2023年導(dǎo)數(shù)知識點各種題型歸納方法總結(jié)

導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識一.導(dǎo)數(shù)的定義：２.運用定義求導(dǎo)數(shù)的環(huán)節(jié)：①求函數(shù)的增量:;②求平均變化率：;③取極限得導(dǎo)數(shù):（下面內(nèi)容必記)二、導(dǎo)數(shù)的運算:(1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及常用導(dǎo)數(shù)運算公式：①;②；；③；④⑤⑥；⑦；⑧法則1：;(口訣：和與差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和與差).法則２:（口訣：前導(dǎo)后不導(dǎo)相乘,后導(dǎo)前不導(dǎo)相乘，中間是正號）法則３：(口訣：分母平方要記牢,上導(dǎo)下不導(dǎo)相乘,下導(dǎo)上不導(dǎo)相乘，中間是負號）(2）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法：①換元,令，則②分別求導(dǎo)再相乘③回代題型一、導(dǎo)數(shù)定義的理解題型二:導(dǎo)數(shù)運算1、已知，則２、若,則３.=aｘ3＋３ｘ2+２,，則a=（)三．導(dǎo)數(shù)的物理意義1．求瞬時速度:物體在時刻時的瞬時速度就是物體運動規(guī)律在時的導(dǎo)數(shù),即有。２．V=s/(ｔ)表達即時速度。ａ=v／（t)表達加速度。四.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點處切線的斜率是。于是相應(yīng)的切線方程是:。題型三．用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線注意兩種情況:（1)曲線在點處切線：性質(zhì)：。相應(yīng)的切線方程是:（２)曲線過點處切線:先設(shè)切點,切點為,則斜率k=,切點在曲線上,切點在切線上,切點坐標代入方程得關(guān)于a,ｂ的方程組，解方程組來擬定切點,最后求斜率k＝,擬定切線方程。例題在曲線y=ｘ3+３x２+6x-10的切線中,求斜率最小的切線方程;解析:（1)當(dāng)x0＝-１時,ｋ有最小值3，此時P的坐標為(-1,-14）故所求切線的方程為3x-ｙ-１1=0五．函數(shù)的單調(diào)性:設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);(2）該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；注意:當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)個別點處為零，在其余點處為正（或負）時，在這個區(qū)間上仍是遞增（或遞減）的。(3)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立；(4)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立;題型一、運用導(dǎo)數(shù)證明（或判斷)函數(shù)ｆ(x)在某一區(qū)間上單調(diào)性:環(huán)節(jié):(1）求導(dǎo)數(shù)(2)判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的符號（３)下結(jié)論①該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);②該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);題型二、運用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的環(huán)節(jié)為:（1）分析的定義域;（2）求導(dǎo)數(shù)(3）解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（４)解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間題型三、運用單調(diào)性求參數(shù)的取值(轉(zhuǎn)化為恒成立問題）思緒一.（1）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立;（2）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立；思緒二.先求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間，則已知中限定的單調(diào)增或減區(qū)間是定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間的子集。注意:若函數(shù)f（x）在(ａ,ｃ）上為減函數(shù)，在(ｃ,b)上為增函數(shù),則ｘ=ｃ兩側(cè)使函數(shù)(x）變號，即ｘ＝c為函數(shù)的一個極值點，所以例題．若函數(shù),若則()A.ａ<ｂ<cB．c<b<ａC.c<ａ<ｂD.b<a<c六、函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:1.①極值的定義：設(shè)函數(shù)在點附近有定義，且若對附近的所有的點都有(或,則稱為函數(shù)的一個極大(或?。┲?，為極大（或極小)值點。②可導(dǎo)數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為０（即),但函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)為0,并不一定函數(shù)在該處取得極值(如在處的導(dǎo)數(shù)為０，但沒有極值）。③求極值的環(huán)節(jié):第一步：求導(dǎo)數(shù)；第二步：求方程的所有實根;第三步：列表考察在每個根附近,從左到右,導(dǎo)數(shù)的符號如何變化，若的符號由正變負,則是極大值;若的符號由負變正,則是極小值;若的符號不變,則不是極值,不是極值點。2、函數(shù)的最值:①最值的定義：若函數(shù)在定義域D內(nèi)存，使得對任意的，都有,（或）則稱為函數(shù)的最大(?。┲?，記作(或)②假如函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值。③求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值方法：第一步；求在區(qū)間內(nèi)的極值；第二步：比較的極值與、的大小:第三步:下結(jié)論:最大的為最大值,最小的為最小值。注意:1、極值與最值關(guān)系：函數(shù)的最值是比較整個定義域區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的最大值和最小值點可以在極值點、不可導(dǎo)點、區(qū)間的端點處取得。極值≠最值。函數(shù)ｆ(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值為極大值和f(ａ)、f(ｂ）中最大的一個。最小值為極小值和f(ａ)、f(b)中最小的一個。2.函數(shù)在定義域上只有一個極值，則它相應(yīng)一個最值(極大值相應(yīng)最大值；極小值相應(yīng)最小值)3、注意：極大值不一定比極小值大。如的極大值為,極小值為２。注意：當(dāng)x=ｘ０時,函數(shù)有極值f/（ｘ0)=0。但是,ｆ/（x０)＝0不能得到當(dāng)x＝x0時，函數(shù)有極值;判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明。題型一、求極值與最值題型二、導(dǎo)數(shù)的極值與最值的應(yīng)用題型四、導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)系導(dǎo)函數(shù)原函數(shù)的符號單調(diào)性與x軸的交點且交點兩側(cè)異號極值的增減性的每一點的切線斜率的變化趨勢(的圖象的增減幅度)的增的每一點的切線斜率增大（的圖象的變化幅度快)減的每一點的切線斜率減?。ǖ膱D象的變化幅度慢)例1.已知f(ｘ)=eｘ-ax-1．（1)求ｆ(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)若f(x）在定義域Ｒ內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）是否存在ａ，使f(x)在（－∞，0]上單調(diào)遞減,在[０,+∞)上單調(diào)遞增？若存在，求出ａ的值;若不存在，說明理由.解：＝ex-a.(１)若a≤0,＝eｘ-a≥0恒成立，即f(ｘ)在R上遞增.若a>0,ex-a≥０,∴ｅx≥a，x≥lｎa．∴f(ｘ）的單調(diào)遞增區(qū)間為(lｎa,+∞).(2)∵f（x)在R內(nèi)單調(diào)遞增,∴≥0在R上恒成立.∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立．∴a≤(ex）min，又∵ex>0,∴a≤０.(3)由題意知，x=0為ｆ（x)的極小值點.∴＝0,即ｅ0-a=0,∴a＝1.例2.已知函數(shù)f(ｘ)＝x3+ax２+bx+c，曲線ｙ=f（x)在點ｘ=1處的切線為ｌ：3x-ｙ+1=０，若x=時，ｙ＝f(x）有極值.（１)求ａ，b,ｃ的值；（2）求y=f(x)在［-3,１]上的最大值和最小值.解（１）由ｆ（ｘ)=x３+ａｘ２+bx＋ｃ,得=3x２+2aｘ+b,當(dāng)ｘ=１時，切線ｌ的斜率為３,可得２ａ+b=0①當(dāng)x=時,y=f(ｘ)有極值,則＝０，可得4ａ+3b＋4=0②由①②解得a=2，ｂ=-4．由于切點的橫坐標為x=1,∴f(１)＝4.∴１+a+b+c=４.∴ｃ＝5.（2）由（１）可得f(x)=x3+2x２-4ｘ+5,∴=３x2+4x-4,令=0,得ｘ=－２，x=.當(dāng)x變化時,y,y′的取值及變化如下表:ｘ-３(-3,-2)－2１y′+0-0＋ｙ8單調(diào)遞增↗13單調(diào)遞減↘單調(diào)遞增↗4∴y=ｆ(x）在［-３，1］上的最大值為１3,最小值為例3.當(dāng)，證明不等式.證明：,,則，當(dāng)時。在內(nèi)是增函數(shù)，,即，又，當(dāng)時,，在內(nèi)是減函數(shù),,即，因此，當(dāng)時,不等式成立.點評:由題意構(gòu)造出兩個函數(shù)，.運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或求最值，從而導(dǎo)出是解決本題的關(guān)鍵.七定積分求值1.定積分的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則２.用定義求定積分的一般方法是：①分割:等分區(qū)間；②近似代替：取點;③求和:;④取極限：3.曲邊圖形面積：;在軸上方的面積取正,下方的面積取負變速運動路程；變力做功4．定積分的性質(zhì)性質(zhì)1（其中ｋ是不為0的常數(shù)）性質(zhì)2性質(zhì)3（定積分對積分區(qū)間的可加性)５.定理函數(shù)是上的一個原函數(shù),即則導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)(一）關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的重要解法：1、分離變量;2變更主元；３根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（1)對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系(2)端點處和頂點是最值所在(二)分析每種題型的本質(zhì),你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充足應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。（三）同學(xué)們在看例題時，請注意尋找關(guān)鍵的等價變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立;1、此類問題提倡按以下三個環(huán)節(jié)進行解決：第一步：令得到兩個根;第二步:畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題,2、常見解決方法有三種：第一種：分離變量求最值－---－用分離變量時要特別注意是否需分類討論(>0,=0，<0)第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù))-----(已知誰的范圍就把誰作為主元）;例１:設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為,在區(qū)間Ｄ上的導(dǎo)數(shù)為,若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”,已知實數(shù)m是常數(shù)，（１）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍;(２)若對滿足的任何一個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值．解：由函數(shù)得（1）在區(qū)間上為“凸函數(shù)”,則在區(qū)間[0,3］上恒成立解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于解法二:分離變量法:∵當(dāng)時,恒成立，當(dāng)時,恒成立等價于的最大值（）恒成立,而（)是增函數(shù),則(2）∵當(dāng)時在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”則等價于當(dāng)時恒成立變更主元法再等價于在恒成立(視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題)-22-22例2：設(shè)函數(shù)（Ⅰ)求函數(shù)f（x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(Ⅱ）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.(二次函數(shù)區(qū)間最值的例子)解:(Ⅰ）3aa3aaa3aa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,３a）令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（-，a)和（３a,+)?∴當(dāng)x=a時，極小值=當(dāng)x=３a時,極大值=b． （Ⅱ)由｜｜≤a，得：對任意的恒成立①則等價于這個二次函數(shù)的對稱軸（放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數(shù)的最值問題:單調(diào)增函數(shù)的最值問題。上是增函數(shù). (9分）∴于是，對任意,不等式①恒成立,等價于又∴點評:重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法:對稱軸(重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系第三種:構(gòu)造函數(shù)求最值題型特性：恒成立恒成立;從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3;已知函數(shù)圖象上一點處的切線斜率為，（Ⅰ）求的值;（Ⅱ)當(dāng)時,求的值域；（Ⅲ）當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)t的取值范圍。解：（Ⅰ)∴，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又∴的值域是(Ⅲ)令思緒1:要使恒成立,只需,即分離變量思緒2:二次函數(shù)區(qū)間最值二、已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1:轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎(chǔ)題型解法2:運用子區(qū)間（即子集思想）;一方面求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間,然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時一定要看清楚“在(m,ｎ）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：已知,函數(shù)．(Ⅰ)假如函數(shù)是偶函數(shù),求的極大值和極小值；(Ⅱ)假如函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．解:．(Ⅰ）∵是偶函數(shù)，∴.此時，，令,解得：.列表如下:(－∞,－２)-2（-2，２）２(2，+∞）+0－０+遞增極大值遞減極小值遞增可知：的極大值為,的極小值為.(Ⅱ）∵函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),∴,在給定區(qū)間R上恒成立判別式法則解得:.綜上,的取值范圍是.例5、已知函數(shù)(I）求的單調(diào)區(qū)間；（II)若在[0，1]上單調(diào)遞增，求ａ的取值范圍。子集思想(Ｉ）1、當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號，單調(diào)遞增。2、a-1-1單調(diào)增區(qū)間:a-1-1單調(diào)增區(qū)間:(II）當(dāng)則是上述增區(qū)間的子集:1、時,單調(diào)遞增符合題意2、，綜上，ａ的取值范圍是[0，1］。三、根的個數(shù)問題提型一函數(shù)f(x）與ｇ(x)（或與x軸)的交點===＝＝=即方程根的個數(shù)問題解題環(huán)節(jié)第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式)和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大體趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”;第二步:由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）;重要看極大值和極小值與０的關(guān)系;第三步:解不等式(組）即可；例6、已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)．求實數(shù)的取值范圍;若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．解:（1）由題意∵在區(qū)間上為增函數(shù),∴在區(qū)間上恒成立（分離變量法）即恒成立,又，∴，故∴的取值范圍為(２)設(shè)，令得或由（1)知,①當(dāng)時,,在R上遞增,顯然不合題意…②當(dāng)時,，隨的變化情況如下表:—↗極大值↘極小值↗由于,欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即∴，解得綜上，所求的取值范圍為根的個數(shù)知道,部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)（1)若是的極值點且的圖像過原點,求的極值；（２)若，在(1)的條件下，是否存在實數(shù),使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數(shù)的取值范圍;否則說明理由。解：(1)∵的圖像過原點,則,又∵是的極值點，則-1-1（2)設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個不同交點,等價于有含的三個根,即:整理得:即：恒有含的三個不等實根（計算難點來了:)有含的根，則必可分解為,故用添項配湊法因式分解,十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于－1的不等實根。題型二：切線的條數(shù)問題＝=＝=以切點為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)例7、已知函數(shù)在點處取得極小值-4,使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求:(1）的解析式;（２）若過點可作曲線的三條切線,求實數(shù)的取值范圍.（1)由題意得:∴在上；在上;在上因此在處取得極小值∴①，②,③由①②③聯(lián)立得：,∴?(2）設(shè)切點Q,過令，求得:,方程有三個根。需:故：；因此所求實數(shù)的范圍為：題型三：已知在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個數(shù)解法:根分布或判別式法例8、解：函數(shù)的定義域為(Ⅰ)當(dāng)m=4時，f(x)=eq\f(１,3)x3－ｅｑ\f(7,2)ｘ２＋１０x，＝x２－7x＋10，令，解得或．令,解得可知函數(shù)ｆ(ｘ)的單調(diào)遞增區(qū)間為和（5,＋∞）,單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ)=ｘ2－(ｍ＋3）ｘ+m+6,1要使函數(shù)y＝ｆ(x)在（1,+∞)有兩個極值點,=x２－(ｍ+3)ｘ＋m+6=0的根在(１,＋∞)1根分布問題：則，解得m>3例9、已知函數(shù),（1)求的單調(diào)區(qū)間;(2）令=x4+f（x）（x∈R)有且僅有３個極值點，求a的取值范圍.解:(1)當(dāng)時，令解得,令解得,所以的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.當(dāng)時,同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）有且僅有3個極值點＝0有３個根，則或，方程有兩個非零實根,所以或而當(dāng)或時可證函數(shù)有且僅有3個極值點其它例題：(一)最值問題與主元變更法的例子.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5,最小值是－11.(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；(Ⅱ）若時,恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（Ⅰ)令=0,得由于，所以可得下表:0+0-↗極大↘因此必為最大值,∴因此,，即，∴，∴（Ⅱ)∵,∴等價于，令，則問題就是在上恒成立時,求實數(shù)的取值范圍,為此只需，即,解得,所以所求實數(shù)的取值范圍是[０，１］．（二）根分布與線性規(guī)劃例子例：已知函數(shù)(Ⅰ）若函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點處的切線與直線平行,求的解析式;(Ⅱ)當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時，設(shè)點所在平面區(qū)域為S，通過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分,求直線L的方程．解：（Ⅰ）．由,函數(shù)在時有極值,∴∵∴又∵在處的切線與直線平行,∴故∴…….7分(Ⅱ)解法一：由及在取得極大值且在取得極小值，∴即令,則∴∴故點所在平面區(qū)域S為如圖△ＡＢＣ,易得,，,,,同時DE為△ABC的中位線，∴所求一條直線L的方程為:另一種情況設(shè)不垂直于ｘ軸的直線L也將S分為面積比為１：3的兩部分,設(shè)直線Ｌ方程為,它與ＡＣ，BC分別交于Ｆ、G，則，由得點F的橫坐標為：由得點G的橫坐標為:∴即解得:或（舍去）故這時直線方程為:綜上,所求直線方程為：或.…………….………….12分(Ⅱ）解法二:由及在取得極大值且在取得極小值,∴即令，則∴∴故點所在平面區(qū)域S為如圖△AＢC,易得，,,,，同時DE為△ＡBC的中位線,∴所求一條直線L的方程為:另一種情況由于直線BO方程為：,設(shè)直線BO與AＣ交于H，由得直線L與AC交點為:∵,