2023屆高考數(shù)學問題1.1數(shù)集與點集的運算提分練習

1.1數(shù)集與點集的運算一、考情分析集合是高考數(shù)學必考內(nèi)容,一般作為容易題.給定集合來判定集合間的關(guān)系、集合的交、并、補運算是考查的主要形式,常與函數(shù)的定義域、值域、不等式(方程)的解集相結(jié)合,在知識交匯處命題,以選擇題為主,多出現(xiàn)在試卷的前3題中．二、經(jīng)驗分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含義,再看元素的限制條件,明白集合的類型,是數(shù)集、點集還是其他類型的集合；如下面幾個集合請注意其區(qū)別：①；②；③；④.(2)二元方程的解集可以用點集形式表示,如二元方程的整數(shù)解集可表示為.(3)集合中元素的互異性常常容易忽略,求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合關(guān)系時,必須優(yōu)先考慮空集的情況,否那么會造成漏解．(2)兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時,關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系.(5)一般來講,集合中的元素假設是離散的,那么用Venn圖表示；集合中的元素假設是連續(xù)的實數(shù),那么用數(shù)軸表示,此時要注意端點的情況．(6)解決以集合為背景的新定義問題,要抓住兩點：①緊扣新定義．首先分析新定義的特點,把新定義所表達的問題的本質(zhì)弄清楚,并能夠應用到具體的解題過程之中,這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在；②用好集合的性質(zhì)．解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素,在關(guān)鍵之處用好集合的運算與性質(zhì)．三、知識拓展1．假設有限集A中有n個元素,那么集合A的子集個數(shù)為2n,真子集的個數(shù)為2n－1.2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．奇數(shù)集：.4.數(shù)集運算的封閉性,高考屢次考查,根底知識如下:假設從某個非空數(shù)集中任選兩個元素(同一元素可重復選出),選出的這兩個元素通過某種(或幾種)運算后的得數(shù)仍是該數(shù)集中的元素,那么,就說該集合對于這種(或幾種)運算是封閉的.自然數(shù)集N對加法運算是封閉的;整數(shù)集Z對加、減、乘法運算是封閉的.有理數(shù)集、復數(shù)集對四那么運算是封閉的.對加、減、乘運算封閉的數(shù)集叫數(shù)環(huán),有限數(shù)集{0}就是一個數(shù)環(huán),叫零環(huán).設F是由一些數(shù)所構(gòu)成的集合,其中包含0和1,如果對F中的任意兩個數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為0),仍是F中的數(shù),即運算封閉,那么稱F為數(shù)域.四、題型分析(一)與數(shù)集有關(guān)的根本運算【例1】全集為R,集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤1)),B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－6x＋8≤0)),那么A∩RB等于()．A．{x|x≤0} B．{x|0≤x＜2或x＞4}C．{x|2≤x≤4} D．{x|0<x≤2或x≥4}【分析】將集合A,B化簡,結(jié)合數(shù)軸求A∩?RB.【解析】(1)A＝{x|x≥0},B＝{x|2≤x≤4}．∴RB＝{x|x＞4或x＜2}．∴A∩RB＝{x|x≥0}∩{x|x＞4或x＜2}＝{x|0≤x＜2或x＞4}．【點評】對于集合的運算,一般先把參與運算的集合化簡,求解此題的關(guān)鍵是準確求出B,并注意端點值的取舍．假設給定集合涉及不等式的解集,可借助數(shù)軸進行．【小試牛刀】【2023全國1理1】集合,,那么〔〕.A.B.C.D.【答案】A【解析】,,所以,.應選A.(二)與點集有關(guān)的根本運算【例2】,那么〔〕A．－2B．－6C．2D．一2或－6【分析】首先分析集合是除去點的直線,集合表示過定點的直線,等價于兩條直線平行或者直線過,進而列方程求的值．【點評】分析集合元素的構(gòu)成,將集合運算的結(jié)果翻譯到兩條直線的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．【小試牛刀】【2023全國3理1】集合A=,,那么中元素的個數(shù)為〔〕.A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】集合表示圓上所有點的集合,表示直線上所有點的集合,如下圖,所以表示兩直線與圓的交點,由圖可知交點的個數(shù)為2,即元素的個數(shù)為2.應選B.(三)根據(jù)數(shù)集、點集滿足條件確定參數(shù)范圍【例3】設常數(shù)a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},假設A∪B＝R,那么a的取值范圍為()A．(－∞,2)B．(－∞,2]C．(2,＋∞)D．[2,＋∞)【分析】先得到A＝(－∞,1]∪[a,＋∞),B＝[a－1,＋∞),再根據(jù)區(qū)間端點的關(guān)系求參數(shù)范圍.【點評】求解此題的關(guān)鍵是對a進行討論.【小試牛刀】P＝{x|2<x<k,x∈N},假設集合P中恰有3個元素,那么k的取值范圍為________．【答案】(5,6]【解析】因為P中恰有3個元素,所以P＝{3,4,5},故k的取值范圍為5<k≤6.(四)數(shù)集、點集與其他知識的交匯【例4】集合M是滿足以下性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)T,對任意∈R,有成立.〔1〕函數(shù)是否屬于集合M？說明理由；〔2〕設函數(shù)且〕的圖象與的圖象有公共點,證明：∈M；〔3〕假設函數(shù)∈M,求實數(shù)的取值范圍.【分析】抓住集合M元素的特征,集合M是由滿足的函數(shù)構(gòu)成．【解析】〔1〕對于非零常數(shù)T,f〔x+T〕=x+T,Tf〔x〕＝Tx．因為對任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f〔x〕＝xM．〔2〕因為函數(shù)f〔x〕=ax〔a>0且a≠1〕的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點,所以方程組：有解,消去y得ax=x,顯然x=0不是方程的ax=x解,所以存在非零常數(shù)T,使aT=T．于是對于f〔x〕=ax,有f〔x＋T〕=ax+T=aT·ax=T·ax=Tf〔x〕,故f〔x〕=ax∈M．即sin〔kx－k＋〕=sinkx成立,那么－k＋=2m,m∈Z,即k=－〔2m－1〕,m∈Z．綜合得,實數(shù)k的取值范圍是{k|k=m,【點評】集合與其他知識的交匯處理方法往往有兩種：其一是根據(jù)函數(shù)、方程、不等式所賦予的實數(shù)的取值范圍,進而利用集合的知識處理；其二是由集合的運算性質(zhì),得到具有某種性質(zhì)的曲線的位置關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化為幾何問題處理．【小試牛刀】在直角坐標系中,全集,集合,集合的補集所對應區(qū)域的對稱中心為,點是線段上的動點,點是軸上的動點,那么周長的最小值為〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】∵點到直線的距離∴直線始終與圓相切,∴集合表示除圓以外所有的點組成的集合,∴集合表示圓,其對稱中心如下圖：設是點關(guān)于直線線段的對稱點,設,那么由求得,可得．設關(guān)于軸的對稱點為,易得,那么直線,和線段的交點為,那么此時,的周長為,為最小值,(五)與數(shù)集、點集有關(guān)的信息遷移題【例5】假設集合A具有以下性質(zhì)：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)假設x∈A,y∈A,那么x－y∈A,且x≠0時,eq\f(1,x)∈A.那么稱集合A是“好集〞．以下命題正確的個數(shù)是()(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集〞；(2)有理數(shù)集Q是“好集〞；(3)設集合A是“好集〞,假設x∈A,y∈A,那么x＋y∈A.A．0B．1C．2D．3【分析】抓住新定義的特點,根據(jù)“好集〞滿足的兩個性質(zhì),逐個進行驗證．【點評】緊扣新定義,抓住新定義的特點,把新定義表達的問題的本質(zhì)搞清楚,并能夠應用到具體的解題過程中．【小試牛刀】【2023浙江溫州高三模擬】集合,假設實數(shù),滿足：對任意的,都有,那么稱是集合的“和諧實數(shù)對〞,那么以下集合中,存在“和諧實數(shù)對〞的是〔〕A．B．C．D．【答案】C.【解析】分析題意可知,所有滿足題意的有序?qū)崝?shù)對所構(gòu)成的集合為,將其看作點的集合,為中心在原點,,,,為頂點的正方形及其內(nèi)部,A,B,D選項分別表示直線,圓,雙曲線,與該正方形及其內(nèi)部無公共點,選項C為拋物線,有公共點,應選C.五、遷移運用1．【2023屆四川成都高三上學期一診模擬】集合假設那么實數(shù)的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】集合,,那么,應選D.2．【2023屆安徽蒙城高三上學期“五校〞聯(lián)考】集合,假設,那么的值為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】因為,且,所以,所以,應選A.3．【2023屆湖南省五市十校教研教改共同體高三12月聯(lián)考】集合,,那么〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】,選A.4．【2023屆湖北省八校高三上學期第一次聯(lián)考】集合,那么滿足條件的集合的個數(shù)為〔〕A.2B.3C.4D.8【答案】C【解析】∵,又,∴集合的個數(shù)為個,應選C．5．【2023屆湖南十校12月聯(lián)考】集合,,那么中所有元素的和為〔〕A.2B.3C.5D.6【答案】B【解析】集合,.,所有元素的和為3.應選B.6．【2023屆湖北八校高三12月聯(lián)考】集合,那么〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由得：,,那么,故,應選C.7．【2023屆河北衡水市高考模擬聯(lián)考】設集合,,那么以下運算正確的選項是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】,那么,應選.8．【2023屆浙東北聯(lián)盟高三上學期期中考試】集合,,假設,那么為〔〕A.B.C.D.【答案】D9．【2023屆遼寧鞍山市高三上學期第二次模擬】集合的真子集個數(shù)為〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】所以真子集的個數(shù)為,應選C10.【2023全國丙理1】設集合,,那么〔〕.A.B.C.D.【答案】D【解析】由,得應選D.11.【2023全國甲理2】集合,,那么〔〕.A. B.C. D.【答案】C【解析】因為,所以,所以.應選C. 12.【2023全國乙理1】設集合,,那么〔〕.A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意可得,,所以.應選D.13.【2023全國2理2】設集合,.假設,那么〔〕.A．B．C．D．【答案】C14．【2023屆河北磁縣一中高三11月月考】假設集合,那么等于〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】因為,所以,應選C.15．【2023屆河南省鄭州一中高三考前沖刺】集合,那么集合B不可能是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】,,應選D.16.集合M是由具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù),在定義域內(nèi)存在兩個變量且時有．那么以下函數(shù)①；②；③；④在集合M中的個數(shù)是A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】B【解析】由題對于函數(shù),在定義域內(nèi)存在兩個變量且時有即,即對于函數(shù),在定義域內(nèi)存在兩個變量且時,假設為增函數(shù),那么,假設為減函數(shù),那么,對于①,不合題意對于②,取特殊值驗證,不合題意對于③,函數(shù)在單調(diào)遞增,在定義域內(nèi)存在兩個變量且時,在單調(diào)增區(qū)間時有,此時只須時可得.滿足題意對于④,函數(shù)在單調(diào)遞減,在定義域內(nèi)存在兩個變量且時,在單調(diào)減區(qū)間時有,滿足題意.17．設是公比為的等比數(shù)列,,令,假設數(shù)列有連續(xù)四項在集合中,那么〔〕A．B．C．D．【答案】A18.【2023湖北高考】集合A＝{(x,y)|x2＋y2≤1,x,y∈Z},B＝{(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定義集合AB＝{(x1＋x2,y1＋y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},那么AB中元素的個數(shù)為()A．77B．49【答案】C【解析】如圖,集合A表示如下圖的所有圓點“〞,集合B表示如下圖的所有圓點“〞＋所有圓點“〞,集合AB顯然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四個點{(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)}之外的所有整點(即橫坐標與縱坐標都為整數(shù)的點),即集合AB表示如下圖的所有圓點“〞＋所有圓點“〞＋所有圓點“〞,共45個．故AB中元素的個數(shù)為45.應選C.19.【2023廣東省華南師大附中高三5月測試】非空集合關(guān)于運算滿足：〔1〕對任意,,都有；〔2〕存在,使得對一切,都有,那么稱關(guān)于運算為“融洽集〞．現(xiàn)給出以下集合和運算：①,為整數(shù)的加法；②,為整數(shù)的乘法；③,為平面向量的加法；④,為多項式的加法；⑤,為復數(shù)的乘法．其中關(guān)于運算為“融洽集〞的是〔〕A．①③B．②③C．①⑤D．②③④【答案】B【解析】根據(jù)題意可知①當,都為非負整數(shù)時,,通過加法運算還是非負整數(shù),且存在一整數(shù)有,所以①為融洽集；③當,都為平面向量時,兩平面向量相加任然為平面向量,且存在零向量通