2018版數(shù)學大復習講義教師版文檔第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I2.6含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1．對數(shù)的概念如果a(a>0,a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么數(shù)b叫作以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b,其中a叫作對數(shù)的底數(shù),N叫作真數(shù)．2．對數(shù)的性質與運算法則(1）對數(shù)的運算法則如果a〉0且a≠1，M>0,N〉0，那么①loga（MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f（M,N）＝logaM－logaN;③logaMn＝nlogaM（n∈R)；eq\f(n，m)logaM(m，n∈R且m≠0）．(2)對數(shù)的性質N；②logaaN＝N（a〉0,且a≠1）．（3)對數(shù)的重要公式①換底公式:logbN＝eq\f(logaN，logab)(a，b>0，a，b≠1，N>0）；②logab＝eq\f（1,logba),推廣logab·logbc·logcd＝logad。3．對數(shù)函數(shù)的圖像與性質a>10<a<1圖像性質（1)定義域：(0，＋∞)（2）值域：R(3）過點(1，0），即x＝1時，y＝0(4)當x〉1時，y〉0,0<x〈1時，y<0(4)當x>1時，y〈0，0〈x<1時，y>0(5）是(0，＋∞)上的增函數(shù)(5）是（0，＋∞）上的減函數(shù)4。反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù),它們的圖像關于直線y＝x對稱．【知識拓展】1．換底公式的兩個重要結論(1)logab＝eq\f(1,logba)；其中a>0且a≠1，b〉0且b≠1，m，n∈R。2．對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1,則該直線與四個函數(shù)圖像交點的橫坐標為相應的底數(shù)．故0〈c<d〈1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．【思考辨析】判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)（1）若MN〉0，則loga(MN)＝logaM＋logaN。(×)（2)logax·logay＝loga（x＋y）．（×)(3)函數(shù)y＝log2x及都是對數(shù)函數(shù)．（×）（4）對數(shù)函數(shù)y＝logax(a〉0且a≠1）在(0，＋∞）上是增函數(shù)．(×）(5)函數(shù)y＝lneq\f（1＋x,1－x）與y＝ln(1＋x）－ln(1－x）的定義域相同．（√）(6）對數(shù)函數(shù)y＝logax(a〉0且a≠1）的圖像過定點（1,0）且過點(a，1),eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,a），－1)），函數(shù)圖像只在第一、四象限．（√）

1．（2016·江西吉安一中期中）log225·log34·log59的值為（）A．6B．8C．15D．30答案B解析log225·log34·log59＝2log25·eq\f（2,log23)·eq\f(2log23，log25）＝8.2．函數(shù)f(x)＝lg(|x|－1）的大致圖像是()答案B解析由函數(shù)f(x）＝lg（｜x｜－1)的定義域為(－∞，－1）∪(1，＋∞），值域為R。又當x>1時,函數(shù)是增加的，所以只有選項B正確．3．已知則()A．a(chǎn)〉b>c B．b〉a〉cC．a(chǎn)>c>b D．c>a〉b答案C解析∵log3eq\f（10，3）〉log33＝1且eq\f(10，3）〈3。4,∴l(xiāng)og3eq\f（10，3)〈log33.4<log23.4.∵log43。6〈log44＝1,log3eq\f(10，3)>1，∴l(xiāng)og43.6<log3eq\f(10，3)?！鄉(xiāng)og23。4>log3eq\f(10,3）>log43。6.由于y＝5x為增函數(shù)，即故a〉c>b。4．（2016·成都模擬)函數(shù)y＝eq\r(log0。54x－3）的定義域為．答案（eq\f（3,4)，1]解析由log0.5（4x－3)≥0且4x－3〉0，得eq\f（3，4）<x≤1.5．(教材改編）若logaeq\f（3，4）<1(a〉0且a≠1），則實數(shù)a的取值范圍是．答案eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,\f（3，4)))∪(1，＋∞)解析當0〈a〈1時，logaeq\f(3，4)<logaa＝1，∴0〈a<eq\f（3,4）；當a〉1時，logaeq\f（3，4）〈logaa＝1,∴a>1.∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（3,4）））∪（1,＋∞）。題型一對數(shù)的運算例1(1）已知loga2＝m,loga3＝n,則a2m＋n＝。（2)計算：eq\f(1－log632＋log62·log618，log64)＝.答案(1）12（2)1解析（1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.(2)原式＝eq\f（1－2log63＋log632＋log6\f（6，3）·log66×3，log64)＝eq\f（1－2log63＋log632＋1－log631＋log63,log64)＝eq\f(1－2log63＋log632＋1－log632,log64）＝eq\f（21－log63,2log62）＝eq\f（log66－log63,log62)＝eq\f（log62，log62)＝1.思維升華對數(shù)運算的一般思路（1）拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形,化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質化簡合并．（2)合:將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算．（1)若a＝log43，則2a＋2－a＝。(2)（2016·濟南模擬)2(lgeq\r（2））2＋lgeq\r(2)·lg5＋eq\r(lg\r（2）2－lg2＋1)＝。答案(1）eq\f（4\r（3)，3)（2）1解析（1）∵a＝log43＝log223＝eq\f（1，2)log23＝log2eq\r(3),＝eq\r(3)＋eq\f(\r（3),3）＝eq\f（4\r(3）,3）。（2）原式＝2×（eq\f（1,2）lg2)2＋eq\f(1,2)lg2×lg5＋eq\r（lg\r（2)－12）＝eq\f（1，2)lg2(lg2＋lg5)＋1－eq\f(1,2)lg2＝eq\f（1，2)lg2＋1－eq\f（1，2)lg2＝1。題型二對數(shù)函數(shù)的圖像及應用例2(1）已知函數(shù)y＝loga(x＋c)（a，c為常數(shù)，其中a>0,a≠1)的圖像如圖，則下列結論成立的是（）A．a(chǎn)〉1，c>1 B．a(chǎn)〉1，0<c〈1C．0〈a<1，c〉1 D．0<a<1,0〈c<1（2）（2016·合肥模擬)當0<x≤eq\f(1，2）時,4x<logax，則a的取值范圍是（)A．(0,eq\f（\r(2）,2)） B．（eq\f(\r（2),2)，1）C．（1，eq\r（2）） D．（eq\r(2)，2)答案(1)D（2）B解析(1)由該函數(shù)的圖像通過第一、二、四象限知該函數(shù)為減函數(shù),∴0<a〈1，∵圖像與x軸的交點在區(qū)間（0，1）之間，∴該函數(shù)的圖像是由函數(shù)y＝logax的圖像向左平移不到1個單位后得到的，∴0<c〈1。(2）構造函數(shù)f(x）＝4x和g（x）＝logax，當a〉1時不滿足條件，當0<a〈1時，畫出兩個函數(shù)在(0,eq\f（1，2）］上的圖像，可知f(eq\f(1,2）)〈g（eq\f(1，2）)，即2〈logaeq\f（1，2)，則a〉eq\f（\r（2),2）,所以a的取值范圍為(eq\f(\r（2）,2)，1)．思維升華（1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖像的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調性（單調區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結合思想求解．（2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖像問題,利用數(shù)形結合法求解．（1)若函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖像如圖所示，則下列函數(shù)圖像正確的是（）(2)（2016·新疆烏魯木齊一診）設f（x)＝|ln（x＋1）｜，已知f（a)＝f(b）(a<b）,則(）A．a(chǎn)＋b>0 B．a(chǎn)＋b〉1C．2a＋b>0 D．2a＋b>1答案(1）B（2)A解析(1）由題意y＝logax（a〉0且a≠1）的圖像過（3,1)點，可解得a＝3。選項A中,y＝3－x＝（eq\f(1，3））x，顯然圖像錯誤；選項B中，y＝x3，由冪函數(shù)圖像性質可知正確；選項C中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖像不符；選項D中，y＝log3(－x）的圖像與y＝log3x的圖像關于y軸對稱，顯然不符，故選B.（2)作出函數(shù)f（x）＝|ln(x＋1)|的圖像如圖所示，由f(a）＝f（b）,得－ln(a＋1）＝ln(b＋1),即ab＋a＋b＝0,0＝ab＋a＋b<eq\f（a＋b2，4）＋a＋b，即（a＋b）(a＋b＋4）〉0，顯然－1〈a<0，b〉0，∴a＋b＋4>0，∴a＋b〉0,故選A。題型三對數(shù)函數(shù)的性質及應用命題點1比較對數(shù)值的大小例3（2015·天津)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2｜x－m|－1(m為實數(shù))為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25），c＝f(2m),則a，b，c的大小關系為()A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a答案C解析由f(x)＝2｜x－m|－1是偶函數(shù)可知m＝0,所以f(x)＝2|x|－1.所以c＝f（0）＝2|0｜－1＝0，所以c<a<b.命題點2解對數(shù)不等式例4(1)若logaeq\f(2,3）<1,則a的取值范圍是．(2）(2016·北京東城區(qū)模擬)已知函數(shù)則不等式f(x)〉1的解集為．答案（1)(0，eq\f(2，3））∪（1，＋∞)（2)(－1,eq\f（1，3)）解析(1)當a>1時,函數(shù)y＝logax在定義域內(nèi)為增函數(shù),所以logaeq\f(2，3）<logaa總成立．當0〈a<1時，函數(shù)y＝logax在定義域內(nèi)是減函數(shù)，由logaeq\f（2,3)〈logaa，得a<eq\f（2，3），故0<a<eq\f(2,3）.綜上，a的取值范圍為（0，eq\f（2,3)）∪（1，＋∞）．（2）若x≤0，則不等式f(x）>1可轉化為3x＋1〉1?x＋1>0?x>－1，∴－1〈x≤0；若x>0，則不等式f(x)〉1可轉化為logx>1?x〈eq\f(1,3）,∴0〈x〈eq\f(1，3）。綜上,不等式f（x）>1的解集是（－1，eq\f（1，3）)．命題點3和對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)例5已知函數(shù)f(x)＝log4（ax2＋2x＋3）．（1)若f（1)＝1，求f(x)的單調區(qū)間；(2）是否存在實數(shù)a，使f(x）的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在,請說明理由．解(1)因為f（1）＝1，所以log4(a＋5）＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，這時f（x)＝log4（－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0，得－1〈x<3,函數(shù)f（x)的定義域為（－1,3)．令g（x)＝－x2＋2x＋3，則g（x）在(－1，1）上遞增，在（1，3）上遞減．又y＝log4x在（0，＋∞)上遞增，所以f（x）的單調遞增區(qū)間是(－1，1），單調遞減區(qū)間是(1,3）．（2）假設存在實數(shù)a，使f(x）的最小值為0，則h（x)＝ax2＋2x＋3應有最小值1,即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a>0，,\f(3a－1，a)＝1，））解得a＝eq\f（1,2）。故存在實數(shù)a＝eq\f（1，2)使f（x)的最小值為0。思維升華(1)對數(shù)值大小比較的主要方法①化同底數(shù)后利用函數(shù)的單調性；②化同真數(shù)后利用圖像比較；③借用中間量(0或1等）進行估值比較．（2)解決與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，首先要確定函數(shù)的定義域，根據(jù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調性，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題．（1）設函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，，1－log2x，x〉1，））則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是()A．［－1,2] B．［0,2］C．［1,＋∞) D．［0，＋∞）(2)若f（x）＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上遞減,則a的取值范圍為()A．[1，2） B．[1,2］C．［1，＋∞） D．[2，＋∞）答案(1）D(2)A解析(1)當x≤1時，21－x≤2,解得x≥0，所以0≤x≤1；當x〉1時，1－log2x≤2，解得x≥eq\f(1,2)，所以x>1。綜上可知x≥0。(2)令函數(shù)g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝（x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數(shù)在（－∞，1]上遞減，則有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(g1>0,,a≥1，))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a〉0，，a≥1,）)解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故選A.3．比較指數(shù)式、對數(shù)式的大小考點分析比較大小問題是每年高考必考內(nèi)容之一：(1)比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小，可以利用函數(shù)的單調性,引入中間量；有時也可用數(shù)形結合的方法．（2）解題時要根據(jù)實際情況來構造相應的函數(shù),利用函數(shù)單調性進行比較,如果指數(shù)相同,而底數(shù)不同則構造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.典例（1）(2016·全國乙卷)若a>b>0，0〈c〈1，則（）A．logac〈logbc B．logca<logcbC．a(chǎn)c〈bc D．ca〉cb(2)（2016·河南八市質檢）若a＝20。3，b＝logπ3,c＝log4cos100，則（）A．b〉c〉a B．b>a>cC．a(chǎn)>b>c D．c〉a>b（3)若實數(shù)a，b，c滿足loga2<logb2〈logc2，則下列關系中不可能成立的是(）A．a(chǎn)〈b〈c B．b<a<cC．c〈b〈a D．a(chǎn)〈c<b解析（1）對A:logac＝eq\f(lgc，lga)，logbc＝eq\f（lgc,lgb），因為0〈c〈1，所以lgc〈0，而a〉b〉0，所以lga>lgb，但不能確定lga、lgb的正負，所以它們的大小不能確定，所以A錯；對B：logca＝eq\f（lga，lgc),logcb＝eq\f（lgb，lgc)，而lga〉lgb，兩邊同乘以一個負數(shù)eq\f（1，lgc）改變不等號方向，所以B正確；對C:由y＝xc在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，即可得到ac〉bc,所以C錯；對D：由y＝cx在R上為減函數(shù)，得ca<cb，所以D錯．故選B.(2)因為20。3〉20＝1，0＝logπ1<logπ3〈logππ＝1，log4cos100〈log41＝0，所以a>b〉c,故選C。（3)由loga2〈logb2〈logc2的大小關系，可知a，b,c有如下四種可能：①1<c〈b〈a；②0〈a〈1〈c<b；③0<b<a〈1<c；④0<c<b<a<1。對照選項可知A中關系不可能成立．答案（1）B（2）C(3)A1．函數(shù)y＝eq\f(lgx＋1，x－1）的定義域是（)A．(－1，＋∞） B．［－1，＋∞）C．（－1，1)∪（1，＋∞） D．［－1,1)∪（1，＋∞）答案C解析要使eq\f(lgx＋1,x－1）有意義,需滿足x＋1>0且x－1≠0，得x>－1且x≠1.2．設a＝log37,b＝21.1，c＝0.83。1，則（)A．b〈a<c B．c<a<bC．c〈b<a D．a(chǎn)〈c〈b答案B解析∵a＝log37，∴1<a〈2.∵b＝21。1，∴b〉2.∵c＝0。83.1，∴0〈c〈1。即c<a〈b,故選B。3．函數(shù)y＝2log4（1－x）的圖像大致是（）答案C解析函數(shù)y＝2log4(1－x)的定義域為(－∞，1）,排除A、B；又函數(shù)y＝2log4（1－x)在定義域內(nèi)是減少的,排除D。故選C.4．（2016·吉林模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（log25－x，x≤1，,fx－1＋1，x>1，））則f(2018）等于（）A．2019 B．2018C．2017 D．2016答案A解析由已知f（2018)＝f(2017）＋1＝f（2016)＋2＝f（2015）＋3＝…＝f(1）＋2017＝log2(5－1）＋2017＝2019。5．(2016·太原模擬）設f(x）＝lg（eq\f（2，1－x)＋a）是奇函數(shù)，則使f（x）〈0的x的取值范圍是（)A．（－1,0) B．(0，1)C．（－∞，0） D．（－∞，0)∪(1，＋∞)答案A解析∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）＝0，即eq\f（2,1－0)＋a＝1，∴a＝－1.∴f（x)＝lgeq\f(x＋1，1－x)，由f(x)<0，得0〈eq\f（x＋1，1－x)<1，∴－1<x〈0.6．若函數(shù)f（x)＝loga（x2＋eq\f（3,2)x）（a>0,a≠1)在區(qū)間（eq\f(1,2)，＋∞）內(nèi)恒有f（x）〉0，則f(x)的單調遞增區(qū)間為(）A．(0，＋∞） B．(2，＋∞）C．(1，＋∞) D．（eq\f(1,2），＋∞）答案A解析令M＝x2＋eq\f(3,2）x，當x∈(eq\f（1，2)，＋∞)時，M∈(1，＋∞),f（x)>0，所以a〉1，所以函數(shù)y＝logaM為增函數(shù)，又M＝（x＋eq\f（3,4))2－eq\f(9,16)，因此M的單調遞增區(qū)間為（－eq\f（3，4），＋∞）．又x2＋eq\f(3,2）x〉0,所以x〉0或x〈－eq\f(3,2）,所以函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（0,＋∞)．7．(2016·渭南模擬)若x∈(e－1，1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x,則a，b，c的大小關系為．答案b〈a<c解析∵e－1<x〈1,∴－1<lnx〈0,∴2lnx<lnx〈ln3x,即b<a〈c。8．函數(shù)的最小值為．答案－eq\f(1，4)解析＝eq\f(1，2)log2x·2log2(2x）＝log2x(1＋log2x)．設t＝log2x(t∈R),則原函數(shù)可以化為y＝t（t＋1）＝（t＋eq\f(1,2））2－eq\f(1，4)(t∈R)，故該函數(shù)的最小值為－eq\f(1,4)，故f(x）的最小值為－eq\f(1,4）.9．已知函數(shù)f（x)＝loga（2x－a）在區(qū)間[eq\f(1，2),eq\f（2,3)]上恒有f（x)>0，則實數(shù)a的取值范圍是．答案(eq\f(1，3）,1)解析當0<a〈1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[eq\f(1，2），eq\f(2,3）］上是減函數(shù),所以loga(eq\f（4,3)－a）>0，即0<eq\f(4,3）－a<1，解得eq\f（1，3)<a<eq\f（4,3），故eq\f(1,3)〈a〈1;當a〉1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間［eq\f(1,2），eq\f(2,3）]上是增函數(shù),所以loga（1－a)>0，即1－a〉1，解得a<0,此時無解．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（eq\f(1,3），1）．10。（2016·南昌模擬)關于函數(shù)f（x)＝lgeq\f(x2＋1，|x|)(x≠0，x∈R)有下列命題：①函數(shù)y＝f(x）的圖像關于y軸對稱；②在區(qū)間（－∞，0）上,函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)；③函數(shù)f(x)的最小值為lg2；④在區(qū)間（1,＋∞）上,函數(shù)f（x)是增函數(shù)．其中是真命題的序號為．答案①③④解析∵函數(shù)f（x)＝lgeq\f（x2＋1，|x｜)（x≠0,x∈R），顯然f(－x)＝f（x)，即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，圖像關于y軸對稱，故①正確；當x>0時，f（x)＝lgeq\f（x2＋1，｜x|）＝lgeq\f（x2＋1,x)＝lg（x＋eq\f(1,x）),令t（x）＝x＋eq\f(1,x），x>0，則t′(x）＝1－eq\f(1,x2)，可知當x∈(0,1）時，t′(x）<0,t(x）是減少的，當x∈(1,＋∞）時，t′（x)>0，t（x）是增加的，即在x＝1處取得最小值為2。由偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱及復合函數(shù)的單調性可知②錯誤，③正確，④正確，故答案為①③④.11．已知函數(shù)f(x）＝lneq\f(x，1－x）,若f(a）＋f（b）＝0，且0<a<b〈1，則ab的取值范圍是．答案eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（1,4））)解析由題意可知lneq\f(a，1－a)＋lneq\f（b,1－b)＝0，即lneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,1－a）×\f(b,1－b））)＝0，從而eq\f（a，1－a)×eq\f(b，1－b)＝1，化簡得a＋b＝1，故ab＝a(1－a）＝－a2＋a＝－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(a－\f(1，2）））2＋eq\f(1，4)，又0<a〈b<1，∴0〈a〈eq\f（1，2）,故0<－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（a－\f（1,2)）)2＋eq\f（1,4)〈eq\f(1,4).12.設f(x）