2023屆高考數(shù)學(xué)專題7.1三視圖與幾何體的體積和表面積同步單元雙基雙測（B卷）文

專題7.1三視圖與幾何體的體積和外表積〔測試時(shí)間：120分鐘總分值：150分〕一、選擇題〔共12小題，每題5分，共60分〕1.一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、和俯視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是〔〕A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱【答案】D【解析】考點(diǎn)：三視圖2.【2023云南曲靖一中質(zhì)檢】一個(gè)四棱錐的三視圖如下圖，關(guān)于這個(gè)四棱錐，以下說法正確的選項(xiàng)是〔〕A.最長的棱長為B.該四棱錐的體積為C.側(cè)面四個(gè)三角形都是直角三角形D.側(cè)面三角形中有且僅有一個(gè)等腰三角形【答案】B【解析】復(fù)原四棱錐，如下圖，由主視圖可知，底面計(jì)算可知B正確，應(yīng)選B．點(diǎn)睛:思考三視圖復(fù)原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對(duì)正，高平齊，寬相等〞的根本原那么，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.3.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】A【解析】試題分析：該幾何體為一個(gè)三棱柱截去一個(gè)三棱錐，所以體積為.考點(diǎn)：空間幾何體的體積.4.【2023江西臨川二中一模】一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體外接球的外表積為〔〕A.B.C.D.【來源】【全國百強(qiáng)?！拷魇∨R川第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第四次月考〔期中〕數(shù)學(xué)〔文〕試題【答案】C【解析】如題，該幾何體如下：那么外接球的半徑，那么外表積，應(yīng)選C。5.一個(gè)空間幾何體的三視圖如下圖，其中正視圖為等腰直角三角形，側(cè)視圖與俯視圖為正方形，那么該幾何體的體積為〔〕A．64B．32C．D．【來源】【百強(qiáng)?！?023屆湖南長沙長郡中學(xué)高三上周測十二數(shù)學(xué)〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】B【解析】考點(diǎn)：1、幾何體的三視圖；2、棱柱的體積公式.【方法點(diǎn)睛】此題主要考查利幾何體的三視圖、棱柱的體積公式，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力及抽象思維能力的最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯〞成直觀圖是解題的關(guān)鍵，解題時(shí)不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對(duì)正，寬相等〞，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響.6.【2023河南漯河中學(xué)三模】三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，那么三棱錐的外接球的球心到平面的距離為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】由圖可知，，得，解得，，應(yīng)選A。點(diǎn)睛：立體幾何問題，立體問題平面化是常用方法。外接球問題首先分析清楚立體圖形的特點(diǎn)，此題中，首先由題意可知在底面的投影是中點(diǎn)，球心在上，從而得到對(duì)應(yīng)的平面圖形，通過方程思想得到等式，解得答案。7.某幾何體三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為〔俯視圖中弧線是圓弧〕〔〕A．B．C．D．【來源】【百強(qiáng)?！?023屆遼寧莊河市高級(jí)中學(xué)高三9月月考數(shù)學(xué)〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】D【解析】考點(diǎn)：由三視圖求體積.8.【2023廣西河池中學(xué)三?！咳忮F中，平面，且，那么該三棱錐的外接球的外表積是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】作的外接圓，過點(diǎn)C作外接圓的直徑CM，連接PM，那么PM為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，如下圖;∵∴又平面∴∴，即∴,應(yīng)選D.9.某棱錐的三視圖如下圖，那么該棱錐的外表積為〔〕A.B.C.D.【來源】【百強(qiáng)?！?023屆江西省紅色七校高三上學(xué)期聯(lián)考一數(shù)學(xué)〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】D【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體為如以下圖所示的四棱錐，且平面，且底面是邊長為的正方形，，所以該棱錐的外表積為，應(yīng)選D.考點(diǎn)：1.三視圖；2.多面體的外表積與體積.【名師點(diǎn)睛】此題考查空間幾何體的三視圖及幾何體的外表積，意在考查學(xué)生的識(shí)圖能力、空間想象能力以及技術(shù)能力；先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計(jì)算出該幾何體各個(gè)外表的面積查加運(yùn)算即可；此題屬于中檔題，是高考常考題型.10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖，那么該幾何體的體積為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】考點(diǎn)：1.三視圖；2.組合體的體積11.，，，是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中△為正三角形，平面，，，那么該球的外表積為〔〕A．B．C．D．【來源】【百強(qiáng)?！?023屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上月考一數(shù)學(xué)〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】D【解析】試題分析：正三角形△外接圓半徑為，所以球的半徑為，因此外表積為，選D.考點(diǎn)：球的外表積【思想點(diǎn)睛】空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)假設(shè)球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形〞成12.圓柱被一個(gè)平面截去一局部后與半球〔半徑為〕組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如下圖，假設(shè)該幾何體的外表積為，那么()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其外表積為==16+20，解得r=2，應(yīng)選B.【考點(diǎn)定位】簡單幾何體的三視圖；球的外表積公式；圓柱的測面積公式。二．填空題〔共4小題，每題5分，共20分〕13.【2023天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)三模】某三棱錐的三視圖如下圖，該三棱錐的體積是__________．【答案】【解析】【方法點(diǎn)睛】此題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯〞成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對(duì)正，寬相等〞，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響.14.一個(gè)四棱錐的三視圖如下圖，其左視圖是等邊三角形，該四棱錐的體積=．【答案】【解析】考點(diǎn)：三視圖15.三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，假設(shè)該棱柱的體積為，，，那么此球的外表積等于__________.【來源】【百強(qiáng)校】2023屆內(nèi)蒙古杭錦后旗奮斗中學(xué)高三上入學(xué)摸底數(shù)學(xué)理試卷〔帶解析〕【答案】【解析】試題分析：由該三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，，設(shè)分別是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，可證就是三棱柱外接球球心，，，即，．所以．考點(diǎn)：棱柱與外接球，球的外表積．【名師點(diǎn)睛】此題考查棱柱與外接球問題，解題的關(guān)鍵是找到外接球的球心．在確定球心時(shí)，注意應(yīng)用球的一個(gè)性質(zhì)得：如果一個(gè)多面體存在外接球，那么多面體的各個(gè)面一定存在外接圓，球心一定在過此外心且與此平面垂直的直線上，對(duì)四面體而言，注意四面體的面是直角三角形的情形．16.在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點(diǎn)，那么三棱錐P－A1MN【考點(diǎn)定位】此題主要考查空間幾何體的三視圖、直觀圖及空間線面關(guān)系、三棱柱與三棱錐的體積等根底知識(shí)，考查空間想象能力、圖形分割與轉(zhuǎn)換的能力，考查根本運(yùn)算能力.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.如下圖，在四棱錐中，底面為菱形，為與的交點(diǎn)，平面，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)．〔1〕證明：直線平面；〔2〕假設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，求三棱錐的體積．【來源】【百強(qiáng)?！?023屆湖南長沙長郡中學(xué)高三上周測十二數(shù)學(xué)〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)，，先利用中位線定理證明，結(jié)合可得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而，由線面平行的判定定理可得結(jié)論；〔2〕先利用等積變換得，再利用棱錐體積公式可得結(jié)果.試題解析：〔1〕證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，∵，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面．〔2〕由條件得，所以，所以．考點(diǎn)：1、直線與平面平行的判定；2、等積變換及棱錐的體積公式.18.【2023江蘇橫林中學(xué)一?！咳鐖D，在正三棱柱中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．求證：∥平面假設(shè)求證：A1B⊥平面B1CE.【答案】詳見解析試題解析證明：(1)連結(jié)AC1，BC1，因?yàn)锳A1C1C是矩形，D是A所以D是AC1的中點(diǎn)．在△ABC1中，因?yàn)镈，E分別是AC1，AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC1.因?yàn)镈E平面BB1C1C，BC1平面BB1C所以ED∥平面BB1C(2)因?yàn)椤鰽BC是正三角形，E是AB的中點(diǎn)，所以CE⊥AB.因?yàn)檎庵鵄1B1C1ABC中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交線為AB，所以CE⊥平面ABB1從而CE⊥A1B.在矩形ABB1A1中，因?yàn)椋訰t△A1B1B∽R(shí)t△B1BE，從而∠B1A1B＝∠BB1因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°所以A1B⊥B1E.因?yàn)镃E，B1E平面B1CE，CE∩B1E＝E，所以A1B⊥平面B1CE.【點(diǎn)睛】證明線面平行有兩種方法：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理去證明，第二可借助面面平行，到達(dá)線面平行，這是不可忽略的一種方法.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點(diǎn)．〔I〕求證：平面；〔II〕求證：平面平面；〔III〕求三棱錐的體積．【答案】〔I〕證明詳見解析；〔II〕證明詳見解析；〔III〕.【解析】試題分析：此題主要考查線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式等根底知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.〔I〕在三角形中，利用中位線的性質(zhì)得，最后直接利用線面平行的判定得到結(jié)論；〔II〕先在三角形中得到，再利用面面垂直的性質(zhì)得平面，最后利用面面垂直的判定得出結(jié)論；〔III〕將三棱錐進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)化，利用，先求出三角形的面積，由于平面，所以為錐體的高，利用錐體的體積公式計(jì)算出體積即可.試題解析：〔Ⅰ〕因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，所以平?〔Ⅱ〕因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫?，所以平?所以平面平面.考點(diǎn)：線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式.20.如圖4，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)?！睮〕證明：平面平面；〔II〕假設(shè)直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積?！敬鸢浮俊睮〕略；(II).【解析】試題解析：〔I〕如圖，因?yàn)槿庵侵比庵?，又是正三角形的邊的中點(diǎn)，所以，因此平面，而平面，所以平面平面。〔II〕設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭钦切?，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直線與平面所成的角，由題設(shè)知，所以，在中，，所以故三棱錐的體積?！究键c(diǎn)定位】柱體、椎體、臺(tái)體的體積；面面垂直的判定與性質(zhì)21.如下圖的多面體中，菱形和直角梯形所在的平面互相垂直，其中為直角，，，．〔1〕求證：平面；〔2〕求多面體的體積．【來源】【百強(qiáng)?！?023屆湖北襄陽四中高三七月周考三數(shù)學(xué)〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕．【解析】試題解析：〔1〕證明：連接交于點(diǎn)，連接．因?yàn)?，且四邊形為菱形，所以．又，，為直角，所以四邊形為矩形，那么，由四邊形為菱形得，又，所以平面，而平面，那么，又，所以，因?yàn)?，故，那么，即，又，所以平面．?〕解：由〔1〕知，平面，所以．考點(diǎn)：1、線面垂直的判定定理與性質(zhì)；2、棱錐的體積公式．22.如圖1，在直角梯形中，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，將沿折起到圖