2022江蘇省常州市麗華中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

2022江蘇省常州市麗華中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，則曲線C1與C2交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（） A．0 B． 1 C． 2 D． 1或2參考答案：C2.已知圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，若圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)使、、成等比數(shù)列，則的取值范圍為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.下列各組中的兩個(gè)集合和，表示同一集合的是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D4.下列四個(gè)圖像中，是函數(shù)圖像的是

(

）A．（1）

B．（1）.（3）.（4）

C．（1）.（2）.（3）

D．（3）.（4）參考答案：B5.設(shè)f（x）﹣x2=g（x），x∈R，若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則g（x）的解析式可以為（）A．x3 B．cosx C．1+x D．xex參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)偶函數(shù)與偶函數(shù)的和為偶函數(shù)，只要g（x）為偶函數(shù)即可．【解答】解：由題意，只要g（x）為偶函數(shù)即可，由選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)B的函數(shù)為偶函數(shù)；故選：B．6.設(shè)向量，，定義一運(yùn)算：,已知，。點(diǎn)Q在的圖像上運(yùn)動(dòng)，且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最大值及最小正周期分別是（

） A．

B．

C．

D．參考答案：B7.若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則有（

）A． B．C． D．參考答案：D略8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D9.若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=(

)A． B．3 C． D．4參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化．【專題】壓軸題．【分析】先由題中已知分別將x1、x2所滿足的關(guān)系表達(dá)為，2x1=2log2（5﹣2x1）…系數(shù)配為2是為了與下式中的2x2對(duì)應(yīng)2x2+2log2（x2﹣1）=5，觀察兩個(gè)式子的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)要將真數(shù)部分消掉求出x1+x2，只須將5﹣2x1化為2（t﹣1）的形式，則2x1=7﹣2t，t=x2【解答】解：由題意①2x2+2log2（x2﹣1）=5

②所以，x1=log2（5﹣2x1）

即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）與②式比較得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故選C【點(diǎn)評(píng)】本題涉及的是兩個(gè)非整式方程，其中一個(gè)是指數(shù)方程，一個(gè)是對(duì)數(shù)方程，這兩種方程均在高考考綱范圍之內(nèi)，因此此題中不用分別解出兩個(gè)方程，分別求出x1，x2，再求x1+x2，這樣做既培養(yǎng)不了數(shù)學(xué)解題技巧，也會(huì)浪費(fèi)大量時(shí)間．10.已知向量滿足，若向量共線，則的最小值為（

）

A、1

B、

C、

D、2參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知非空集合A、B滿足以下四個(gè)條件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=?；③A中的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素；④B中的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素．若集合A含有2個(gè)元素，則滿足條件的A有個(gè)．參考答案：5【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；并集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；分析法；集合．【分析】由題意可得集合A含有2個(gè)元素，則集合B中含有5個(gè)元素，然后結(jié)合A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；A∩B=?，求得滿足條件的集合A．【解答】解：∵集合A含有2個(gè)元素，則集合B中含有5個(gè)元素，∴2不在A中，5不在B中，則A={1，5}，B={2，3，4，6，7}；A={3，5}，B={1，2，4，6，7}；A={4，5}，B={1，2，3，6，7}；A={5，6}，B={1，2，3，4，7}；A={5，7}，B={1，2，3，4，6}．∴滿足條件的A有5個(gè)．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集、并集及其運(yùn)算，考查了學(xué)生理解問(wèn)題的能力，是基礎(chǔ)題．12.設(shè)，，則的最小值是______.參考答案：【分析】由題得不能同時(shí)為零，當(dāng)時(shí)，先令，原式=，再，原式=，再利用導(dǎo)數(shù)求最小值得解.【詳解】由題得不能同時(shí)為零，當(dāng)時(shí)，原式=1,當(dāng)時(shí)，可令，原式=，令，原式=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.設(shè)，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以原式≥.(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等)所以最小值是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.13.已知向量與向量的夾角為，若且，則在上的投影為

參考答案：本題主要考查平面向量的運(yùn)算.因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，所以在上的投影為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，因?yàn)楣仕栽谏系耐队盀?14.若直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則點(diǎn)P(4,0)到直線l的距離是_______.參考答案：15.曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為 .參考答案：16.曲線在點(diǎn)的切線方程是________________．參考答案：略17.函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)處的切線的斜率分別是，規(guī)定（為線段AB的長(zhǎng)度）叫做曲線在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”，給出以下命題：①函數(shù)圖象上兩點(diǎn)A與B的橫坐標(biāo)分別為1和2，則；②存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；③設(shè)點(diǎn)A,B是拋物線上不同的兩點(diǎn)，則；④設(shè)曲線（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上不同兩點(diǎn)，若恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.其中真命題的序號(hào)為_(kāi)_______.（將所有真命題的序號(hào)都填上）參考答案：②③試題分析：①錯(cuò)：②對(duì)：如；③對(duì)；；④錯(cuò)；，因?yàn)楹愠闪?，?故答案為②③.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線斜率；2、兩點(diǎn)間的距離公式、最值問(wèn)題、不等式恒成立問(wèn)題.【方法點(diǎn)晴】本題通過(guò)新定義“彎曲度”對(duì)多個(gè)命題真假的判斷考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線斜率、兩點(diǎn)間的距離公式、最值問(wèn)題、不等式恒成立問(wèn)題以及及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.該題型往往出現(xiàn)在在填空題最后兩題，綜合性較強(qiáng)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋稽c(diǎn)知識(shí)掌握不牢就導(dǎo)致本題“全盤(pán)皆輸”，解答這類問(wèn)題首先不能慌亂更不能因貪快而審題不清，其次先從最有把握的命題入手，最后集中力量攻堅(jiān)最不好理解的命題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分12分）如圖，曲線是以原點(diǎn)O為中心、為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線是以O(shè)為頂點(diǎn)、為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線和的交點(diǎn)且為鈍角，若，.（Ⅰ）求曲線和的方程；（Ⅱ）過(guò)作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn)，問(wèn)是否為定值？若是求出定值；若不是說(shuō)明理由.參考答案：（Ⅰ）解法一：設(shè)橢圓方程為，則，

得.

設(shè)，則，，兩式相減得，由拋物線定義可知，則或

（舍去）

所以橢圓方程為，拋物線方程為.

解法二：過(guò)作垂直于軸的直線，即拋物線的準(zhǔn)線，作垂直于該準(zhǔn)線，

作軸于，則由拋物線的定義得，所以

，

得，所以c＝1，︱OM︱=

(，得）,

因而橢圓方程為，拋物線方程為.（Ⅱ）設(shè)把直線

19.已知中角的對(duì)邊分別是，設(shè)向量，，且，（I）求的值；（II）若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.參考答案：（I）由得，再由正弦定理得，即，又，，，，（II）解法一：由得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的取值范圍是解法二：由得表示定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)連線的斜率，又，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是半圓，結(jié)合圖像得所以的取值范圍是.略20.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P． （1）求證：平面PBD⊥平面BFDE； （2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值． 參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定． 【分析】（1）推導(dǎo)出PD⊥PF，PD⊥PE，則PD⊥平面PEF，由此能證明平面PBD⊥平面BFDE．（2）連結(jié)BD、EF，交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OF為x軸，OD為y軸，過(guò)O作平面BFDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角P﹣DE﹣F的余弦值． 【解答】證明：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P． ∴PD⊥PF，PD⊥PE， ∵PE∩PF=P，PE、PF?平面PEF． ∴PD⊥平面PEF． 又∵EF?平面PEF， ∴PD⊥EF，又BD∩PD=D， ∴EF⊥平面PBD， 又EF?平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE． 解：（2）連結(jié)BD、EF，交于點(diǎn)O，連結(jié)OP， ∵平面PBD⊥平面BFDE，平面PBD∩平面BFDE=BD， 又EF⊥平面PBD，PO，BD?平面PBD， ∴PO⊥EF，BD⊥EF， ∵PD⊥平面PEF， 以O(shè)為原點(diǎn)，OF為x軸，OD為y軸，過(guò)O作平面BFDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則DO=，=，PE=PF=1，PD=2， PO==，∴P（0，，），D（0，，0），E（﹣，0，0），F(xiàn)（，0，0）， =（﹣，﹣，0），=（0，﹣，），=（，﹣，0）， 設(shè)平面PDE的法向量=（x，y，z）， 則，取y=1，則=（﹣3，1，2）， 平面DEF的法向量=（0，0，1）， 設(shè)二面角P﹣DE﹣F的平面角為θ， 則cosθ===． ∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值為． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用． 21.已知函數(shù)f（x）=x2﹣x3，g（x）=ex﹣1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求證：當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥x+x2；（2）記使得kf（x）≤g（x）在區(qū)間[0，1]恒成立的最大實(shí)數(shù)k為n0，求證：n0∈[4，6]．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）﹣x﹣，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)后可得導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)h（x）的單調(diào)性，可得h（x）≥h（0）=0得答案；（2）由（1）知，當(dāng)kf（x）時(shí)，必有kf（x）≤g（x）成立，然后利用分析法證明當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，4f（x），當(dāng)k≥6時(shí)，取特值x=說(shuō)明不等式kf（x）≤g（x）在區(qū)間[0，1]上不恒成立，從而說(shuō)明n0∈[4，6]．【解答】證明：（1）設(shè)h（x）=g（x）﹣x﹣，即h（x）=，則h′（x）=ex﹣1﹣x，h″（x）=ex﹣1，當(dāng)x≥0時(shí)，h″（x）≥0，h′（x）為增函數(shù)，又h′（0）=0，∴h′（x）≥0．∴h（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，則h（x）≥h（0）=0，∴g（x）≥x+；（2）由（1）知，當(dāng)kf（x）時(shí)，必有kf（x）≤g（x）成立．下面先證：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，4f（x），當(dāng)x=0或1時(shí)，上式顯然成立；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，要證4f（x），即證4（x﹣x2），也就是證8x2﹣7x+2≥0．∵＞0．∴當(dāng)k≤4時(shí)，必有kf（x）≤g（x）成立．∴n0≥4；另一方面，當(dāng)k≥6時(shí)，取x=，kf（x）﹣g（x）=＞0，∴當(dāng)k≥6時(shí)，kf（x）≤g（x）不恒成立．∴n0≤6．綜上，n0∈[4，6]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用等式研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了分析法證明函數(shù)不等式，體現(xiàn)了特值思想方法的應(yīng)用，是中檔題．22.（本小題滿分10分）選修4－1:幾何證明選講如圖,四邊形是圓的內(nèi)接四邊形,是圓的直徑，，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),過(guò)作，垂足為點(diǎn).

(Ⅰ)證明:是圓的切線;

(Ⅱ)若，，求的長(zhǎng).參考答案：(Ⅰ)證明:連接，，

∵，

∴.

……………………1分∵是圓的直徑，

∴.

∴.…………2分∴.∴∥.

………………3分∵，

∴.

……………………4分∴是圓的切線.

……………