

考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：（1）連接。8,由圓的半徑相等和已知條件證明/。8。=90。即可證明8c是。

。的切線；

（2）連接ORAF,BF,首先證明△0/E是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所

對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出N/8尸的度數(shù)；

(3)過點C作CGLBE于G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG』E=5,由于

2

NCGE=90°,NAED=NGEC,得到/GCE=/N,LADE^/\CGE,于是得到si〃/￡CG=si〃

4=旦，在R’ECG中求得CG=JCE2-EG-12,根據(jù)三角形相似得到比例式四理，

13vCGGE

代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果.

解答：(1)證明：連接08

u：0B=0A,CE=CB,

:?NA=NOBA,ZCEB=ZABC

又?：CDLOA

：.ZA+ZAED=ZA+ZCEB=90°

：.ZOBA+ZABC=90°

：.OBIBC

???BC是。。的切線.

(2)解：如圖工，連接ORAF,BF,

?:DA=DO,CD^OA,

:?AF=OF,

?：OA=OF,

???△04尸是等邊三角形，

JZAOF=60°

：.ZABF=1ZAOF=30\

2

(3)解：如圖2,過點C作CGJ_3E于G,

,:CE=CB,

:.EG』E=5,

2

NADE=ZCGE=90°,NAED=ZGEC,

：.ZGCE=ZA,

：.LADEs/\CGE,

sinN.ECG=sin/A=~^~,

13

在RtECG中，

7CG=7CE2-EG2=12>

VCZ)=15,CE=13,

：.DE=2,

'：/\ADE^/\CGE,

?ADDE

,.西F

：.AD=^,CG烏，

GE5

二QO的半徑OA=2AD^..

5

點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等，熟

練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

6.(2015?北海)如圖，AB.CD為。O的直徑，弦AE〃CD,連接8E交CD于點尸,

過點E作直線EP與CD的延長線交于點P,使NPED=NC.

(1)求證：PE是。。的切線；

(2)求證：ED平分NBEP；

(3)若。O的半徑為5,CF=2EF,求PD的長.

分析：(1)如圖，連接OE.欲證明PE是。。的切線，只需推知OE_LPE即可;

(2)由圓周角定理得到N/E8=NCEZ)=90。，根據(jù)“同角的余角相等"推知/3=/4,結(jié)合

已知條件證得結(jié)論；

(3)設(shè)EN=x,則C/三2x,在RTAOEF中,根據(jù)勾股定理得出52=/+(2x-5)2,求得

EF=4,進而求得8E=8,CF=8,在RTMEB中，根據(jù)勾股定理求得/￡=6,然后根據(jù)

sXEEP,得出晅&求得三里，即可求得PD的長.

863

解答:(1)證明：如圖，連接0E.

；CD是圓。的直徑，

二ZCED=90°.

'：OC=OE,

/.Z1=Z2.

又NPED=NC,即ZPED=Z1,

：.ZPED=Z2,

：.NPED+ZOED=Z2+ZOED=90°,即Z0EP=9。。,

：.OE1EP,

又'.'點E在圓上，

??.PE是。。的切線；

(2)證明：?.78、CD為。O的直徑，

二NAEB=NCED=90。,

.\Z3=Z4(同角的余角相等).

又,:NPED=N1,

:./PED=N4,

即ED平分NBEP；

(3)解：設(shè)EF=x,則CF=2x,

；。。的半徑為5,

/.0F=2x-5,

222

在RTAOEF中,。片二0尸2+/，g|j5=x+(Zr-5),

解得廣4,

：.EF=4,

:?BE=2EF=8,CF=2EF=8,

：.DF=CD-CF=10-8=2,

??ZB為。。的直徑，

???ZAEB=9Q\

U：AB=1O,BE=8,

,,.AE=6,

,：NBEP=N4,ZEFP=ZAEB=90°,

：.AAEBsAEFP,

-PF_EF即PF_4

"BEAE''86'

:.PF屋,

3

：.PD=PF-DF=E-2=M

33

點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角形

相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

7.（2015?莆田）如圖，在四邊形/8C。中，AB=AD,對角線/C,BD交于點E,點O

在線段/E上，。。過8,。兩點，若OC=5,OB=3,且cos/BOEW.求證：C8是。

5

。的切線.

4%/

考j占八、、?,切線的判定.

專題:證明題.

分析:連接OD,可得OB=OD,由AB=AD,得到ZE垂直平分BD,在直角三角形BOE

中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OE的長，根據(jù)勾股定理求出8E的長，由OC-OE求

出CE的長，再利用勾股定理求出BC的長，利用勾股定理逆定理判斷得到BC與OB垂

直，即可確定出8c為圓。的切線.

解答：證明：連接0?？傻?。8=8,

"：AB=AD,

二/E垂直平分8。，

在對△BOE中,OB=3,cos4B0E=3,

5

：.OE3

5

根據(jù)勾股定理得：嶼網(wǎng)02_0后2=絲，CE=OC-OE=^.,

55

在.R仙CEB中,BC=.CE2+BE2=4.

；OB=3,BC=4,OC=5,

.*.OS2+5C2=OC2,

Z08c=90。，BPBCLOB,

則8c為圓。的切線.

點評：此題考查了切線的判定，勾股定理及逆定理，熟練掌握切線的判定方法是解本

題的關(guān)鍵.

8.（2015?錦州）如圖，△NBC中，以力C為直徑的。。與邊45交于點。，點￡為。O

上一點，連接CE并延長交于點尸，連接ED

（1）若NB+NFED=90。,求證：8C是。。的切線；

（2）若FC=6,DE=3,FD=2,求。0的直徑.

考點：切線的判定.

分析：（1）利用圓內(nèi)接四邊形對角互補以及鄰補角的定義得出進而得

出N8+N/=90。，求出答案；

（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)首先得出進而求出即可.

解答：（1）證明：VZA+ZDEC=180°,NFED+NDEC=18O。,

：.NFED=NA,

；N8+/F￡O=90°,

ZB+ZA=90°,

：.ZBCA=90a,

.?.8C是。。的切線；

（2）解：,:NCFA=NDFE,NFED=N4,

△FEDsMAC,

?DF.DE

"FC-AC，

-2_3

‘6AC,

解得：AC=9,即。。的直徑為9.

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定等知識，得出△尸皮＞

s△尸/c是解題關(guān)鍵.

9.（2015?甘孜州）如圖，4/鳥。為等邊三角形，以邊為直徑的半圓與邊AC

分別交于。，尸兩點,過點。作。EL4C,垂足為點E.

（1）判斷。尸與。。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）過點尸作切_L8C,垂足為點，，若止4,求尸，的長（結(jié)果保留根號）.

考點：切線的判定.

分析：(1)連接。￡),由等邊三角形的性質(zhì)得出N8=8C,Z5=ZC=60°,證出AOBO

是等邊三角形，得出N80D=/C,證出8〃/C,得出。即可得出結(jié)論；

(2)先證明AOC尸是等邊三角形，得出CF=OC」8C=LB=2,再由三角函數(shù)即可求出

22

FH.

解答：解：(1)是。。的切線；理由如下:

連接0。如圖1所示：

是等邊三角形，

：.AB=BC=AC,ZB=ZC=60°,

'：OB=OD,

...△08。是等邊三角形，

二ZBOD=60°,

：.ZBOD=ZC,

：.OD//AC,

,：DEA.AC,

J.DELOD,

是。。的切線；

(2)連接OR如圖2所示：

?：OC=OF,ZC=60°,

/是等邊三角形，

???CF=OC=^BC=1AB=2,

22

?；FH上BC,

：./FHC=90°,

：.FH=CF?sinZC=2

圖'

點評：本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線的判定、三角函數(shù)；

熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵.

10.(2015?包頭)如圖，48是。。的直徑，點。是眾上一點，且NBDE=NCBE,BD

與AE交于點F.

(1)求證：8c是。。的切線；

(2)若BD平分N4BE,求證：DE2=DF?DB；

(3)在(2)的條件下，延長B4交于點P,PA=AO,DE=2,求PO的長和。。

的半徑.

考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：(1)根據(jù)圓周角定理即可得出NE/B+/EA4=90。，再由已知得出NNBE+N

CBE=90°,則從而證得8c是。。的切線；

(2)通過證得得出相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可證得結(jié)論.

(3)連接。/、DO,先證得OO〃8E,得出口!』2,然后根據(jù)已知條件得出

PEPB

PQ_PD_PD_2,求得尸。=4,通過證得APD4s△POD,得出PD_PA，設(shè)OA=x則

PB-PEPD+DE3P0PDf

PA=x,PO=2x,得出_1=工，解得。4=2加.

2x4

解答：（1）證明：,?ZB是。。的直徑，

J/AEB=90°,

：.ZEAB+ZEBA=90°9

■:/EDB=/EAB,/BDE=/CBE,

:?NEAB:NCBE,

JNABE+NCBE=90。,

J.CBA.AB,

??ZB是。。的直徑，

.?.8C是。。的切線；

(2)證明：,:BD平分乙4BE,

：.ZABD=ZDBE,AD=DE，

二/DEA=/DBE,

'：ZEDB=ZBDE,

：.△DEFSXDBE,

.DE-DF

，,DB~DE，

：.DE2=DF?DB；

(3)解：連接。/、DO,

\'OD=OB,

：.NODB=NOBD,

,ZNEBD=NOBD,

：./EBD=/ODB,

：.OD//BE,

.PD_PO

，,PE-PB，

'：PA=AO,

：.PA=AO=OB,

-PQ_2

*'PB~3

?PD,2

，,PE-3，

-PD_2

"PD+DE3'

,:DE=2,

:.PD=4,

NPO4+N4DE=180。,ZABE+ZADE=180°,

：.NPDA=NABE,

'：OD//BE,

：.NAOD=NABE,

：.ZPDA=ZAOD,

"：NP=NP,

：./\PDA^/\POD,

.PD_PA

"'POPD

設(shè)OA=x,

:.PA=x,PO=2x,

?-?4一_x,

2x4_

2X2-16,X=2-\[2,

：.OA=2y/2.

E

D

、一

~0

點評：本題考查了切線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)；要證某線是圓的切線，已

知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可.

11.（2015?本溪）如圖，點。是等邊△力3c中8c邊的延長線上一點，且/C=C3,以

為直徑作。O,分別交邊/C、BC于點、E、點F

（1）求證：是。。的切線；

（2）連接OC,交。。于點G,若4B=4,求線段CE、CG與彘圍成的陰影部分的面積

考點：切線的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算.

分析：（1）求出ND4C=3O。，即可求出NN8=90。，根據(jù)切線的判定推出即可;

（2）連接OE,分別求出△/OE、AAOC,扇形OEG的面積，即可求出答案.

解答：（1）證明：???△Z8C為等邊三角形，

：.AC=BC,

又,：心CD,

:.AC=BC=CD,

為直角三角形，

：.ABLAD,

■:AB為直徑，

二/。是。。的切線；

VOA=OE,ZBAC=600,

...△O/E是等邊三角形,

???NAOE=60°,

9：CB=BA,OA=OB,

COLAB,

：.ZAOC=90°,

：.ZEOC=30°,

???△Z8C是邊長為4的等邊三角形，

：.A0=2f由勾股定理得：OC=q/一井2炳,

同理等邊三角形片邊A0上高是｛22-I2=炳,

22a-費?2?近一30?兀?271

S陰影=SZM（。。-S繆邊AAOE-S/形EOG=-

2360~3

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形面積，扇形的面積,

切線的判定的應(yīng)用，能綜合運用定理進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵.

12.（2015?常德）已知如圖，以M△力8c的/C邊為直徑作。0交斜邊Z8于點E,連

接EO并延長交8c的延長線于點。，點尸為8C的中點，連接E尸.

（1）求證：EF是。。的切線；

（2）若。。的半徑為3,NE4c=60。，求4）的長.

考點：切線的判定.

分析：（1）連接尸0,由F為BC的中點，AO=CO,得到。尸〃Z8,由于ZC是。。

的直徑，得出CEUE,根據(jù)OF//AB,得出OFLCE,于是得到OF所在直線垂直平分

CE,推出尸C=FE,OE=OC,再由N/C8=90°,即可得到結(jié)論.

（2）證出A/OE是等邊三角形，得到NEO/=60。，再由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

解答：證明：（1）如圖1,連接尸0,

?.?尸為BC的中點,AO=CO,

：.OF//AB,

?.?/c是。。的直徑，

：.CE±AE,

'：OF//AB,

：.OF±CE,

...O尸所在直線垂直平分CE,

：.FC=FE,OE=OC,

:.NFEC=/FCE,Z0EC=Z0CE,

,：NACB=9Q。,

即：N0CE+/FCE=90°,

：.NQEC+NFEC=9。。,

即：NFEO=90°,

，/方為。。的切線；

（2）如圖2,:。。的半徑為3,

：.AO=CO=EO=3,

VZEAC=60a,OA=OE,

：.ZEOA=60°,

：.NCOD=NEO4=6。。,

,在向△OC。中，ZCOD=E>0",OC=3,

：.CD=y/3,

,在&中，ZACD=90°,

CZ）=3V3，AC=6,

：.AD=3y[j.

點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直

平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

13.（2015?武漢）如圖，是。。的直徑，NABT=45°,AT=AB.

（1）求證：ZT是。。的切線；

（2）連接。7交。。于點C,連接/C,求S〃N〃C.

考點：切線的判定；解直角三角形.

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得N7X8=90。，得出以，/及從而證得Z7是

。。的切線；__

（2）作CDLNT于。，設(shè)。/=x,則Z7=2x,根據(jù)勾股定理得出。7=后，TC=（遙-

l）x,由CDLAT,8得出CD〃AB,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出里匹=芟,

_0A0TTA

即0=（遙二1）XJD,從而求得co=（1-近）x,AD=2x-2（1-近）x必近x,

xv5x2x555

然后解正切函數(shù)即可求得.

解答：解：（1）VZABT=45°,AT=AB.

：.ZTAB=90°,

：.TALAB,

???Z7是。。的切線；

（2）作CQ_LZT于。，

VL41J5,TA=AB=20A,

設(shè)則NT=2x,

or=Vsv,

:?TC=（遍-1）x,

CDVAT,TALAB

：.CD//AB,

.CD-TC-TD即CD_（泥-DLTD

OAOTTAxV5x2x

:?CD=（1-亞）X,77）=2（1-近）X,

55

：.AD=2x-2（1-近）x=^&x,

55

tanNTAC二）」=上Si”

AD2限2

點評：本題考查了切線的判定，勾股定理的應(yīng)用，平行線的判定和性質(zhì)，解直角三角

形等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.

14.（2015?衡陽）如圖，是。。的直徑，點C、。為半圓。的三等分點，過點C

作CE，/。，交的延長線于點E.

（1）求證：CE是。。的切線；

（2）判斷四邊形/OCO是否為菱形？并說明理由.

考點：切線的判定；菱形的判定.

分析：（1）連接4C，由題意得俞=而=而，NDAC=NCAB,即可證明ZE〃OC,從

而得出NOC￡=90。，即可證得結(jié)論;

(2)四邊形/。8為菱形.由法合，則NZ)C/=NC/8可證明四邊形/。8是平行

四邊形，再由0/=0C,即可證明平行四邊形/。8是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊

形是菱形)；

解答：解：(1)連接/C,

,/點CD是半圓O的三等分點，

.,?^=CD=CB，

:./DAC=NCAB,

?：OA=OC,

：.ZCAB=ZOCA,

：.NDAC=NOCA,

北〃OC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)

：.ZOCE=ZE,

'：CE±AD,

：.NOC￡=90°,

.".OCLCE,

；.CE是。。的切線；

(2)四邊形/。8為菱形.

理由是：

VAD=CB.

ZDCA=ZCAB,

：.CD//OA,

又,：AE〃OC,

：.四邊形AOCD是平行四邊形,

"：OA=OC,

平行四邊形是菱形.

點評：本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、菱形的判

定和性質(zhì)，是中學階段的重點內(nèi)容.

15.(2015?攀枝花)如圖，在。。中，4B為直徑,OCLZ8,弦CD與OB交于點F,

在43的延長線上有點E,且EF=ED.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)若OF：OB=1：3,。。的半徑R=3,求她的值.

AD

c

考點：切線的判定.

專題：證明題.

分析：（1）連結(jié)O。，如圖，由EF=ED得到NEFD=NEDF,再利用對頂角相等得N

EFD=ZCFO,則由于/OCF+/CFO=90°,ZOCF=ZODF,則/ODC+

NEDF=90。,于是根據(jù)切線的判定定理可得DE是。O的切線；

（2）由OF：05=1：3得到OF=1,BF=2,設(shè)5E=x,則。E=EF=x+2,根據(jù)圓周角定理，

由為直徑得到/力。8=90。，接著證明利用相似比得里正區(qū)以，即

AEDEAD

x+2-X-BD然后求出X的值后計算些的值.

6+xx+2ADAD

解答：（1）證明：連結(jié)OD,如圖,

,:EF=ED,

：./EFD=/EDF,

?IZEFD=ZCFOf

：.ZCFO=ZEDFf

丁OC.LOF,

/.ZOCF+ZCFO=90°,

而OC=OD,

：.ZOCF=ZODFf

：.NODC+NEDF=90。,即ZODE=90°f

：.ODLDE,

???DE是。。的切線；

(2)解：VOF：05=1：3,

AOF=1,BF=2,

設(shè)則DE=EE=x+2,

9：AB為直徑，

JZADB=90°f

：.NADO;NBDE,

而NADO=N4

：.ZBDE=ZAf

而/BED=/DAE,

:.AEBDsAEDA,

?DE=BE=BD,即x+2=xBD,

AEDEAD6+xx+2AD

.*.x=2,

.BD,2,1

'*AD2+22,

c

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的

切線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再

證垂直即可.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

16.(2015?河池)如圖，為。。的直徑，COJ_/8于。，。在。。上，連接8￡),

CD,延長CD與Z5的延長線交于瓦尸在8E上，且FD=FE.

(1)求證：尸。是。。的切線；

(2)若4F=8,tanZBDF=l,求E/的長.

4

考點：切線的判定.

專題：證明題.

分析：(1)連結(jié)0。，如圖，由CO1_Z8得/E+/C=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由

FE=FD,OO=OC得到NE=NEDE,ZC=ZODC,于是有NEDE+NOOC=90。，則可根

據(jù)切線的判定定理得到FD是。O的切線；

(2)連結(jié)4),如圖，利用圓周角定理，由N8為。。的直徑得到乙4。8=90。，則N/+

ZABD=90°,加上/BDF+/ODB=9。。,^\ZA=ZBDF,易得AFBDS

△FDA,根據(jù)相似的性質(zhì)得巫國,

AFAD

再在吊中，根據(jù)正切的定義得到tanZA=tanZBDF=^^-,于是可計算出DF=2,

AD4

從而得到EF=2.

解答：(1)證明：連結(jié)OD,如圖，

,：COVAB,

：.ZE+ZC=90°,

'：FE=FD,OD=OC,

:.NE=NFDE,/C=NODC,

ZFDE+ZODC=90°,

：.NOD尸=90°,

：.ODVDF,

.?.尸￡＞是€)0的切線；

(2)解：連結(jié)如圖，

?.75為。。的直徑，

N/Q8=90。，

乙4+//3。=90。，

'：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZA+ZODB=90°,

?//BDF+/ODB=90。,

：.ZA=ZBDF,

而/DFB=N4FD,

：.AFBDSAFDA,

?DF-BD

??屈而

在孫中，tanZA=tanZBDF=^^.,

AD4

?.?DF―_1,

84

：.DF=2,

：.EF=2.

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切

線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證

垂直即可.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

17.（2015?畢節(jié)市）如圖，以A/8C的8c邊上點O為圓心的圓，經(jīng)過4,8兩點，

且與8c邊交于點￡,。為BE的下半圓弧的中點，連接4）交8C于尸，AC=FC.

（1）求證：4C是。。的切線；

（2）已知圓的半徑R=5,EF=3,求。尸的長.

考點：切線的判定.

專題：證明題.

分析：（1）連結(jié)OD,如圖，根據(jù)垂徑定理的推理，由。為的下半圓弧的

中點得到。。_L8E,則N￡）+N￡）R9=90。，再由ZC孑C得到氏/,根據(jù)對頂角

相等得所以/CAF=/DFO,加上NO/Z)=/OZ)R則/。4D+N

CAF=90°,于是根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是。O的切線；

(2)由于圓的半徑R=5,EF=3,則。尸=2,然后在尺也。。尸中利用勾股定理計算。F

的長.

解答：(1)證明：連結(jié)04、0D,如圖，

,:D為BE的下半圓弧的中點，

.,.0DA.BE,

：.ZD+ZDFO^O°,

'：AC=FC,

：.ZCAF=ZCFA,

,/NCFA=/DFO,

：.ZCAF=ZDF0,

而OA=OD,

：.ZOAD=ZODF,

：.ZOAD+ZCAF=90°,即/。ZC=90°,

：.OA±AC,

...AC是。。的切線；

(2)解：?.,圓的半徑火=5,EF=3,

：.OF=2,

在放A。。尸中，：8=5,0F=2,

.?.小%2-22=&L

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的

切線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再

證垂直即可.也考查了勾股定理.

18.(2015?鹽城)如圖，在△Z8C中，ZCAB=90°,NCBA=50°,以ZB為直徑作。0

交BC于點。，點E在邊ZC上，且滿足EZ)=E4.

(1)求NDO4的度數(shù)；

(2)求證：直線即與。。相切.

考點：切線的判定.

分析：(1)根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；

(2)連接0E,通過AE/。絲△皮＞。，即可得到/￡。。=90。，于是得到結(jié)論.

解答：(1)解；VZDBA=50°,

：.ZDOA=2ZDBA=100°,

(2)證明：連接

'AO=DO

在與4EDO中，＜EA=ED，

EO=EO

/\EAO^/\EDO,

二NEDO=/EAO,

'：NA4c=90。，

二ZEDO=90a,

與。。相切.

點評：本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，連接OE構(gòu)造全等三角形

是解題的關(guān)鍵.

19.(2015?懷化)如圖，在心△X8C中，ZACB=90°,E是8c的中點，以XC為直徑

的。。與力8邊交于點。，連接。E

(1)求證：&ABCs/\CBD；

(2)求證：直線?！晔?。。的切線.

考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：(1)根據(jù)/C為。。的直徑，得出ABC。為/?/△,通過已知條件證明ABCOs

△8/C即可；

(2)連結(jié)￡)0,如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，由N8Z)C=90。，E