2023版高中數(shù)學(xué)第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)3.2指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)學(xué)案北師大版必修1

3.2指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，會(huì)進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化．(重點(diǎn))2.了解無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的概念，了解無(wú)理數(shù)指數(shù)冪可以用實(shí)數(shù)指數(shù)冪逼近的思想方法．(易混點(diǎn))3.掌握指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，能熟練地進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算．(重難點(diǎn))[根底·初探]教材整理1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪閱讀教材P64～P66的有關(guān)內(nèi)容，完成以下問(wèn)題．1.定義給定正實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意給定的正整數(shù)m，n(m，n互素)，存在唯一的正實(shí)數(shù)b，使得bn＝am，把b叫作a的eq\f(m,n)次冪，記作b＝，它就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．2.幾個(gè)結(jié)論(1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的根式形式：＝eq\r(n,am)(a>0)．(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．判斷(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)表示eq\f(2,3)個(gè)2相乘．()(2)＝eq\r(m,an)(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．()(3)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．()【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)閱讀教材P66～P67的有關(guān)內(nèi)容，完成以下問(wèn)題．假設(shè)a>0，b>0，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n指數(shù)運(yùn)算有以下性質(zhì)：(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝；(3)(ab)n＝anbn；(4)當(dāng)a≠0時(shí)，有eq\f(am,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am－nm>n，,1m＝n，,a－n－mm<n；))(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))n＝eq\f(an,bn)(b≠0)．＋160.75＋＝________.【解析】原式＝＋＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))－1＋23＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)＋8＋eq\f(1,2)＝11.【答案】11[小組合作型]根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化將以下根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．(1)eq\r(3,a)·eq\r(4,a)；(2)eq\r(a\r(a\r(a)))；(3)eq\r(3,a2)·eq\r(a3)；(4)(eq\r(3,a))2·eq\r(ab3).【精彩點(diǎn)撥】利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化式子：＝eq\r(n,am)和＝＝eq\f(1,\r(n,am))進(jìn)行轉(zhuǎn)化，注意其中字母a要使式子有意義．【嘗試解答】(1)原式＝·＝；(2)原式＝··＝；(3)原式＝·＝；(4)原式＝()2··＝.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的關(guān)鍵與技巧：1關(guān)鍵：解決根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化問(wèn)題的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用a>0，m，n∈N＋，且n>1.2技巧：當(dāng)表達(dá)式中的根號(hào)較多時(shí)，要搞清被開方數(shù)，由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式寫出來(lái)，然后再利用相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).[再練一題]1.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示以下各式．(1)eq\r(3,a)·eq\r(6,－a)(a<0)；(2)eq\r(3,ab2\r(ab)3)(a，b>0)；(3)(b<0)；(4)eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x≠0)．【解】(1)原式＝·＝·＝(a<0)；(2)原式＝＝(·)eq\f(1,3)＝(a，b>0)；(3)原式＝(b<0)；(4)原式＝.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算計(jì)算以下各式．【精彩點(diǎn)撥】(1)將負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)化為正分?jǐn)?shù)指數(shù)，將小數(shù)指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)；(2)將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算要熟練掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并靈活運(yùn)用.一般地，進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時(shí)還要注意運(yùn)算順序問(wèn)題.[再練一題]2.計(jì)算或化簡(jiǎn)．[探究共研型]條件求值探究1＋＝3，求a＋a－1的值．【提示】(＋)2＝9，∴a＋a－1＝7.探究2在探究1的條件下，求a2＋a－2的值．【提示】(a＋a－1)2＝49，∴a2＋a－2＝47.eq\f(3,2)a＋b＝1，求eq\f(9a×3b,\r(3a))的值．【精彩點(diǎn)撥】應(yīng)先化成同底數(shù)冪的形式．解決此類問(wèn)題的思路步驟如下：[再練一題]3.假設(shè)x>0，y>0，且x－eq\r(xy)－2y＝0，求eq\f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))的值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04100042】【解】∵x－eq\r(xy)－2y＝0，x>0，y>0，∴(eq\r(x))2－eq\r(xy)－2(eq\r(y))2＝0，∴(eq\r(x)＋eq\r(y))(eq\r(x)－2eq\r(y))＝0，由x>0，y>0得eq\r(x)＋eq\r(y)>0，∴eq\r(x)－2eq\r(y)＝0，∴x＝4y，∴eq\f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))＝eq\f(8y－2y,y＋4y)＝eq\f(6,5).1.以下各式正確的選項(xiàng)是()A．(eq\r(3,a))3＝aB．(eq\r(4,7))4＝－7C．(eq\r(5,a))5＝|a|D.eq\r(6,a6)＝a【解析】(eq\r(4,7))4＝7，(eq\r(3,a))3＝a，(eq\r(5,a))5＝a，eq\r(6,a6)＝|a|，應(yīng)選A.【答案】A2.計(jì)算的結(jié)果等于()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C．±eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)【解析】＝＝eq\f(1,3).【答案】B3.(1)eq\r(3,a5)＝________.(2)＝________.【解析】(1)eq\r(3,a5)＝.(2)＝＝eq\f(1,\r(3,a2)).【答案