2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一部分專題七概率與統(tǒng)計1.7.1排列與組合、二項式定理限時規(guī)范訓(xùn)練理

限時標(biāo)準(zhǔn)訓(xùn)練排列與組合、二項式定理eq\o(\a\al(限時40分鐘，實(shí)際用時,分值80分，實(shí)際得分))一、選擇題(此題共12小題，每題5分，共60分)1．(x－3)6的展開式中，二項式系數(shù)的最大值為()A．6 B．15C．20 D．60解析：選C.依題意，(x－3)6的展開式中一共有7項，第4項的二項式系數(shù)最大，二項式系數(shù)為Ceq\o\al(r,6)(r＝0,1,2,3,4,5,6)，當(dāng)r＝3時，二項式系數(shù)最大，為20，選C.2．(2023·高考四川卷)設(shè)i為虛數(shù)單位，那么(x＋i)6的展開式中含x4的項為()A．－15x4 B．15x4C．－20ix4 D．20ix4解析：選A.二項式(x＋i)6展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－rir，那么其展開式中含x4的項是當(dāng)6－r＝4，即r＝2，那么展開式中含x4的項為Ceq\o\al(2,6)x4i2＝－15x4.3．(2023·山東濟(jì)南模擬)某電視臺一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個廣告，其中2個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，且2個商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，那么不同的播放方式有()A．8種 B．16種C．18種 D．24種解析：選A.可分三步：第一步，最后一個排商業(yè)廣告有Aeq\o\al(1,2)種；第二步，在前兩個位置選一個排第二個商業(yè)廣告有Aeq\o\al(1,2)種；第三步，余下的兩個排公益宣傳廣告有Aeq\o\al(2,2)種．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的播放方式共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8(種)．4．(2023·貴州七校聯(lián)考)(x2＋x＋1)(x－1)6的展開式中x4的系數(shù)是()A．－10 B．－5C．5 D．10解析：選D.∵(x2＋x＋1)(x－1)＝x3－1，∴原式可化為(x3－1)(x－1)5，其展開式中，x4的系數(shù)為Ceq\o\al(4,5)(－1)4－Ceq\o\al(1,5)(－1)1＝5＋5＝10.應(yīng)選D.5．(2023·福建廈門質(zhì)檢)有A、B、C、D、E五位學(xué)生參加網(wǎng)頁設(shè)計比賽，決出了第一到第五的名次．A、B兩位學(xué)生去問成績，老師對A說：你的名次不知道，但肯定沒得第一名；又對B說：你是第三名．請你分析一下，這五位學(xué)生的名次排列的種數(shù)為()A．6 B．18C．20 D．24解析：選B.A不是第一名有Aeq\o\al(4,4)種．A不是第一名，B不是第三名有Aeq\o\al(3,3)種．符合要求的有Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3)＝18(種)．6．(2023·大連模擬)“遼寧艦〞是中國人民解放軍海軍第一艘可以搭載固定翼飛機(jī)的航空母艦，艦載機(jī)為我國自主研發(fā)的殲－15.在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有6架殲－15(記編號為1,2,3,4,5,6)準(zhǔn)備著艦，如果1,2號兩機(jī)必須相鄰著艦，而3,4號兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法種數(shù)是()A．72 B．36C．144 D．288解析：選C.①把1,2號兩機(jī)捆綁為一個元素A，有Aeq\o\al(2,2)種方法；②A與5,6號兩機(jī)共3個元素進(jìn)行全排，不同的排法有Aeq\o\al(3,3)種；③上述3個元素排好之后形成4個空位，然后從中選出兩空，把3,4號兩機(jī)插入進(jìn)行排列即可，不同的排法有Aeq\o\al(2,4)種．由分步乘法計數(shù)原理可知共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝144(種)不同的著艦方法．7．(2023·高考全國卷Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為()A．15 B．20C．30 D．35解析：選C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6＝1·(1＋x)6＋eq\f(1,x2)·(1＋x)6那么(1＋x)6的x2項系數(shù)為Ceq\o\al(2,6)＝eq\f(6×5,2)＝15，eq\f(1,x2)·(1＋x)6的x2項系數(shù)為Ceq\o\al(4,6)＝15，∴x2的系數(shù)為15＋15＝30，應(yīng)選C.8．(2023·江西南昌模擬)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有()A．24對 B．30對C．48對 D．60對解析：選C.通解：直接法：如圖，在上底面中選B1D1，四個側(cè)面中的對角線都與它成60°，共8對，同樣A1C1對應(yīng)的也有8對，因此一個面上的2條面對角線與其相鄰的4個面上的8條對角線共組成16對，又正方體共有6個面，所以共有16×6＝96(對)，又因為每對被計算了2次，因此成60°的面對角線有eq\f(1,2)×96＝48(對)．優(yōu)解：間接法：正方體的12條面對角線中，任意兩條垂直、平行或成角為60°，所以成角為60°的共有Ceq\o\al(2,12)－12－6＝48(對)．9．(2023·山東青島模擬)假設(shè)多項式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，那么a9＝()A．9 B．10C．－9 D．－10解析：選D.x3＋x10＝[(x＋1)－1]3＋[(x＋1)－1]10，因為[(x＋1)－1]3的展開式中x＋1的最高次冪為3，故其展開式中沒有含(x＋1)9的項；[(x＋1)－1]10的展開式中，含(x＋1)9的項為T2＝Ceq\o\al(1,10)(x＋1)9×(－1)1＝－10(x＋1)9，其系數(shù)為－10.因為x3＋x10的展開式中，(x＋1)9項為－10(x＋1)9，所以(x＋1)9項的系數(shù)a9為－10.10．(2023·東北六校聯(lián)考)為配合國家足球戰(zhàn)略，教育部特派6名相關(guān)專業(yè)技術(shù)人員到甲、乙、丙三所足球?qū)W校進(jìn)行專業(yè)技術(shù)培訓(xùn)，每所學(xué)校至少一人，其中王教練不去甲校的分配方案種數(shù)為()A．60 B．120C．240 D．360解析：選D.先分配王教練有Ceq\o\al(1,2)種方案，其余5人分兩種情況討論：(1)當(dāng)王教練所去學(xué)校只有1人時，這5人分兩組去另外兩所學(xué)校，有(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4))Aeq\o\al(2,2)＝30種方案．(2)當(dāng)王教練所去學(xué)校不止1人時，這5人分三組去這三所學(xué)校有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),2！)＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),2！)))Aeq\o\al(3,3)＝150種方案．所以分配方案共有Ceq\o\al(1,2)(30＋150)＝360(種)．11．如下圖的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)在要求在其余四個區(qū)域中涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇．要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，那么不同的涂色方法種數(shù)為()A．64 B．72C．84 D．96解析：選C.將四種顏色編號為①②③④，A有4種涂法，設(shè)涂①，B有3種涂法，設(shè)涂②，下面分3類：假設(shè)C涂①，那么D可涂②③④，共3種方法；假設(shè)C涂③，那么D可涂②④，共2種方法；假設(shè)C涂④，那么D可涂②③，共2種方法．于是，不同的涂法為4×3×(3＋2＋2)＝84(種)．12．(2023·河北衡水模擬)我們把各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)稱為“巧合數(shù)〞(如2014是“巧合數(shù)〞)，那么“巧合數(shù)〞中首位為2的共有()A．18個 B．21個C．15個 D．24個解析：選B.因為首位已經(jīng)確定，所以“巧合數(shù)〞的個數(shù)也就是其余三位數(shù)字的不同排法的種數(shù)．因為首位為2，所以其余三位數(shù)字之和為5，那么其他三位數(shù)字中0的個數(shù)最多為2個．(1)假設(shè)其他三位數(shù)字中含有兩個0，那么這三個數(shù)字為0,0,5，故不同的“巧合數(shù)〞有Ceq\o\al(1,3)＝3(個)．(2)假設(shè)其他三位數(shù)字中含有1個0，那么這三個數(shù)字為0,1,4和0,2,3兩種情況，故不同的“巧合數(shù)〞有2Aeq\o\al(3,3)＝12(個)．(3)假設(shè)其他三位數(shù)字中不含0，那么這三個數(shù)字為1,1,3和1,2,2兩種情況，故不同的“巧合數(shù)〞有2Ceq\o\al(1,3)＝6(個)．由分類加法計數(shù)原理，可得不同的“巧合數(shù)〞共有3＋12＋6＝21(個)．二、填空題(此題共4小題，每題5分，共20分)13．(2023·山東煙臺三模)假設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))eq\s\up12(n)的展開式的各個二項式系數(shù)的和為256，那么eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))eq\s\up12(n)的展開式中的常數(shù)項為________．解析：依題意得2n＝256，解得n＝8，所以Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(8－r)·(－x)r＝(－1)rCeq\o\al(r,8)x2r－8，令2r－8＝0，那么r＝4，所以T5＝(－1)4Ceq\o\al(4,8)＝70，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))eq\s\up12(n)的展開式中的常數(shù)項為70.答案：7014．(2023·河北唐山三模)數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)小組共有10名學(xué)生，其中男生8人，女生2人，從這10人中選出3人準(zhǔn)備寫報告．在選出的3人中，至多有1名女生，一共有________種選法．解析：如果沒有限制條件，那么有Ceq\o\al(3,10)種選法，而不符合條件，即選出的有2名女生的選法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8)種．因此，至多有1名女生的不同選法有Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8)＝112(種)．答案：11215．(2023·湖南長沙模擬)5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員，現(xiàn)從中選出3名隊員排成1,2,3號參加團(tuán)體比賽，那么入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1,2號中至少有1名新隊員的排法有________種．解析：分兩類：第一類僅有1名老隊員，此時有2名新隊員，一定可以保證1,2號中至少有1名新隊員，此時有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種排法；第二類有2名老隊員，此時，要注意將新隊員安排在1,2號中，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12種排法．于是，不同的排法數(shù)為36＋12＝48.答案：4816．(2023·山東濰坊模擬)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)x))eq\s\up12(10)＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a10(x＋1)10，那么a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.解析：對eq\b\lc\(